《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)9 直線與圓 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)9 直線與圓 文(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時集訓(xùn)(九) 直線與圓
[專題通關(guān)練]
(建議用時:30分鐘)
1.(2019·長春模擬)過點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓(x-1)2+(y-1)2=1相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=,則該直線的斜率為( )
A.±1 B.± C.± D.±2
A [由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,
因?yàn)閳A(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為(1,1),半徑為r=1,
又弦長|AB|=,
所以圓心到直線的距離為d===.
所以有=,
解得k=±1.]
2.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+
2、(y-1)2=1的位置關(guān)系是( )
A.內(nèi)切 B.相交
C.外切 D.相離
B [圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化為x2+(y-a)2=a2,由題意,M(0,a)到直線x+y=0的距離d=,所以a2=+2,解得a=2.所以圓M:x2+(y-2)2=4,所以兩圓的圓心距為,半徑和為3,半徑差為1,故兩圓相交.]
3.(2019·江陰模擬)點(diǎn)P是直線x+y-2=0上的動點(diǎn),點(diǎn)Q是圓x2+y2=1上的動點(diǎn),則線段PQ長的最小值為( )
A.-1 B.1 C.+1 D.2
A [根據(jù)題意,圓x2+y2=1的圓心為(0,0),半徑r=1,圓心(0,0)到直線x+y
3、-2=0的距離d==,
則線段PQ長的最小值為-1,故選A.]
4.[一題多解]在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x-ky+1=0與圓C:x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),=+,若點(diǎn)M在圓C上,則實(shí)數(shù)k的值為( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
C [法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(k2+1)y2-2ky-3=0,
則Δ=4k2+12(k2+1)>0,y1+y2=,x1+x2=k(y1+y2)-2=-,因?yàn)椋剑?
故M,又點(diǎn)M在圓C上,
故+=4,解得k=0.
法二:由直線與圓相交于A,B兩點(diǎn),=+,且點(diǎn)M在圓C上,得圓心C(0,0)到直線
4、x-ky+1=0的距離為半徑的一半,為1,即d==1,解得k=0.]
5.(2019·惠州模擬)已知直線4x+3y+1=0被圓C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦長為4,且P為圓C上任意一點(diǎn),點(diǎn)A為定點(diǎn)(2,0),則|PA|的最大值為( )
A.- B.5+
C.2+ D.+
D [根據(jù)題意,圓C:(x+3)2+(y-m)2=13的圓心C為(-3,m),半徑r=,若直線4x+3y+1=0被圓C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦長為4,則圓心到直線的距離d==1,
則有=1,解可得:m=2或m=(舍),
則m=2.
點(diǎn)A為定點(diǎn)(2,
5、0),則|AC|==,
則|PA|的最大值為|AC|+r=+.
故選D.]
6.過點(diǎn)C(3,4)作圓x2+y2=5的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則點(diǎn)C到直線AB的距離為________.
4 [以O(shè)C為直徑的圓的方程為2+(y-2)2=2,AB為圓C與圓O:x2+y2=5的公共弦,所以AB的方程為x2+y2-=5-,化簡得3x+4y-5=0,
所以點(diǎn)C到直線AB的距離
d==4.]
7.已知直線l:ax-3y+12=0與圓M:x2+y2-4y=0相交于A,B兩點(diǎn),且∠AMB=,則實(shí)數(shù)a=________.
± [直線l的方程可變形為y=ax+4,所以直線l過定點(diǎn)(0,4),且該
6、點(diǎn)在圓M上.圓的方程可變形為x2+(y-2)2=4,所以圓心為M(0,2),半徑為2.如圖,因?yàn)椤螦MB=,所以△AMB是等邊三角形,且邊長為2,高為,即圓心M到直線l的距離為,所以=,解得a=±.]
8.已知圓O:x2+y2=4上到直線l:x+y=a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
(-3,3) [由圓的方程可知圓心為(0,0),半徑為2.因?yàn)閳AO上到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個,所以圓心到直線l的距離d<r+1=2+1,即d==<3,解得a∈(-3,3).]
[能力提升練]
(建議用時:15分鐘)
9.(2019·武漢模擬)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(
7、0,0),B(7,7),圓心在直線y=x上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l與圓C相切且與x,y軸截距相等,求直線l的方程.
[解] (1)根據(jù)題意,設(shè)圓C的圓心為(a,b),半徑為r,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A(0,0),B(7,7),圓心在直線y=x上,
則有解得
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-4)2=25.
(2)若直線l與圓C相切且與x,y軸截距相等,
分2種情況討論:
①直線l經(jīng)過原點(diǎn),設(shè)直線l的方程為y=kx,則有=5,
解得k=-,此時直線l的方程為y=-x;
②直線l不經(jīng)過原點(diǎn),設(shè)直線l的方程為x+
8、y-m=0,則有=5,解得m=7+5或7-5,
此時直線l的方程為x+y+5-7=0或x+y-5-7=0.
綜上可得:直線l的方程為y=-x或x+y+5-7=0或x+y-5-7=0.
10.(2019·南昌模擬)如圖,已知圓O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M(,1)是圓O上的一點(diǎn).
(1)求圓O的方程;
(2)若過點(diǎn)P(0,1)的動直線l與圓O相交于A,B兩點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得=恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
[解] (1)點(diǎn)M(,1)是圓O上的一點(diǎn),可得圓O的半徑為=2,
則圓O的方程為x2+y2=4.
(2)若直線l的
9、斜率為0,可得直線方程為y=1,A(,1),B(-,1),
由|PA|=|PB|,可得|QA|=|QB|,即Q在y軸上,設(shè)Q(0,m),
若過點(diǎn)P(0,1)的動直線l的斜率不存在,設(shè)直線方程為x=0,
則A(0,2),B(0,-2),由=可得
=,解得m=1或4,由Q與P不重合,可得Q(0,4),
下證斜率存在且不為0的直線與圓的交點(diǎn),也滿足=成立.
若直線的斜率存在且不為0,可設(shè)直線方程為y=kx+1,
聯(lián)立圓x2+y2=4,可得(1+k2)x2+2kx-3=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=-,x1x2=-,
由kQA+kQB=+=+
=2
10、k-3=2k-3·=2k-3·=0,
可得QA和QB關(guān)于y軸對稱,即=成立.
綜上可得,存在定點(diǎn)Q,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,4).
題號
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
圓與圓的位置關(guān)系、圓的切線
高考對圓與圓的位置關(guān)系及切線的考查屬于冷考點(diǎn)內(nèi)容,多年沒直接考查,今年考查的可能性較大,本題以兩圓的位置關(guān)系為背景,借助平面幾何的基礎(chǔ)知識,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)
2
圓的方程、軌跡方程、直線與圓的位置關(guān)系、平面向量、直線與橢圓的位置關(guān)系
圓與橢圓的綜合問題,是近幾年高考的一個熱點(diǎn).本題以圓為背景,綜合考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線
11、的位置關(guān)系,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),綜合性強(qiáng)
【押題1】 若⊙O1:(x-1)2+(y+2)2=1與⊙O2:(x-a)2+(y+2)2=4(a∈R)相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是________.
[由兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,可知兩切線分別過另一圓的圓心,即AO1⊥AO2.
連接O1O2(圖略),在Rt△AO1O2中,AO1=1,AO2=2,AO1⊥AO2,
所以O(shè)1O2==,所以△AO1O2斜邊上的高h(yuǎn)=,所以AB=2h=.
所以線段AB的長度是.]
【押題2】 已知圓(x+1)2+y2=16的圓心為M,點(diǎn)P是圓M上的動點(diǎn),點(diǎn)N(
12、1,0),點(diǎn)G在線段MP上,且滿足(+)⊥(-).
(1)求點(diǎn)G的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)D(0,2)的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)O,求直線l的方程.
[解] (1)因?yàn)?+)⊥(-),所以(+)·(-)=0,即2-2=0,所以||=||,所以|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=4>2=|MN|,
所以點(diǎn)G在以M,N為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓上.
可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),則2a=4,2c=2,即a=2,c=1,則b2=3,
所以點(diǎn)G的軌跡C的方程為+=1.
(2)由題意知,直線l的斜率必存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
由消去y可得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
由Δ>0得k2>.(*)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,
因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好過原點(diǎn)O,所以O(shè)A⊥OB,即·=0,則有x1x2+y1y2=0,
所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,得-+4=0,即4(1+k2)-32k2+4(3+4k2)=0,
解得k2=,滿足(*)式,所以k=±.
故直線l的方程為y=±x+2.
- 6 -