中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二編 中檔題型突破專項訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（五）圓的有關(guān)計算、證明與探究試題

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中檔題型訓(xùn)練(五)　圓的有關(guān)計算、證明與探究 命題規(guī)律 圓的有關(guān)計算與證明是懷化中考的必考內(nèi)容之一，占有較大的比重，通常結(jié)合三角形、四邊形等知識綜合考查，以計算題、證明題的形式出現(xiàn)，解答此類問題要熟練掌握圓的基本性質(zhì)，特別是切線的性質(zhì)和判定，同時要注意已知條件之間的相互聯(lián)系． 命題預(yù)測 預(yù)計2017年懷化中考將以切線的判定與性質(zhì)、求陰影的面積或弧長綜合呈現(xiàn)，也可能設(shè)置考查某一個點的形式呈現(xiàn). 　與圓有關(guān)的性質(zhì) 【例1】(2015黔西南中考)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1＝∠C. (1)求證：CB∥PD； (2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直徑． 【解析】(1)通過圓周角轉(zhuǎn)換找出一組內(nèi)錯角相等；(2)通過連接直徑所對圓周角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解決直徑問題． 【學(xué)生解答】解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD；(2)連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90.又∵CD⊥AB，∴＝.∴∠P＝∠CAB.∴sin∠CAB＝sin∠P＝，即＝.又∵BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O的直徑為5. 1．(2016蘇州中考)如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE，DE，DF. (1)證明：∠E＝∠C； (2)若∠E＝55，求∠BDF的度數(shù)； (3)設(shè)DE交AB于點G，若DF＝4，cosB＝，E是的中點，求EGED的值． 解：(1)連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C； (2)∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AFD＝180－∠E.又∵∠CFD＝180－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55.又∵∠E＝∠C＝55，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110； (3)連接OE，∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4.在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6.∵E是的中點，AB是⊙O的直徑，∴∠AOE＝90.∵AO＝OE＝3，∴AE＝3.∵E是的中點，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴＝，即EGED＝AE2＝18. 　圓的切線的性質(zhì)與判定 【例2】(2015雅安中考)如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD＝CB，延長CD交BA的延長線于點E. (1)求證：CD為⊙O的切線； (2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30，求圖中陰影部分的面積．(結(jié)果保留π) 【解析】(1)證∠ODC＝∠ABC＝90；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30，OF＝1，可求得BD的長，∠BOD的度數(shù)，又由S陰影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解． 【學(xué)生解答】解：(1)連接OD，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC＝90.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90，即OD⊥CD.∵點D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線；(2)在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30，OF＝1，∴∠BOF＝60，OB＝2，BF＝.∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120.∴S陰影＝S扇形OBD－S△BOD＝－21＝π－. 2．(2016黃石中考)如圖，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上(異于A，B)，AD⊥CD. (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線． 解：(1)∵AB是⊙O直徑，點C在⊙O上，∴∠ACB＝90.∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝4； (2)連接OC，∵AC是∠DAB的平分線，∴∠DAC＝∠BAC.又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90，∴DC是⊙O的切線． 3．(2015臨沂中考)如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD. (1)求證：AD平分∠BAC； (2)若∠BAC＝60，OA＝2，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留π) 解：(1)∵⊙O切BC于點D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；(2)設(shè)EO與AD交于點M，連接ED.∵∠BAC＝60，OA＝OE，∴△AEO是等邊三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60，∴AE＝AO＝OD，又由(1)知，AC∥OD即AE∥OD，∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DOM，∠EOD＝60，∴S△AEM＝S△DMO，∴S陰影＝S扇形EOD＝＝. 4．(2016白銀中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上，BD＝DC，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，⊙O經(jīng)過A，B，D三點． (1)求證：AB是⊙O的直徑； (2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明； (3)若⊙O的半徑為3，∠BAC＝60，求DE的長． 解：(1)連接AD，∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90，∴AB為⊙O的直徑； (2)DE與⊙O相切．證明：連接OD，∵AO＝BO，BD＝DC，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線； (3)∵AO＝3，∴AB＝6.又∵AB＝AC，∠BAC＝60，∴△ABC為等邊三角形，∴AD＝3.∵ACDE＝CDAD，∴6DE＝33，∴DE＝. 　圓與相似及三角函數(shù)的綜合 【例3】(2015資陽中考)如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于點E，連接AD. (1)求證：△CDE∽△CAD； (2)若AB＝2，AC＝2，求AE的長． 【解析】(1)利用圓的知識證角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知識解決線段長度的計算． 【學(xué)生解答】解：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，∴∠ABD＋∠BAD＝90.又∵AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90，∴∠CAD＋∠BAD＝90，∴∠ABD＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE.又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2)2＝OC2，∴OC＝3，∴CD＝2.又由△CDE∽△CAD，得＝，即＝，∴CE＝.∴AE＝AC－CE＝2－＝. 5．(2016涼山中考)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是的中點，AE⊥AC于點A，與⊙O及CB的延長線交于點F，E，且＝. (1)求證：△ADC∽△EBA； (2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值． 解：(1)∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE.∵＝，∴∠DCA＝∠BAE.∴△ADC∽△EBA； (2)∵A是的中點，∴AB＝AC＝8.∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，∴＝，∴AE＝＝，∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝.