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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十一) 圓錐曲線中的綜合問題
(建議用時(shí)：40分鐘)
1．(2019·西安模擬)已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，x軸上方的點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|＝，直線l與拋物線E交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M，N與A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2.
(1)求拋物線E的方程；
(2)當(dāng)k1＋k2＝2時(shí)，求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
[解] (1)由拋物線的定義得|AF|＝2＋＝，得p＝1，
所以，拋物線E的方程為y2＝2x.
(2)證明：如圖所示，易知直線l的斜率存在且不等于零，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，
聯(lián)立直線l與拋物
2、線E的方程得k2x2＋(2kb－2)x＋b2＝0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2＝，k1＋k2＝＋＝
＝
＝＝2，
化簡得出(b＋1)(b＋2k－2)＝0，∴b＝－1或b＝2－2k.
當(dāng)b＝－1時(shí)，y＝kx－1，過定點(diǎn)(0，－1)；
當(dāng)b＝2－2k時(shí)，y＝kx＋2－2k＝k(x－2)＋2，過定點(diǎn)(2,2)，舍去，
故直線l恒過定點(diǎn)(0，－1)．
2．(2019·馬鞍山二模)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在橢圓C上且MF垂直于x軸．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM
3、與x＝4交于點(diǎn)N，求證：點(diǎn)N到直線PF的距離為定值，并求出這個(gè)定值．
[解] (1)由題意可得解得a2＝4，b2＝3，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由M，
可得直線PM的方程為y－＝(x－1)，
將x＝4，代入可得y＝＋，
故點(diǎn)N，
∵F(1,0)，
∴直線PF的方程為y＝(x－1)，即y0x＋(1－x0)y－y0＝0.
∴點(diǎn)N到直線PF的距離為
＝＝
＝＝3，
故N到直線PF的距離為定值，定值為3.
3．(2019·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)
4、若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；
(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．
[解] (1)連接PF1(圖略)．由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的離心率為e＝＝－1.
(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)
|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2
5、＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
當(dāng)b＝4，a≥4時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.
所以b＝4，a的取值范圍為[4，＋∞)．
4．已知橢圓M：＋＝1(a＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(－1,0)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
(1)求橢圓M的方程；
(2)[一題多解]記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
[解] (1)因?yàn)镕(－1,0)為橢圓M的焦點(diǎn)，所以c＝1，
又b＝，所以a＝2，所以橢圓M的方程為＋＝1.
(2)法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x
6、＝－1，此時(shí)△ABD與△ABC的面積相等，即|S1－S2|＝0.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0恒成立，且x1＋x2＝－，x1x2＝.
此時(shí)|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝＝≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)k＝±時(shí)，取等號(hào))，
所以|S1－S2|的最大值為.
法二：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為x＝my－1，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＞0恒成立，且y1＋y2＝，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝±時(shí)取等號(hào)，所以|S1－S2|的最大值為.
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