2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)49 雙曲線 文（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)作業(yè)49　雙曲線 1．已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為(　A　) A. B．3 C.m D．3m 解析：由題意知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1， 其中a2＝3m，b2＝3， 故c＝＝， 不妨取F(，0)，一條漸近線為y＝ x，化成一般式即為x－y＝0， 由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝，故選A. 2．(2019·河南洛陽(yáng)尖子生聯(lián)考)設(shè)F1、F2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|－|MT|等于(　D　)

2、 A．4 B．3 C．2 D．1 解析：連接PF2，OT， 則有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝·|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故選D. 3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　B　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：方法一：由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為－＝k(k＞0)， 即－＝1， ∵雙曲線與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)， ∴4

3、k＋5k＝12－3，解得k＝1， 故雙曲線C的方程為－＝1，故選B. 方法二：∵橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(±3,0)，雙曲線與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)， ∴a2＋b2＝(±3)2＝9①， ∵雙曲線的一條漸近線為y＝x， ∴＝②. 聯(lián)立①②可解得a2＝4，b2＝5. ∴雙曲線C的方程為－＝1. 4．已知離心率為的雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是(　B　) A．32 B．16 C．84 D．4 解析：由題意知F2(c,0)， 不妨令點(diǎn)M在漸近線

4、y＝x上， 由題意可知|F2M|＝＝b， 所以|OM|＝＝a. 由S△OMF2＝16，可得ab＝16， 即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝， 所以a＝8，b＝4，c＝4， 所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B. 5．已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使＝e，則·的值為(　B　) A．3 B．2 C．－3 D．－2 解析：由題意及正弦定理得＝＝e＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|， 由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2. 又|F1F2|＝4，由余弦定理可知 co

5、s∠PF2F1＝ ＝＝， ∴·＝||·||cos∠PF2F1＝2×4×＝2.故選B. 6．(2019·山東泰安聯(lián)考)已知雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的范圍是(　A　) A. B. C．(1,2) D．(2，＋∞) 解析：由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±x， 即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2， 圓心C2的坐標(biāo)為(a,0)，半徑r＝a， 由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 得＜a，即

6、c＞2b，即c2＞4b2， 又知b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)， 即c2＜a2，所以e＝＜， 又知e＞1，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為，故選A. 7．(2019·河南安陽(yáng)一模)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線＋＝1，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是(0,2)． 解析：對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，它的焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為＝b. 本題中，雙曲線＋＝1即－＝1，其焦點(diǎn)在x軸上， 則解得4＜m＜8， 則焦點(diǎn)到漸近線的距離d＝∈(0,2)． 8．(2017·山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右支

7、與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因?yàn)?|OF|＝|AF|＋|BF|， 所以4×＝y(tǒng)1＋＋y2＋， 即y1＋y2＝p.① 由消去x， 得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 所以y1＋y2＝.② 由①②可得＝， 故雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 9．(2019·河北名校名師俱樂(lè)部模擬)已知F1、F2分別是雙曲線x2－＝1(b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長(zhǎng)AF2交雙曲線的右支于

8、點(diǎn)B，則△F1AB的面積等于4. 解析：由題意知a＝1， 由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2， |BF1|－|BF2|＝2a＝2， ∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|. 由題意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|， ∴|BA|＝|BF1|，∴△BAF1為等腰三角形， ∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°， ∴△BAF1為等腰直角三角形． ∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2. ∴S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4. 10．(2019·河南天一大聯(lián)考)已知F1(－c,0)、F2(c,0)為

9、雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)的直線與雙曲線C的左支交于Q，R兩點(diǎn)(Q在第二象限內(nèi))，連接RO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長(zhǎng)交C的右支于點(diǎn)P，若|F1P|＝|F1Q|，∠F1PF2＝π，則雙曲線C的離心率為. 解析：設(shè)|PF1|＝x，則|PF2|＝x－2a， 作Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)S，連接PS，RS，SF1. 因?yàn)殡p曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱， 所以|PO|＝|OR|，S在雙曲線上， 所以四邊形PSRQ是平行四邊形， 根據(jù)對(duì)稱性知，F(xiàn)2在線段PS上，|F2S|＝|QF1|＝x， 則∠F1PS＝，根據(jù)雙曲線的定義， 有|F1S|＝x＋2a，所以在△PF1S

10、中， 由余弦定理得(x＋2a)2＝x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·， 解得x＝a，所以|PF2|＝a， 所以在△PF1F2中，由余弦定理得 4c2＝2＋2－2××a×a，整理可得e＝＝. 11．已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1. (1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； (2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值． 解：(1)若雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 所以 解得－＜k＜且k≠±1. 即雙曲線C與直線l有兩個(gè)不

11、同的交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)． (2)設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l與y軸交于點(diǎn)D(0，－1)，由(1)知，C與l聯(lián)立的方程為(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 所以 當(dāng)A，B在雙曲線的一支上且|x1|＞|x2|時(shí)， S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|； 當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1＞x2時(shí)， S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|. 所以S△OAB＝|x1－x2|＝， 所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2， 即2＋＝8，

12、 解得k＝0或k＝±. 又因?yàn)椋糼＜，且k≠±1， 所以當(dāng)k＝0或k＝±時(shí)，△AOB的面積為. 12．(2019·湛江模擬)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)． (1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程； (2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率． 解：(1)∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∴a＝b， ∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2， ∴雙曲線方程為－＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)， ∴直線AO的斜率滿足·(－)＝－1， ∴x

13、0＝y(tǒng)0，① 依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2， 將①代入圓的方程得3y＋y＝c2， 即y0＝c，∴x0＝c， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 代入雙曲線方程得－＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2，② 又∵a2＋b2＝c2， ∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0， ∴34－82＋4＝0， ∴(3e2－2)(e2－2)＝0， ∵e＞1，∴e＝，∴雙曲線的離心率為. 13．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C1的離心率為e1，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C2的離心率為e2，已知C1與C2具有相同的漸近線，當(dāng)e＋4e取最小值時(shí)，e1的值為(　C　) A．1 B.

14、C. D．2 解析：設(shè)雙曲線的方程分別為C1：－＝1，C2：－＝1，由題設(shè)＝，則e1＝，e2＝，由此可得(e－1)(e－1)＝1，即ee＝e＋e，故e＝，所以e＋4e＝e＋＝5＋e－1＋≥9(當(dāng)且僅當(dāng)e－1＝時(shí)取等號(hào))，e－1＝2?e1＝時(shí)取等號(hào)． 14．(2019·山西太原五中月考)已知F1、F2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，則＝(　B　) A．1 B. C. D. 解析：如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a. 又|AF1|＝2a，所以|AF

15、2|＝4a， 因?yàn)椤螰1AF2＝π， 所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|· sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2. 設(shè)|BF2|＝m，由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a， 所以|BF1|＝2a＋|BF2|， 又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|. 又知∠BAF2＝， 所以△BAF2為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4a， 所以S△ABF2＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2， 所以＝＝，故選B. 15．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為

16、. 解析：由定義，知|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a. 當(dāng)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)不共線時(shí)， 在△PF1F2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝ ＝＝－e2， 即e2＝－cos∠F1PF2. ∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈. 當(dāng)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)， ∵|PF1|＝4|PF2|，∴e＝＝， 綜上，e的最大值為. 16．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2. (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，求k的取值范圍； (3)在(

17、2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍． 解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， 所以雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由題意知解得＜k＜1. 所以當(dāng)l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為. (3)由(2)得xA＋xB＝， 所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋) ＝k(xA＋xB)＋2＝. 所以AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)直線l0的方程為y＝－x＋m， 將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l0的方程，得m＝. 因?yàn)椋糼＜1，所以－2＜1－3k2＜0.所以m＜－2. 所以m的取值范圍為(－∞，－2)． 10