2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)46 圓的方程 文（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)作業(yè)46　圓的方程 1．(2019·福建廈門聯(lián)考)若a∈，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個(gè)數(shù)為(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓的條件為a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.又a∈，∴僅當(dāng)a＝0時(shí)，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，故選B. 2．若圓x2＋y2＋2ax－b2＝0的半徑為2，則點(diǎn)(a，b)到原點(diǎn)的距離為(　B　) A．1 B．2 C. D．4 解析：由半徑r＝＝＝2，得＝2.∴點(diǎn)

2、(a，b)到原點(diǎn)的距離d＝＝2，故選B. 3．(2019·廣東珠海四校聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　B　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 解析：由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)， 則有＝， 即|a|＝|a－2|，解得a＝1. 故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝， 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故選B. 4．圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋3＝0(

3、a＞0，b＞0)對(duì)稱，則＋的最小值是(　D　) A．2 B. C．4 D. 解析：由圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝9， ∵圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)對(duì)稱， ∴該直線經(jīng)過(guò)圓心(－1,3)， 即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)， ∴＋＝(a＋3b) ＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)取等號(hào)，故選D. 5．(2019·河南豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　B　)

4、 A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16 解析：法一　由題意可得圓心(0,1)到直線x－by＋2b＋1＝0的距離d＝＝＝≤ ≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時(shí)取等號(hào)， 所以半徑最大的圓的半徑r＝， 此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2. 法二　直線x－by＋2b＋1＝0過(guò)定點(diǎn)P(－1,2)，如圖． ∴圓與直線x－by＋2b＋1＝0相切于點(diǎn)P時(shí)，圓的半徑最大，為，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2，故選B. 6．(2019·福建三明第一中學(xué)月考)若對(duì)圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一點(diǎn)P(x，

5、y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值與x，y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　D　) A．(－∞，－4] B．[－4,6] C．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D．[6，＋∞) 解析：設(shè)z＝|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|＝ 5，故|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|可看作點(diǎn)P到直線m：3x－4y＋a＝0與直線l：3x－4y－9＝0距離之和的5倍， ∵取值與x，y無(wú)關(guān)，∴這個(gè)距離之和與P無(wú)關(guān)， 如圖所示，可知直線m向上平移時(shí)，P點(diǎn)到直線m，l間的距離之和均為m，l間的距離，即此時(shí)與x，y的值無(wú)關(guān)，當(dāng)直線m與圓相切時(shí)，＝1，化簡(jiǎn)得|a－1|＝5， 解得a

6、＝6或a＝－4(舍去)，∴a≥6，故選D. 7．(2019·河南新鄉(xiāng)模擬)若圓C：x2＋2＝n的圓心為橢圓M：x2＋my2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，且圓C經(jīng)過(guò)M的另一個(gè)焦點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4. 解析：∵圓C的圓心為， ∴ ＝，m＝. 又圓C經(jīng)過(guò)M的另一個(gè)焦點(diǎn)， 則圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，從而n＝4. 故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4. 8．(2019·東北三省四校聯(lián)考)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)．記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為74. 解析：設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋

7、|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2. x＋y為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方， ∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74. 9．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝－圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為－2. 解析：函數(shù)y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部分，令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，則得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示， 由于圓心(1,0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝＞2， 所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離， 因此|PQ|的最小值是－2. 10．

8、(2019·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 解析：解法一：∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上， ∴設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)． 又∵所求圓與直線x－y＝0相切， ∴半徑r＝＝|a|. 又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝， ∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2， 解得a＝1. ∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 解法二：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，則圓

9、心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝. ∴r2＝＋， 即2r2＝(a－b－3)2＋3.① 由于所求圓與直線x－y＝0相切， ∴(a－b)2＝2r2.② 又∵圓心在直線x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③ 聯(lián)立①②③，解得 故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 解法三：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為，半徑r＝， ∵圓心在直線x＋y＝0上， ∴－－＝0，即D＋E＝0，① 又∵圓C與直線x－y＝0相切， ∴＝， 即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)， ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.② 又知圓心到直線x－y－3＝0的距離d＝， 由

10、已知得d2＋2＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③ 聯(lián)立①②③，解得 故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2. (1)求圓心P的軌跡方程； (2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． 解：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x2＋3. 故P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1. (2)設(shè)P(x0，y0)．由已知得＝. 又P點(diǎn)在雙曲線y2－x2＝1上， 從而得由得

11、 此時(shí)，圓P的半徑r＝. 由得 此時(shí)，圓P的半徑r＝. 故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3. 12．已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 解：(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， 所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2. 又|QC|＝＝4＞2. 所以點(diǎn)Q在圓C外， 所以|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直線MQ的斜率， 設(shè)

12、＝k，則直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0， 因?yàn)橹本€MQ與圓C有交點(diǎn)， 所以≤2，可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值為2＋，最小值為2－. 13．已知點(diǎn)P(t，t)，t∈R，點(diǎn)M是圓x2＋(y－1)2＝上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓(x－2)2＋y2＝上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|－|PM|的最大值是(　B　) A.－1 B．2 C．3 D. 解析：易知圓x2＋(y－1)2＝的圓心為A(0,1)，圓(x－2)2＋y2＝的圓心為B(2,0)，P(t，t)在直線y＝x上，A(0,1)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1,0)， 則|PN|－|PM|≤|PB|＋－

13、＝|PB|－|PA|＋1＝|PB|－|PA′|＋1≤|A′B|＋1＝2，故選B. 14．(2019·廈門模擬)已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4,0)，若點(diǎn)P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值為(　B　) A．6 B. C．8 D. 解析：x2＋y2－2y＝0可化為x2＋(y－1)2＝1， 則圓C為以(0,1)為圓心，1為半徑的圓． 如圖，過(guò)圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P， 連接BP，AP，這時(shí)△ABP的面積最小，直線AB的方程為＋＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離d＝， 又|AB|＝＝5，∴△ABP的面積的最小值為×5×

14、＝. 15．如圖，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC邊的中點(diǎn)為D(2,0)，則點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形的面積為4π. 解析：由已知|AB|＝2|AD|，設(shè)點(diǎn)A(x，y)， 則(x＋1)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]， 所以點(diǎn)A的軌跡方程為(x－3)2＋y2＝4(y≠0)， 設(shè)C(x′，y′)，由AC邊的中點(diǎn)為D(2,0)知A(4－x′，－y′)， 所以C的軌跡方程為(4－x′－3)2＋(－y′)2＝4， 即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 所以點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形面積為4π. 16．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(2

15、,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． 解：(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4. 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1， 所以O(shè)A⊥OB. 故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝. 由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)， 因此·＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4. 所以2m2－m－1＝0， 解得m＝1或m＝－. 當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為2＋2＝. 8