2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)53 雙曲線 理（含解析）新人教版

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1、課時作業(yè)53　雙曲線 一、選擇題 1．(2018·浙江卷)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　B　) A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2) 解析：由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)閏2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)．故選B. 2．已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，且經(jīng)過點(diǎn)(2,2)，則C的方程為(　A　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由題意，設(shè)雙曲線C的方程為－x2＝λ(λ≠0)，因?yàn)殡p曲線C過點(diǎn)(2,2)，則

2、－22＝λ，解得λ＝－3，所以雙曲線C的方程為－x2＝－3，即－＝1. 3．設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為(　C　) A．± B．± C．±1 D．± 解析：由題設(shè)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C. ∵A1B⊥A2C， ∴·＝－1，整理得a＝b. ∵漸近線方程為y＝±x， 即y＝±x， ∴漸近線的斜率為±1. 4．設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2

3、|的最小值為(　B　) A. B．11 C．12 D．16 解析：由題意，得 所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|， 顯然，當(dāng)AB垂直于x軸時其長度最短， |AB|min＝2·＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11. 5．(2019·河南新鄉(xiāng)模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸的一個端點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若＝2，且||＝4，則雙曲線C的方程為(　D　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：不妨設(shè)B(0，b)，由＝2，F(xiàn)(c,0)，可得A，代入雙曲線

4、C的方程可得×－＝1， 即·＝，∴＝，① 又||＝＝4，c2＝a2＋b2， ∴a2＋2b2＝16，② 由①②可得，a2＝4，b2＝6， ∴雙曲線C的方程為－＝1，故選D. 6．(2019·山東泰安聯(lián)考)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的范圍是(　A　) A. B. C．(1,2) D．(2，＋∞) 解析：由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2，圓心C2的坐標(biāo)為(a,

5、0)，半徑r＝a，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點(diǎn)，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為，故選A. 二、填空題 7．實(shí)軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1或y2－＝1. 解析：2a＝2,2b＝4.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1； 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2－＝1. 8．(2019·河南安陽二模)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線＋＝1，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是(0,2)． 解析：對于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

6、－＝1(a>0，b>0)，它的焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為＝b.本題中，雙曲線＋＝1即－＝1，其焦點(diǎn)在x軸上，則解得4

7、×2＝4. 10．(2019·福建六校聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點(diǎn)，△APQ的一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為. 解析：設(shè)左焦點(diǎn)為F1，由于雙曲線和圓都關(guān)于x軸對稱，又△APQ的一個內(nèi)角為60°，所以△APQ為正三角形，則∠PFx＝60°，所以PF＝AF＝a＋c，∴PF1＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理可得PF＝PF2＋FF－2PF·FF1cos120°.故3c2－ac－4a2＝0，整理得3e2－e－4＝0，解得e＝. 三、解答題 11．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為

8、，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個頂點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程； (2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|. 解：(1)∵雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個頂點(diǎn)，∴解得c＝3，b＝，∴雙曲線的方程為－＝1. (2)雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F2(3,0)，∴經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝(x－3)． 聯(lián)立得5x2＋6x－27＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝－.所以|AB|＝×＝. 12．(2019·湛江模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)

9、的右焦點(diǎn)為F(c,0)． (1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程； (2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率． 解：(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x，所以a＝b. 所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4， 所以a2＝b2＝2， 所以雙曲線方程為－＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)， 所以直線AO的斜率滿足·(－)＝－1， 所以x0＝y(tǒng)0，① 依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2， 將①代入圓的方程得3y＋y＝c2， 即y0＝c，所以x0＝c， 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 代

10、入雙曲線方程得－＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2，② 又因?yàn)閍2＋b2＝c2， 所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0， 所以34－82＋4＝0， 所以(3e2－2)(e2－2)＝0， 因?yàn)閑>1，所以e＝， 所以雙曲線的離心率為. 13．(2019·河南洛陽聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，過F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|－|MT|等于(　D　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：連接PF2，OT，則有|MO|＝|PF

11、2| ＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3， |MT|＝·|PF1|－|F1T|＝|PF1|－ ＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT| ＝－＝1，故選D. 14．(2019·河南適應(yīng)性測試)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為，則雙曲線的漸近線方程為(　D　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則|PF1|>|PF2|，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|

12、PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因?yàn)樗浴螾F1F2為最小內(nèi)角，故∠PF1F2＝.由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，則b＝a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故選D. 15．(2019·河北衡水中學(xué)二模)已知雙曲線C：x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P是雙曲線C上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為，且·>0，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(　A　) A.∪ B. C.∪ D. 解析：由題易知四邊形PAOB為平行四邊形，且不妨設(shè)雙曲

13、線C的漸近線OA：bx－y＝0，OB：bx＋y＝0.設(shè)點(diǎn)P(m，n)，則直線PB的方程為y－n＝b(x－m)，且點(diǎn)P到漸近線OB的距離為d＝. 由解得 ∴B， ∴|OB|＝＝|bm－n|， ∴S?PAOB＝|OB|·d＝.又∵m2－＝1，∴b2m2－n2＝b2，∴S?PAOB＝b.又S?PAOB＝， ∴b＝2.∴雙曲線C的方程為x2－＝1， ∴c＝3，∴F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)， ∴·＝(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又∵m2－＝1， ∴m2－9＋8(m2－1)>0，解得m>或m<－， ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為－∞，－∪，故選A. 16．(

14、2019·河南天一大聯(lián)考)已知F1(－c,0)、F2(c,0)為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過雙曲線C的左焦點(diǎn)的直線與雙曲線C的左支交于Q，R兩點(diǎn)(Q在第二象限內(nèi))，連接RO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長交C的右支于點(diǎn)P，若|F1P|＝|F1Q|，∠F1PF2＝π，則雙曲線C的離心率為. 解析：如圖，設(shè)|PF1|＝x，則|PF2|＝x－2a，作Q關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)S，連接PS，RS，SF1. 因?yàn)殡p曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以|PO|＝|OR|，S在雙曲線上，所以四邊形PSRQ是平行四邊形，根據(jù)對稱性知，F(xiàn)2在線段PS上，|F2S|＝|QF1|＝x，則∠F1PS＝，根據(jù)雙曲線的定義，有|F1S|＝x＋2a，所以在△PF1S中，由余弦定理得(x＋2a)2＝x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·，解得x＝a，所以|PF2|＝a，所以在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝2＋2－2××a×a，整理可得e＝＝. 8