2020版高考數學大一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數 第8講 函數與方程分層演練 理（含解析）新人教A版

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1、第8講 函數與方程 1．(2019·湖北襄陽四校聯(lián)考)函數f(x)＝3x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內的零點個數是(　　) A．0　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：選B.由題意知f(x)單調遞增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函數f(x)在(0，1)內連續(xù)不斷，所以f(x)在區(qū)間(0，1)內有一個零點． 2．已知實數a>1，01，0

2、x－b，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(－1，0)上存在零點． 3．(2019·遼寧大連模擬)已知偶函數y＝f(x)(x∈R)滿足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函數g(x)＝則y＝f(x)－g(x)的零點個數為(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 解析：選B.作出函數f(x)與g(x)的圖象如圖，由圖象可知兩個函數有3個不同的交點，所以函數y＝f(x)－g(x)有3個零點，故選B. 4．(2019·云南省第一次統(tǒng)一檢測)已知a，b，c，d都是常數，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零點為c

3、，d，則下列不等式正確的是(　　) A．a>c>b>d B．a>b>c>d C．c>d>a>b D．c>a>b>d 解析：選D.f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d為函數f(x)的零點，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐標系中作出函數f(x)的大致圖象，如圖所示，由圖可知c>a>b>d，故選D. 5．(2019·河北承德模擬)若函數f(x)＝有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是(　　) A． B． C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ 解析：選B.由題意知，當x≤0時，函數f(x)有

4、1個零點，即2x－2a＝0在x≤0上有根，所以0<2a≤1解得00時函數f(x)有2個零點，只需解得a>，綜上可得實數a的取值范圍是

5、(2)＝8－＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2)． 答案：(1，2) 8．已知函數f(x)＝有兩個零點，則實數a的取值范圍是________． 解析：當x<1時，顯然函數f(x)存在唯一零點x＝0，所以當x≥1時，函數f(x)存在唯一零點，又因為y＝2x在[1，＋∞)上單調遞增且值域為[2，＋∞)，所以a的取值范圍為[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 9．設函數f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的零點； (2)若對任意b∈R，函數f(x)恒有兩個不同零點，求實數a的取值范圍． 解：(1)當a＝1，b＝－2時

6、，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 所以函數f(x)的零點為3或－1. (2)依題意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有兩個不同實根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即對于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0?a2－a<0，解得00)． (1)作出函數f(x)的圖象； (2)當0

7、 ＝ 故f(x)在(0，1]上是減函數，而在(1，＋∞)上是增函數， 由0

8、州省適應性考試)已知函數f(x)＝，函數g(x)＝f(2－x)－b，其中b∈R.若函數y＝f(x)＋g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是(　　) A．(7，8) B．(8，＋∞) C．(－7，0) D．(－∞，8) 解析：選A.由已知可得f(x)＝＝將f(x)＋g(x)＝0轉化為f(x)＋f(2－x)＝b，令函數F(x)＝f(x)＋f(2－x)，則F(x)＝，作出函數F(x)的圖象，如圖，要使F(x)的圖象與直線y＝b有四個交點，則有

9、，令|x2＋2x－1|＝0，解得x＝－1－(x＝－1＋舍去)，所以函數f(x)在(－∞，0]上有一個零點，因此f(x)在(0，＋∞)上有一個零點．又因為y＝2x－1＋a在x∈(0，＋∞)上單調遞增，所以只需2－1＋a<0，解得a<－. 答案： 4．函數f(x)＝＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零點之和為________． 解析：原問題可轉化為求y＝與y＝－2cos πx的圖象在[－4，6]內的交點的橫坐標的和，因為上述兩個函數圖象均關于x＝1對稱，所以x＝1兩側的交點關于x＝1對稱，那么兩對應交點的橫坐標的和為2，分別畫出兩個函數在[－4，6]上的圖象(圖略)，可知在x＝1兩側分別

10、有5個交點，所以所求和為5×2＝10. 答案：10 5．已知函數f(x)＝－x2－2x， g(x)＝ (1)求g[f(1)]的值； (2)若方程g[f(x)]－a＝0有4個實數根，求實數a的取值范圍． 解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)內有2個不同的解， 則原方程有4個解等價于函數y＝g(t)(t<1)與y＝a的圖象有2個不同的交點，作出函數y＝g(t)(t<1)的圖象(圖略)，由圖象可知，當1≤a<時，函數y＝g(t)(t<1)與y＝a有2個不同的交

11、點，即所求a的取值范圍是. 6．已知二次函數f(x)的最小值為－4，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函數f(x)的解析式； (2)求函數g(x)＝－4ln x的零點個數． 解：(1)因為f(x)是二次函數，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. 所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函數f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3. (2)因為g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)， 所以g′(x)＝1＋－＝. 令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 當x變化時，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  極大值  極小值  當0