2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)11 圓錐曲線中的綜合問題 理

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十一) 圓錐曲線中的綜合問題 (建議用時(shí):20分鐘) 1.[易錯(cuò)題]已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,短軸長(zhǎng)為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若kOM·kON=,求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍. [解](1)由題意知e==,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 由得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 則Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化簡(jiǎn)得m2<4k2+1

2、.?、? x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, 若kOM·kON=,則=,即4y1y2=5x1x2,所以4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,則(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0, 所以(4k2-5)·+4km·+4m2=0,化簡(jiǎn)得m2+k2=.?、? 由①②得0≤m2<,<k2≤. 因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離d=,所以d2===-1+, 又<k2≤,所以0≤d2<,解得0≤d<. 所以原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍為. 2.(2019·北京高考)已知拋物線C:x2=-2

3、py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1). (1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程; (2)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn). [解](1)由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),得p=2. 所以拋物線C的方程為x2=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=1. (2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,-1). 設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0). 由得x2+4kx-4=0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=-4. 直線OM的方程為y=x. 令y=-1,得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

4、xA=-. 同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB=-. 設(shè)點(diǎn)D(0,n), 則=,=, ·=+(n+1)2 =+(n+1)2 =+(n+1)2 =-4+(n+1)2. 令·=0,即-4+(n+1)2=0,則n=1或n=-3. 綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3). 題號(hào) 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系證明問題 直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓方程的求解是高考常規(guī)性問題,注重雙基,體現(xiàn)運(yùn)算能力,證明問題、考查學(xué)生的邏輯推理的素養(yǎng),符合高考最近動(dòng)態(tài) 2 待定系數(shù)法求曲線的方程,設(shè)而不求的思想,探索性問題 探索性問題是一種動(dòng)

5、態(tài)問題,可以較好的考查學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)腦能力,而“設(shè)而不求”思想是解答圓錐曲線常用的方法,符合高考最新動(dòng)態(tài) 【押題1】 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)為F,且該橢圓過點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)當(dāng)動(dòng)直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A,且與直線x=相交于點(diǎn)B時(shí),求證:△FAB為直角三角形. [解](1)由題意得=,+=1,又a2=b2+c2,所以b2=1,a2=4,即橢圓C的方程為+y2=1. (2)由題意可得直線l的斜率存在, 設(shè)l:y=kx+m,聯(lián)立 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 判別式Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)=0,

6、 得m2=4k2+1>0. 設(shè)A(x1,y1),則x1===-,y1=kx1+m=+m=,即A. 易得B,F(xiàn)(,0), 則=,=, ·=+=--1++1=0, 所以⊥,即△FAB為直角三角形,得證. 【押題2】 如圖,由部分拋物線y2=mx+1(m>0,x≥0)和半圓x2+y2=r2(x≤0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線C”,若“黃金拋物線C”經(jīng)過點(diǎn)(3,2)和. (1)求“黃金拋物線C”的方程; (2)設(shè)P(0,1)和Q(0,-1),過點(diǎn)P作直線l與“黃金拋物線C”交于A,P,B三點(diǎn),問是否存在這樣的直線l,使得QP平分∠AQB?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理

7、由. [解](1)因?yàn)椤包S金拋物線C”過點(diǎn)(3,2)和, 所以r2=+=1,4=3m+1,解得m=1. 所以“黃金拋物線C”的方程為y2=x+1(x≥0)和x2+y2=1(x≤0). (2)假設(shè)存在這樣的直線l,使得QP平分∠AQB. 顯然直線l的斜率存在且不為0, 結(jié)合題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨令xA<0<xB. 由消去y并整理,得k2x2+(2k-1)x=0, 所以xB=,yB=,即B,由xB>0知k<,所以直線BQ的斜率為kBQ=. 由消去y并整理,得(k2+1)x2+2kx=0, 所以xA=-,yA=,即A,由xA<0知k>0,所以直線AQ的斜率為kAQ=-. 因?yàn)镼P平分∠AQB,且直線QP的斜率不存在,所以kAQ+kBQ=0, 即-+=0,由0<k<,可得k=-1. 所以存在直線l:y=(-1)x+1,使得QP平分∠AQB. - 4 -

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