《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第九單元 解析幾何 第63講 橢圓練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第九單元 解析幾何 第63講 橢圓練習 理（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第63講 橢 圓
1．已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，M是橢圓上的一點，N是MF1的中點，若|ON|＝1，則|MF1|的長等于(C)
A．2 B．4
C．6 D．5
因為|ON|＝1，所以|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝8，
所以|MF1|＝6.選C.
2．(2017·江蘇五校聯(lián)考)一個橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為(A)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
由點(2，)在橢圓上知＋＝
2、1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，
則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2·2c，即＝，
又c2＝a2－b2，聯(lián)立解得a2＝8，b2＝6.
3．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A)
A. B.
C. D.
由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.
又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，
所以圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b，
所以＝，
所以e＝＝＝ ＝＝.
4．(2018·江西
3、第一次診斷)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為(B)
A．20 B．15
C．10 D．5
因為P在橢圓上，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15，
當P在MF2的延長線上時取等號．
5．(2019·廣州市二模)已知中心在坐標原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，點F關于直線y＝x的對稱點在橢圓C上，則橢圓C的方程為?。? .
設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，
因
4、為c＝1，則a2＝b2＋c2＝b2＋1，
所以橢圓方程為＋＝1.
設F(1,0)關于直線l：y＝x的對稱點為M(x1，y1)，
則解得即M(，)．
又M在橢圓上，所以＋＝1，解得b2＝，
則a2＝，所以橢圓的方程為＋＝1.
6．(2018·株洲醴陵第三次月考)橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍為 (－，) .
由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
設P(x0，y0)，
則1＝(－－x0，－y0)，2＝(－x0，－y0)，
所以1·2＝x－5＋y<0.①
又＋＝1，②
由①②得x<，所以－
5、.
則點P的橫坐標x0的取值范圍為(－，)．
7．已知F1、F2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限的一點，若·＝0，橢圓的離心率為，△AOF2的面積為2，求橢圓的方程．
因為·＝0，所以AF2⊥x軸．
設點A的坐標為(c，y)(y>0)，
將(c，y)代入＋＝1得y＝，
所以S△AOF2＝·c·＝2，
又e＝＝，所以b2＝2，所以b2＝8.
由＝，設c＝k，a＝2k(k>0)，則4k2＝8＋2k2，
所以k＝2，所以a＝4，b2＝8，
所以橢圓方程為＋＝1.
8．(2018·鄭州三模)已知P為橢圓＋＝1上一個動點，過點P作圓(
6、x＋1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別是A，B，則·的取值范圍為(C)
A．[，＋∞) B．[，]
C．[2－3，] D．[2－3，＋∞)
(方法1)直接法(選擇|PF|＝t作為自變量建立函數(shù))
設|PF|＝t，則1≤|PF|≤3.
所以|PA|＝|PB|＝＝，
設∠FPA＝α，則sin α＝＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－，
所以·＝(t2－1)·cos 2α＝(t2－1)·(1－)
＝t2＋－3.
令g(t)＝t2＋－3，t∈[1，3]．
所以g(t)≥2－3＝2－3.
當且僅當t2＝，即t＝∈[1，3]時取“＝”．
又當t＝1時，g(1)＝
7、0，t＝3時，g(3)＝，所以g(t)max＝.
所以g(t)的取值范圍為[2－3，]．
即·的取值范圍為[2－3，]．
(方法2)直接法(選擇∠FPA作為自變量建立函數(shù))
設∠FPA＝α，則與的夾角為2α，
|PA|＝|PB|＝，
所以·＝||||cos 2α
＝·cos 2α＝·cos 2α，
設cos 2α＝t，則
g(t)＝·＝＝(1－t)＋－3≥2－3.
當P為橢圓的右頂點時，sin α＝，所以cos 2α＝，
所以·的最大值為×＝.
所以·的取值范圍為[2－3，]．
(方法3)特例法(選取兩個特殊位置處理)
當P為右頂點時，|PA|＝|PB|＝，
8、設∠FPA＝α，則sin α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝，
此時·＝××＝，排除A，D.
當P為左頂點時，此時·＝0，排除B，選C.
(方法4)排除法(定性排除)，
因為P在橢圓上運動，所以·有范圍，由此排除A，D，
當P在橢圓上所引兩切線的夾角為鈍角時，·為負，故排除B，選C.
9．(2018·長沙模擬)已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A(－a，0)作直線l交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為____．
因為△AOP是等腰三角形，A(－a，0)，所以P(0，a)，
設Q(x0，y0)，因為＝2，
所以(x0，y0－
9、a)＝2(－a－x0，－y0)，
所以解得
代入橢圓方程化簡，得＝，
所以e＝＝.
10．已知橢圓C：＋＝1(a>)的離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P是橢圓C上任意一點，Q為圓E：x2＋(y－2)2＝1上任意一點，求PQ的最大值．
(1)由題設知e＝，
所以e2＝＝＝＝＝，解得a2＝6.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)圓E：x2＋(y－2)2＝1的圓心為E(0,2)，點Q在圓E上，
所以PQ≤EP＋EQ＝EP＋1(當且僅當直線PQ過點E時取等號)．
設P(x0，y0)是橢圓C上的任意一點，
則＋＝1，即x＝6－3y.
所以EP2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因為y0∈[－，]，所以當y0＝－1時，EP2取得最大值12，即PQ≤2＋1.
所以PQ的最大值為2＋1.
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2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第九單元 解析幾何 第63講 橢圓練習 理（含解析）新人教A版
