2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)36 數(shù)列求和 理 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)36 數(shù)列求和 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A.　　　　 B． C. D. B　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，得a5＝2，d＝1，所以an＝n－3.則an＋3＝n，an＋4＝n＋1，所以＝＝－.所以Sn＝1－＝.故選B.] 2．?dāng)?shù)列{(－1)n(2n－1)}的前2 020項(xiàng)和S2 020等于(　　) A．－2 018 B．2 018 C．－2 020 D．2 020 D　[S2 020＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 01

2、9－1)＋(2×2 020－1)＝2×1 010＝2 020.故選D.] 3．在數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝(　　) A．(2n－1)2 B. C．4n－1 D. D　[由題意得，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，則an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)，n＝1時(shí)也成立，所以an＝2n－1，則a＝ 22n－2，所以數(shù)列{a}的首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以a＋a＋…＋a＝＝，故選D.] 4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，且an＋an－1＝＋2(n≥2)，則數(shù)列前2 019項(xiàng)和為(　　)

3、 A. B. C. D. B　[∵an＋an－1＝＋2(n≥2)， ∴a－a－2(an－an－1)＝n， 整理，得(an－1)2－(an－1－1)2＝n， ∴(an－1)2－(a1－1)2＝n＋(n－1)＋…＋2， 又a1＝2， ∴(an－1)2＝， 即＝＝2. 則數(shù)列前2 019項(xiàng)和為： 2＝2＝.故選B.] 5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，則S13＝ (　　) A. B. C. D. C　[∵a1＝2， ∴n＝2時(shí)，a2＋a3＝22，n＝4時(shí)，a4＋a5＝24， n＝6時(shí)，a6＋a7＝26，n＝8時(shí)，a8＋

4、a9＝28， n＝10時(shí)，a10＋a11＝210，n＝12時(shí)，a12＋a13＝212， ∴S13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212 ＝2＋＝.故選C.] 二、填空題 6．(2019·浙江臺(tái)州期中)已知數(shù)列{an}滿足＝－1，且a1＝1，則an＝________，數(shù)列{bn}滿足bn＝，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝________. 　(n－1)·2n＋1＋2　[由＝－1可得－＝1， 所以為等差數(shù)列，公差、首項(xiàng)都為1， 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 ＝n，an＝，＝n×2n， Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n， 2Sn＝1×22＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋

5、1， 相減得Sn＝－(2＋22＋…＋2n)＋n×2n＋1＝－＋n×2n＋1＝(n－1)×2n＋1＋2.] 7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N＋)，則S2 018＝________. 3·21 009－3　　[∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n，① ∴n＝1時(shí)，a2＝2，n≥2時(shí)，an·an－1＝2n－1，② 由①÷②得＝2， ∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列， ∴S2 018＝＋＝3·21 009－3.] 8．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝7，a5＋a7＝26，bn＝(n∈N＋)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則S100的值

6、為_(kāi)_______． 　[因?yàn)閍3＝7，a5＋a7＝26，所以公差d＝2， 所以an＝a3＋2(n－3)＝2n＋1. 所以bn＝＝＝＝.所以S100＝b1＋b2＋…＋b100 ＝＝.] 三、解答題 9．已知等差數(shù)列{an}滿足a6＝6＋a3，且a3－1是a2－1，a4的等比中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝(n∈N＋)，數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為T(mén)n，求使Tn＜成立的最大正整數(shù)n的值 [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a6－a3＝3d＝6，即d＝2， ∴a3－1＝a1＋3，a2－1＝a1＋1，a4＝a1＋6， ∵a3－1是a2－1，a4的

7、等比中項(xiàng)， ∴(a3－1)2＝(a2－1)·a4，即 (a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1＝3. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由(1)得 bn＝＝＝. ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝， 由＜，得n＜9. ∴使Tn＜成立的最大正整數(shù)n的值為8. 10．(2019·天津高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N＋)． [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列

8、{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意，得 解得 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n， {bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3n. (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n) ＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)． 記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，① 則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，② ②－①得， 2Tn＝－3－32－33

9、－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1 ＝. 所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn ＝3n2＋3× ＝(n∈N＋)． 1．定義在[0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝2x－x2；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3f(x－2)．記函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為a1，a2，…，an，…，并記相應(yīng)的極大值為b1，b2，…，bn，…，則a1b1＋a2b2＋…＋a20b20的值為(　　) A．19×320＋1 B．19×319＋1 C．20×319＋1 D．20×320＋1 A　[由題意當(dāng)0≤x＜2時(shí)， f(x)＝2x－x2＝－(x－1)

10、2＋1極大值點(diǎn)為1，極大值為1，當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3f(x－2)．則極大值點(diǎn)形成首項(xiàng)為1，公差為2 的等差數(shù)列，極大值形成首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故an＝2n－1，bn＝3n－1， 故anbn＝(2n－1)3n－1， 設(shè)S＝a1b1＋a2b2＋…＋a20b20 ＝1×1＋3×31＋5×32＋…＋39×319， 3S＝1×31＋3×32＋…＋39×320， 兩式相減得 －2S＝1＋2(31＋32＋…＋319)－39×320 ＝1＋2×－39×320， ∴S＝19×320＋1，故選A.] 2．(2019·金山中學(xué)模擬)數(shù)列{an}且an＝若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，

11、則S2 018＝________. 　[數(shù)列{an}且an＝ ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝＝， ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝sin ， 所以S2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)， ＝＋(1＋0－1＋…＋0)， ＝＋1＝.] 3．(2019·濟(jì)南模擬)如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則標(biāo)上標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字0，記為a0；點(diǎn)(1,0)處標(biāo)數(shù)字1，記為a1；點(diǎn)(1，－1)處標(biāo)數(shù)字0，記為a2；點(diǎn)(0，－1)處標(biāo)數(shù)字－1，記為a3；點(diǎn)(－1，－1)處標(biāo)數(shù)字－2，記為a4；點(diǎn)(－1,0)處標(biāo)數(shù)字－1，記為a5；

12、點(diǎn)(－1,1)處標(biāo)數(shù)字0，記為a6；點(diǎn)(0,1)處標(biāo)數(shù)字1，記為a7；……；以此類(lèi)推，格點(diǎn)坐標(biāo)為(i，j)的點(diǎn)處所標(biāo)的數(shù)字為i＋j(i，j均為整數(shù))，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S2 018＝________. －249　[設(shè)an的坐標(biāo)為(x，y)，則an＝x＋y.第一圈從點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(1,1)共8個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈從點(diǎn)(2,1)到點(diǎn)(2,2)共16個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知a9＋a10＋…＋a24＝0，……；以此類(lèi)推，可得第n圈的8n個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這8n項(xiàng)的和也為0.設(shè)a2 018在第k圈，則8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2 024

13、個(gè)數(shù)，故S2 024＝0，則S2 018＝S2 024－(a2 024＋a2 023＋…＋a2 019)，a2 024所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(22,22)，a2 024＝22＋22，a2 023所在點(diǎn)的坐標(biāo)為(21,22)，a2 023＝21＋22，以此類(lèi)推，可得a2 022＝20＋22，a2 021＝19＋22，a2 020＝18＋22，a2 019＝17＋22，所以a2 024＋a2 023＋…＋a2 019＝249，故S2 018＝－249.] 4．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4＝14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn為數(shù)列的

14、前n項(xiàng)和，若λTn≤an＋1對(duì)一切n∈N＋恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值． [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由已知得， 解得或(舍去)，所以an＝n＋1. (2)由(1)知＝－， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝－＝. 又λTn≤an＋1恒成立， 所以λ≤＝2＋8， 而2＋8≥16，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)等號(hào)成立． 所以λ≤16，即實(shí)數(shù)λ的最大值為16. 1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2

15、,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22，依此類(lèi)推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是(　　) A．440 B．330 C．220 D．110 A　[設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來(lái)的兩項(xiàng)為第2組，再接下來(lái)的三項(xiàng)為第3組，依此類(lèi)推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為. 由題意知，N>100， 令＞100?n≥14且n∈N＋， 即N出現(xiàn)在第13組之后． 第n組的各項(xiàng)和為＝2n－1，前n組所有項(xiàng)的和為－n＝2n＋1－2－n. 設(shè)N是第n＋1組的第k項(xiàng)，若要使前N

16、項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則第n＋1組的前k項(xiàng)的和2k－1應(yīng)與－2－n互為相反數(shù)，即2k－1＝2＋n(k∈N＋，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小為29，此時(shí)k＝5， 則N＝＋5＝440. 故選A.] 2．已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn. [解]　(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q，由已知知q＞0

17、. 由題意得 所以3q2－5q－2＝0. 因?yàn)閝＞0，所以q＝2，x1＝1. 因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1. (2)過(guò)P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1， 記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn， 由題意bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，① 2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.② ①－②得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1. 所以Tn＝. 8