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1、課后限時集訓12
函數(shù)與方程
建議用時：45分鐘
一、選擇題
1．設f(x)＝ln x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B [∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∵函數(shù)f(x)＝ln x＋x－2的圖像是連續(xù)的，且為增函數(shù)，
∴f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)．]
2．函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為( )
A．3 B．2
C．7 D．0
B [法一：(直接法)由f(x)＝0得
或
解得x＝－2
2、或x＝e.
因此函數(shù)f(x)共有2個零點．
法二：(圖像法)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖像知函數(shù)f(x)共有2個零點．]
3．已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符號不確定
C [f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
若0＜x0＜a，
則f(x0)＜f(a)＝0.]
4．已知函數(shù)f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零點分別為x1，x2，x3，則( )
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3
3、C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
C [作出y＝x與y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的圖像如圖所示，可知選C.
]
5．(2019·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝則使方程x＋f(x)＝m有解的實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(1,2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D [當x≤0時，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；當x＞0時，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故選D.]
二、填空題
6．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)
4、上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[∵函數(shù)f(x)的圖像為直線，
由題意可得f(－1)f(1)＜0，
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
∴實數(shù)a的取值范圍是.]
7．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是________．
[∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2，3.
∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，
由根與系數(shù)的關系知
∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0，
解集為.]
8．(2019·漳州
5、模擬)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示．
當x≤0時，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函數(shù)f(x)與y＝m的圖像有三個不同的交點，則－＜m≤0，即實數(shù)m的取值范圍是.]
三、解答題
9．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點．
(1)求m的值．
(2)求函數(shù)的零點．
[解] (1)因為f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根．
設2x＝t(t＞0)，則t2＋mt＋1＝0.
當Δ＝0時，即m2－4＝0，
所以m＝
6、±2，
當m＝－2時，t＝1；
當m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合題意．
當Δ＞0時，即m＞2或m＜－2，
t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根，
即f(x)有兩個零點或沒有零點．
所以這種情況不符合題意．
綜上可知：當m＝－2時，f(x)有唯一零點．
(2)由(1)可知，該函數(shù)的零點為0.
10．設函數(shù)f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函數(shù)f(x)的圖像；
(2)當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍．
[解] (1)如圖所示．
(2)因為f(x)＝＝
故f(
7、x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù)．
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，
且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由函數(shù)f(x)的圖像可知，當0＜m＜1時，函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝m有兩個不同的交點，即方程f(x)＝m有兩個不相等的正根．
1．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點有( )
A．多于4個 B．4個
C．3個 D．2個
B [因為偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，故函數(shù)的周期為2.當x∈[0,1]時，f(x)
8、＝x，故當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x.函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點的個數(shù)等于函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)y＝log3|x|的圖像的交點個數(shù)．在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)y＝log3|x|的圖像，如圖所示．
顯然函數(shù)y＝f(x)的圖像與函數(shù)y＝log3|x|的圖像有4個交點，故選B.]
2．已知當x∈[0,1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖像與y＝＋m的圖像有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)
C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
B [在同一直角
9、坐標系中，分別作出函數(shù)f(x)＝(mx－1)2＝m22與g(x)＝＋m的大致圖像．分兩種情形：
(1)當0＜m≤1時，≥1，如圖①，當x∈[0,1]時，f(x)與g(x)的圖像有一個交點，符合題意．
① ?、?
(2)當m＞1時，0＜＜1，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖像在[0,1]上只有一個交點，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
綜上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．故選B.]
3．已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ＝________.
－ [依
10、題意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1個解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1個解，
∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，
故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.]
4．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
[解] (1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)內(nèi)有2個不同的解，
則原方程有4個解等價于函數(shù)y＝g
11、(t)(t＜1)與y＝a的圖像有2個不同的交點，作出函數(shù)y＝g(t)(t＜1)的圖像(圖略)，由圖像可知，當1≤a＜時，函數(shù)y＝g(t)(t＜1)與y＝a有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是.
1．已知函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________．
[若關于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數(shù)根，則f(x)的圖像和直線y＝kx－有4個交點．作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，故點(1,0)在直線y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞.
當直線y＝kx－和y＝ln x相切時，設切點橫坐標為m，則k＝＝，所以m＝.此時，k＝＝，f(x)的圖像和直線y＝kx－有3個交點，不滿足條件，故要求的k的取值范圍是.]
2．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0,2]上f(x)＝x，若關于x的方程f(x)＝logax有三個不同的實根，求a的取值范圍．
[解] 由f(x－4)＝f(x)知，函數(shù)的周期為4，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函數(shù)圖像關于x＝2對稱，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三個不同的根，則滿足
解得＜a＜，故a的取值范圍是(，)．
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