2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)31 數(shù)列求和 理(含解析)新人教A版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(三十一) 數(shù)列求和 (建議用時(shí):60分鐘) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1.等差數(shù)列{an}中,已知公差d=,且a1+a3+…+a99=50,則a2+a4+…+a100=(  ) A.50   B.75   C.100    D.125 B [∵{an}是等差數(shù)列,公差d=, ∴a2+a4+…+a100=(a1+a3+…+a99)+50d=50+50×=75.] 2.1+++…+1+++…+的值為(  ) A.18+ B.20+ C.22+ D.18+ B [設(shè)an=1+++…+==2. 則原式=a1+a2+…+a11 =2+2+…+2 =2

2、 =2 =2 =2=20+.] 3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=7,S6=63,則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為(  ) A.-3+(n+1)×2n B.3+(n+1)×2n C.1+(n+1)×2n D.1+(n-1)×2n D [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵S3=7,S6=63,∴q≠1, ∴解得∴an=2n-1, ∴nan=n·2n-1, 設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn,∴Tn=1+2·2+3·22+4·23+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1, 2Tn=2+2·22+3·23+4·24+…+(n-1)·2n-1+n·2n, 兩式相減

3、得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)2n-1,∴Tn=1+(n-1)×2n,故選D.] 4.(2019·湘潭模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=2且Sn+1=2Sn,設(shè)bn=log2an,則++…+的值是(  ) A. B. C. D. B [由Sn+1=2Sn可知,數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為S1=a1=2,公比為2的等比數(shù)列,所以Sn=2n.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.bn=log2an=當(dāng)n≥2時(shí),==-,所以++…+=1+1-+-+…+-=2-=.故選B.] 5.已知函數(shù)f(x)=xa

4、的圖象過點(diǎn)(4,2),令an=,n∈N*,記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 019=(  ) A.-1 B.-1 C.-1 D.+1 C [由f(4)=2得4a=2,解得a=,則f(x)=x. ∴an===-, S2 019=a1+a2+a3+…+a2 019=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.] 二、填空題 6.設(shè)數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和為Sn,且an=sin,n∈N*,則S2 018=__________. 1 [an=sin,n∈N*,顯然每連續(xù)四項(xiàng)的和為0. S2 018=S4×504+a2 017+a2 018=0+1+0=1.] 7.已知數(shù)

5、列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),則S2 018=________. 3·21 009-3 [∵數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n,① ∴n=1時(shí),a2=2,n≥2時(shí),an·an-1=2n-1,② 由①÷②得=2, ∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列, ∴S2 018=+=3·21 009-3.] 8.設(shè)Sn=1-3+5-7+…+(-1)n-1(2n-1)(n∈N*),則Sn=________. (-1)n-1n [當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(1-3)+(5-7)+…+[(2n-3)-(2n-1)] =(-2-2-2-…-2)=-2×=-

6、n. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=(1-3)+(5-7)+…+[(2n-5)-(2n-3)]+(2n-1) =-2×+(2n-1)=n. ∴Sn=(-1)n-1n.] 三、解答題 9.(2018·開封一模)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且2nan+1-2(n+1)an=n(n+1). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解] (1)由已知可得-=, ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列, ∴=,an=. (2)∵bn=,∴bn==2×, ∴Sn=2× =2× =. 10.(2018·洛陽一模)已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}的

7、前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的n∈N*,滿足Sn=a1(an-1). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足anbn=log2an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<. [解] (1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a1(a1-1)=a-a1, ∵a1≠0,∴a1=4. ∴Sn=(an-1),∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(an-1-1), 兩式相減得an=4an-1(n≥2), ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列,∴an=4n. (2)證明:∵anbn=log2an=2n,∴bn=, ∴Tn=+++…+, Tn=+++…+, 兩式相減得Tn=++++

8、…+-=2-=2×-=--=-. ∴Tn=-<. B組 能力提升 1.(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱,且f(x)在(-1,+∞)上單調(diào),若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a50)=f(a51),則{an}的前100項(xiàng)的和為(  ) A.-200   B.-100   C.0    D.-50 B [因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱,又函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào),數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100==50(a50+a51)=-100,故選B.] 2.(2019

9、·鄭州模擬)在數(shù)列{an}中,若對(duì)任意的n∈N*均有an+an+1+an+2為定值,且a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100=(  ) A.132 B.299 C.68 D.99 B [因?yàn)樵跀?shù)列{an}中,若對(duì)任意的n∈N*均有an+an+1+an+2為定值,所以an+3=an,即數(shù)列{an}中各項(xiàng)是以3為周期呈周期變化的.因?yàn)閍7=2,a9=3,a98=a3×30+8=a8=4,所以a1+a2+a3=a7+a8+a9=2+4+3=9,所以S100=33×(a1+a2+a3)+a100=33×9+a7=299,故選B.] 3.(2019·濟(jì)南模擬

10、)如圖,將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則標(biāo)上標(biāo)簽:原點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字0,記為a0;點(diǎn)(1,0)處標(biāo)數(shù)字1,記為a1;點(diǎn)(1,-1)處標(biāo)數(shù)字0,記為a2;點(diǎn)(0,-1)處標(biāo)數(shù)字-1,記為a3;點(diǎn)(-1,-1)處標(biāo)數(shù)字-2,記為a4;點(diǎn)(-1,0)處標(biāo)數(shù)字-1,記為a5;點(diǎn)(-1,1)處標(biāo)數(shù)字0,記為a6;點(diǎn)(0,1)處標(biāo)數(shù)字1,記為a7;……以此類推,格點(diǎn)坐標(biāo)為(i,j)的點(diǎn)處所標(biāo)的數(shù)字為i+j(i,j均為整數(shù)),記Sn=a1+a2+…+an,則S2 018=________. -249 [設(shè)an的坐標(biāo)為(x,y),則an=x+y.第一圈從點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(1,1)共8個(gè)

11、點(diǎn),由對(duì)稱性可知a1+a2+…+a8=0;第二圈從點(diǎn)(2,1)到點(diǎn)(2,2)共16個(gè)點(diǎn),由對(duì)稱性可知a9+a10+…+a24=0,……以此類推,可得第n圈的8n個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這8n項(xiàng)的和也為0.設(shè)a2 018在第k圈,則8+16+…+8k=4k(k+1),由此可知前22圈共有2 024個(gè)數(shù),故S2 024=0,則S2 018=S2 024-(a2 024+a2 023+…+a2 019),a2 024所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(22,22),a2 024=22+22,a2 023所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(21,22),a2 023=21+22,以此類推,可得a2 022=20+22,a2 021=19+22,a2 02

12、0=18+22,a2 019=17+22,所以a2 024+a2 023+…+a2 019=249,故S2 018=-249.] 4.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1+Sn=λa. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=λnan,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解] (1)因?yàn)镾n+1+Sn=λa,① 所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn+Sn-1=λa,② ①-②得,an+1+an=λa-λa,即an+1+an=λ(an+1+an)·(an+1-an), 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以an+1+an>0,且λ>0, 所以an+1-an=

13、(n≥2). 由①知,S2+S1=λa,即2a1+a2=λa,又a1=,所以a2=. 所以a2-a1=. 故an+1-an=(n∈N*), 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列, 所以an=+(n-1)·=. (2)由(1)得an=,所以bn=n·λn-1, 所以Tn=1+2λ+3λ2+…+(n-1)λn-2+nλn-1,③ λTn=λ+2λ2+3λ3+…+(n-1)λn-1+nλn,④ ③-④得(1-λ)Tn=1+λ+λ2+…+λn-1-nλn, 當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí),(1-λ)Tn=-nλn, 得Tn=-, 當(dāng)λ=1時(shí),由③得Tn=1+2+3+…+(n-1)+n==. 綜上,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn= - 6 -

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