2020版高考數學一輪復習 課后限時集訓41 空間向量的運算及應用 理（含解析）新人教A版

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1、課后限時集訓(四十一)　空間向量的運算及應用 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．在空間直角坐標系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關系是(　　) A．垂直　　　 B．平行 C．異面 D．相交但不垂直 B　[由題意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)， ∴＝－3，∴與共線， 又與沒有公共點，∴AB∥CD.] 2．在空間直角坐標系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四點共面，則(　　) A．2x＋

2、y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0 C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0 A　[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)，＝(x－1，y－1，z＋2)． ∵A，B，C，D四點共面，∴存在實數λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)， ∴解得2x＋y＋z＝1，故選A.] 3．如圖所示，三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝(　　) A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c) C

3、.(a－b＋c) D.(－a－b＋c) B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．] 4．在空間直角坐標系中，A，B，C三點的坐標分別為A(2,1，－1)，B(3,4，λ)，C(2,7,1)，若⊥，則λ＝(　　) A．3 B．1 C．±3 D．－3 C　[由題知，＝(1,3，λ＋1)，＝(1，－3，λ－1)，由⊥，可得·＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，故選C.] 5．已知正四面體A-BCD的棱長為1，且＝2，＝2，則·＝(　　) A. B. C．－ D．－ D　[因為＝2，＝2，所以EF∥BD，EF＝BD，即＝，則·＝·＝|

4、|||cos ＝－.故選D.] 二、填空題 6.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是________． 垂直　[以A為原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，設正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，M，O，N，·＝·＝0，∴ON與AM垂直．] 7．已知平面α內的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是________． α∥β　[設平面α的法向量為m＝(

5、x，y，z)， 由m·＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z， 由m·＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n， ∴m∥n，∴α∥β.] 8．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，則BD的長為________． 2或　[∵AB與CD成60°角， ∴〈，〉＝60°或120°. 又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB， ∴||＝＝ ＝ ＝ ＝， ∴||＝2或.∴BD的長為2或.] 三、解答題 9．已知空間中三點A(－2,0,2)，B(－1,1

6、,2)，C(－3,0,4)，設a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c； (2)求向量a與向量b的夾角的余弦值． [解]　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)， ∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)， ∴|c|＝＝3|m|＝3， ∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又∵|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 故向量a與向量b的夾角的余弦值為－. 10.如圖所示，四棱

7、錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點，求證： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF. [證明]　建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz. ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1,0,0)． (1)∵E，H分別是線段AP，AB的中點， ∴PB∥EH. ∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH， ∴PB∥平面EFH. (2)＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)， ∴·＝0×0＋2

8、×1＋(－2)×1＝0， ·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴PD⊥AF，PD⊥AH. 又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF. B組　能力提升 1．若x，y∈R，有下列命題： ①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面； ②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb； ③若＝x＋y，則P，M，A，B共面； ④若點P，M，A，B共面，則＝x＋y. 其中真命題的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①正確；②中若a，b共線，p與a不共線，則p＝xa＋yb就不成立；③正確；④中若M，A，B共線，點P不在此直線上，則＝x＋y不正確．] 2.(2019·四川

9、名校聯(lián)考)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定 B　[∵正方體棱長為a，A1M＝AN＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋＋＝＋. 又∵是平面B1BCC1的法向量， 且·＝·＝0， ∴⊥， ∴MN∥平面B1BCC1.故選B.] 3．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④

10、∥.其中正確的是________． ①②③　[∵·＝0，·＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP， 則①②正確． 又與不平行， ∴是平面ABCD的法向量，則③正確． ∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， ∴與不平行， 故④錯誤．] 4.如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，點P為側棱SD上的點． (1)求證：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由． [解]　(1)證明：連接BD，設AC交BD于點O，則AC⊥BD.連接SO，由題意知SO⊥平面ABCD. 以O為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖． 底面邊長為a，則高SO＝a， 于是S，D，B，C，＝， ＝， 則·＝0.故OC⊥SD.從而AC⊥SD. (2)棱SC上存在一點E，使BE∥平面PAC. 理由如下：由已知條件知是平面PAC的一個法向量，且＝，＝，＝. 設＝t，則＝＋＝＋t＝，而·＝0?t＝. 即當SE∶EC＝2∶1時，⊥. 而BE?平面PAC，故BE∥平面PAC. - 7 -