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1、課后限時集訓34
等比數(shù)列及其前n項和
建議用時：45分鐘
一、選擇題
1．(2019·濟南模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a3＝－2，a7＝－8，則a5＝( )
A．－4 B．±4 C．4 D．16
A [法一(求公比q)：設等比數(shù)列的公比為q，則
a7＝a3q4，即－8＝－2q4，所以q4＝4，q2＝2.
所以a5＝a3q2＝－2×2＝－4，故選A.
法二(利用性質)：由a＝a3·a7得a＝(－2)×(－8)＝16，
又等比數(shù)列的奇數(shù)項同號，所以a5＝－4，故選A.]
2．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，則a8a9
2、＝( )
A．12 B．4
C．6 D．32
B [由題意可得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8，又各項均為正數(shù)，∴a8＝2，a9＝2，∴a8a9＝4.故選B.]
3．(2019·德州模擬)記Sn是公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和，若2a2,3a3,4a4成等差數(shù)列，a1＝1，則S3＝( )
A. B.
C. D.
B [設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，由2a2,3a3,4a4成等差數(shù)列，a1＝1，
可得6a3＝2a2＋4a4，
即6q2＝2q＋4q3，
解得q＝1(舍去)或q＝，
則S3＝＝＝.
故選B.]
4．已知{an}，{bn}都
3、是等比數(shù)列，那么( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比數(shù)列
B．{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{an·bn}不一定是等比數(shù)列
C．{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{an·bn}一定是等比數(shù)列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比數(shù)列
C [兩個等比數(shù)列的和不一定是等比數(shù)列，但兩個等比數(shù)列的積一定是等比數(shù)列，故選C.]
5．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(
4、 )
A．1盞 B．3盞
C．5盞 D．9盞
B [設塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
故選B.]
二、填空題
6．(2019·江蘇高考)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________．
16 [由題意可得：
解得
則S8＝8a1＋d＝－40＋28×2＝16.]
7．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝4，則＝______.
[根據(jù)題意得S4＝4S2，即S2＝S4，由等比數(shù)列前n項和的性質有(
5、S4－S2)2＝S2(S6－S4)，得4S6＝13S4，所以＝.]
8．(2019·臨沂模擬)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比數(shù)列，則m＝________.
15 [設等差數(shù)列{an}的公差為d，
由題意得解得
∵a3，a6，am成等比數(shù)列，∴a＝a3am，
即(a1＋5d)2＝(a1＋2d)[a1＋(m－1)d]，
∴81＝3(2m－3)，解得m＝15.]
三、解答題
9．(2016·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通項
6、公式；
(2)求{bn}的前n項和．
[解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1.
(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，
因此{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
記{bn}的前n項和為Sn，
則Sn＝＝－.
10．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列．
[解](1)設{an}的公比為q.由題設可得
7、解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通項公式為an＝(－2)n.
(2)由(1)可得
Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．
1．已知正項等比數(shù)列{an}中，a1a5a9＝27，a6與a7的等差中項為9，則a10＝( )
A. B. C．96 D．729
C [由等比數(shù)列的性質可得a1a5a9＝a＝27，所以a5＝3.又因為a6與a7的等差中項為9，所以a6＋a7＝18，設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18，所以q＋q2＝6，解得q＝2或
8、q＝－3.又因為an＞0，所以q＞0，故q＝2.故a10＝a5q5＝3×25＝96.故選C.]
2．(2019·鄭州模擬)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
C [設等比數(shù)列{an}的公比為q.
由a5＝a2·q3＝2·q3＝，解得q＝，
由a2＝a1×＝2，得a1＝4，
因為數(shù)列{anan＋1}仍是等比數(shù)列，其首項是a1a2＝8，公比為，
所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．]
3．在數(shù)列{an}中，已知a1
9、＝1，nSn＋1＝3(n＋1)Sn，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________.
(2n＋1)·3n－2 [因為nSn＋1＝3(n＋1)Sn，所以＝3×，所以數(shù)列是以＝1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以＝3n－1，所以Sn＝n·3n－1.當n≥2且n∈N*時，an＝Sn－Sn－1＝n·3n－1－(n－1)·3n－2＝(2n＋1)·3n－2，當n＝1時，a1＝1符合上式，所以an＝(2n＋1)·3n－2.]
4．已知數(shù)列{an}滿足對任意的正整數(shù)n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.
(1)證明：數(shù)列{an－3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝，
10、求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解](1)證明：因為an＋1＝5an－2·3n，
所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)．
又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，
所以數(shù)列{an－3n}是首項為5，公比為5的等比數(shù)列，
所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.
(2)由(1)知，
bn＝＝＝1＋，
則數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝1＋＋1＋＋…＋1＋＝n＋
＝＋n－.
1．《九章算術》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗
11、，禾苗主人要求賠償五斗粟．羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例償還，問牛、馬、羊的主人各應賠償多少斗粟？設牛、馬、羊的主人分別應償還x斗粟、y斗粟、z斗粟，則下列判斷正確的是( )
A．y2＝xz且x＝ B．y2＝xz且x＝
C．2y＝x＋z且x＝ D．2y＝x＋z且x＝
B [由題意可知x，y，z成公比為的等比數(shù)列，
則x＋y＋z＝x＋x＋x＝5，解得x＝.
由等比數(shù)列的性質可得y2＝xz.故選B.]
2．若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－λ(λ＞0，n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求an；
(2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.
[解](1)證明：由Sn＝2an－λ可得S1＝2a1－λ，即a1＝λ.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－λ)－(2an－1－λ)＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
又a1＝λ＞0，所以數(shù)列{an}是首項為λ，公比為2的等比數(shù)列，
所以an＝λ×2n－1.
(2)由(1)可知當λ＝4時，an＝2n＋1.
從而bn＝
所以T2n＝(22＋24＋26＋…＋22n)＋[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]
＝＋n2＋2n
＝＋n2＋2n.
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