3、，DX＝2.4，P(X＝4)0.5，所以p＝0.6.]
4．(2019·福建廈門模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，假定甲廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準．已知甲廠產(chǎn)品
4、的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的數(shù)學期望E(X1)＝6，則a，b的值為____________，____________．
【答案】0．3 0.2 [因為E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由解得]
5．(2019·山東濟南模擬)在某項測量中，測量結果ζ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若ζ在(－∞，－1)內(nèi)取值的概率為0.1，則ζ在(0,1)內(nèi)取值的概率為____________．
【答案】0
5、．4 [∵ζ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，∴曲線的對稱軸是直線x＝0.∵P(ζ＜－1)＝0.1，∴P(ζ＞1)＝0.1，∴ζ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5－0.1＝0.4.]
6．(2019·東北三校聯(lián)考)一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設每一個球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個球，其中白球的個數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學期望是____________．
【答案】 [根據(jù)題意ξ＝0,1,2，而P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝．
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.]
7．從某校的一次學科知識競賽成績(百分制)中，隨機抽取了50名同學的成績，統(tǒng)計如下：
成績分組
6、
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數(shù)
3
10
12
15
6
2
2
(1)求這50名同學競賽成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；
(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認為，本次學科知識競賽的成績Z服從正態(tài)分布N(μ，196)，其中μ近似為抽取的50名同學競賽成績的平均數(shù)．
①利用該正態(tài)分布，求P(Z>74)；
②某班級共有20名同學參加此次學科知識競賽，記X表示這20名同學中成績超過74分的人數(shù)，利用①的結果，求X的數(shù)學期望．
【答案】解 (1)這50名同學競賽
7、成績的平均數(shù)＝35×＋45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×
＝60．
(2)①由(1)可知，Z～N(60,142)，
故P(Z>74)＝＝0.158 7．
②由①知，某位同學參加此次學科知識競賽的成績超過74分的概率為0.158 7，依題意可知，
X～B(20,0.158 7)，
所以數(shù)學期望E(X)＝20×0.158 7＝3.174．
8．(2019·山東青島模擬)一個袋中裝有7個除顏色外完全相同的球，其中紅球4個，編號分別為1,2,3,4；藍球3個，編號分別為2,4,6，現(xiàn)從袋中任取3個球(假設取到任一球的可能性相同)．
(1)求取出的3個球中含有編號為2的球的概
8、率；
(2)記ξ為取到的球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．
【答案】解 (1)設A＝“取出的3個球中含有編號為2的球”，
則P(A)＝＝＝＝．
(2)由題意得，ξ可能取的值為0,1,2,3，則
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝．
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
[B級 能力提升訓練]
9．為了確保“兩會”期間的安保工作，特舉行安保項目的選拔比賽活動，其中A，B兩個代表隊進行對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3，
9、按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下表，現(xiàn)按表中對陣方式進行三場比賽，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ，η，且ξ＋η＝3.
對陣隊員
A隊隊員勝
A隊隊員負
A1對B1
A2對B2
A3對B3
(1)求A隊最后所得總分為1的概率；
(2)求ξ的分布列，并用統(tǒng)計學的知識說明哪個隊實力較強．
【答案】解 (1)設“A隊最后所得總分為1”為事件A0，
∴P(A0)＝××＋××＋××＝．
(2)ξ的所有可能取值為3,2,1,0，
P(ξ＝3)＝××＝＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝1)＝，
10、P(ξ＝0)＝××＝＝，
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
∵ξ＋η＝3，
∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝．
由于E(η)＞E(ξ)，故B隊的實力較強．
10．(2019·廣東湛江模擬)為了提高城市空氣質(zhì)量，有效地防治大氣污染，企業(yè)紛紛向“低碳型”經(jīng)濟項目投資．某企業(yè)現(xiàn)有100萬元資金可用于投資，如果投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟項目，一年后可能獲利20%，可能損失10%，也可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；如果投資“低碳型”經(jīng)濟項目，一年后可能獲利30%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為a和b(其中
11、a＋b＝1)．
(1)如果把100萬元投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟項目，用ζ表示投資收益(投資收益＝回收資金－投資資金)，求ζ的概率分布列及數(shù)學期望E(ζ)；
(2)a的取值在什么范圍之內(nèi)，才能保證這100萬元投資“低碳型”經(jīng)濟項目的投資收益期望值不低于投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟項目的投資收益期望值？
【答案】解 (1)根據(jù)題意知，隨機變量ζ的可能取值為20,0，－10，則ζ的分布列為
ζ
20
0
－10
P
數(shù)學期望為E(ζ)＝20×＋0×＋(－10)×＝10．
(2)設η表示把100萬元投資“低碳型”經(jīng)濟項目的收益，則η的分布列為
η
30
－20
P
a
b
12、
數(shù)學期望為E(η)＝30a－20b＝50a－20，依題意，得50a－20≥10，解得≤a≤1.所以a的取值范圍是．
11．(2018·天津卷)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．
(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；
②設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．
【答案】
13、解 (1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．
(2)①隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3．
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
②設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；
事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A＝B∪C，且B與C互斥．
由①知P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝．
所以事件A發(fā)生的概率為．
6
2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練62 離散型隨機變量的均值和方差、正態(tài)分布（含解析）
