《2020屆高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第九單元 解析幾何 第68講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（一）練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第九單元 解析幾何 第68講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（一）練習 理（含解析）新人教A版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第68講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用(一)
(與最值、范圍的綜合)
1．(2018·北京卷文節(jié)選)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B.
(1)求橢圓M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
(1)由題意得解得a＝，b＝1.
所以橢圓M的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝
＝
＝ .
當m＝0，即直線l過原點時，|AB|最大，最大值為.
2．(經(jīng)典
2、真題)平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：＋＝1(a>b>0)右焦點的直線x＋y－＝0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.
(1)求M的方程；
(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．
(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
則＋＝1，＋＝1，＝－1.
由此可得＝－＝1.
因為x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.
又由題意知，M的右焦點為(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程為＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.
由題意可設(shè)直
3、線CD的方程為y＝x＋n(－b>0)的左、右頂點，|AB|＝4，且離心率為.
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)若點P(x0，y0)(y0≠0)為直線x＝4上任意一點，PA，PB交橢圓Γ于C，D兩點，求四邊形ACBD面積
4、的最大值．
(1)依題意|AB|＝2a＝4，所以a＝2，
又e＝，所以c＝，從而b2＝a2－c2＝2.
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)P(4，t)(不妨設(shè)t>0)，
則直線PA的方程為y＝(x＋2)，直線PB的方程為y＝(x－2)，
設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)．
由得(18＋t2)x2＋4t2x＋4t2－72＝0.
則－2·x1＝，所以x1＝，
于是y1＝(x1＋2)＝.
由得(2＋t2)x2－4t2x＋4t2－8＝0.
則2·x2＝，所以x2＝，
于是y2＝(x2－2)＝.
S四邊形ACBD＝S△ACB＋S△ADB＝|AB|×|y1|＋|AB|×|
5、y2|
＝×4×(＋)＝32×
＝32×＝32×.
設(shè)u＝t＋，則u∈[2，＋∞)，S四邊形ACBD＝＝g(u)，
g(u)在[2，＋∞)遞減，
故(S四邊形ACBD)max＝g(2)＝2.
4．(2018·浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上．
(1)設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；
(2)若P是半橢圓x2＋＝1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍．
(1)設(shè)P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)．
因為PA，PB的中點在拋物線上，
所以y1，y2為方程()2＝4·
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的兩個不同的實根．
所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y軸．
(2)由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y(tǒng)－3x0，
|y1－y2|＝2.
因此，△PAB的面積
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).
因為x＋＝1(x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，
因此，△PAB面積的取值范圍是[6，]．
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