九年級數學上學期10月月考試卷(含解析) 新人教版6
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2015-2016學年湖北省武漢市鋼城十一中九年級(上)月考數學試卷(10月份) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 1.方程4x2﹣x+2=3中二次項系數、一次項系數、常數項分別是( ?。? A.4、﹣1、﹣1 B.4、﹣1、2 C.4、﹣1、3 D.4、﹣1、5 2.方程x(x﹣1)=2的解是( ?。? A.x=﹣1 B.x=﹣2 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=﹣1,x2=2 3.若x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個根,則x1+x2的值是( ?。? A.4 B.3 C.﹣4 D.﹣3 4.拋物線y=2(x+3)2﹣5的頂點坐標是( ?。? A.(﹣3,﹣5) B.(﹣3,5) C.(3,﹣5) D.(3,5) 5.如圖,△ABC中,∠C=65,將△ABC繞點A順時針旋轉后,可以得到△AB′C′,且C′在邊BC上,則∠B′C′B的度數為( ) A.56 B.50 C.46 D.40 6.若關于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,則2014﹣a﹣b的值是( ?。? A.2019 B.2009 C.2015 D.2013 7.近幾年,我國經濟高速發(fā)展,但退休人員待遇持續(xù)偏低.為了促進社會公平,國家決定大幅增加退休人員退休金.企業(yè)退休職工李師傅2011年月退休金為1500元,2013年達到2160元.設李師傅的月退休金從2011年到2013年年平均增長率為x,可列方程為( ?。? A.2016(1﹣x)2=1500 B.1500(1+x)2=2160 C.1500(1﹣x)2=2160 D.1500+1500(1+x)+1500(1+x)2=2160 8.如圖,已知△ABC中,∠C=90,AC=BC=,將△ABC繞點A順時針方向旋轉60到△AB′C′的位置,連接C′B,則C′B的長為( ?。? A.2﹣ B. C.﹣1 D.1 9.已知α是一元二次方程2x2﹣2x﹣3=0的兩個根中較大的根,則下面對α的估計正確的是( ?。? A.0<α< B.<α<1 C.1<α< D.<α<2 10.如圖:在△ABC中,∠ACB=90,∠B=30,AC=1,AC在直線l上,將△ABC繞點A順時針旋轉到位置①,可得到點P1,此時AP1=2;將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉到位置②,可得到點P2,此時AP2=2+;將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉到位置③,可得到點P3,可得到點P3,此時AP3=3+;…,按此規(guī)律繼續(xù)旋轉,直到得到點P2015為止,則AP2015=( ?。? A.2015+672 B.2013+671 C.2013+672 D.2015+671 二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分) 11.在平面直角坐標系中,點P(2,﹣3)關于原點對稱點P′的坐標是 ?。? 12.如果二次函數y=(1﹣2k)x2﹣3x+1的圖象開口向上,那么常數k的取值范圍是 ?。? 13.關于x的一元二次方程(p﹣1)x2﹣x+p2﹣1=0一個根為0,則實數p的值是 . 14.明德小學為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑兩條寬度相同的道路,余下部分作草坪,現(xiàn)在有一位學生設計了如圖所示的方案,求圖中道路的寬是 米時,草坪面積為540平方米. 15.如圖,拋物線y=ax2+bx+c分別交坐標軸于A(﹣2,0)、B(6,0)、C(0,4),則0≤ax2+bx+c<4的解集是 . 16.如圖所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120,△AEF為正三角形,點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動,且E、F不與B、C、D重合.當點E、F在BC、CD上滑動時,則△CEF的面積最大值是 . 三、解答題(共8小題,共72分) 17.解方程:x2+5x=﹣2. 18.已知拋物線y=x2﹣4x+5.求拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 19.為了應對市場競爭,某手生產廠計劃用兩年的時間把某種型號的手機的生產成本降低64%,若每年下降的百分數相同,求這個百分數. 20.已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有兩個實數根. (1)求k的取值范圍; (2)如果k是符合條件的最大整數,且一元二次方程x2﹣4x+k=0與x2+mx﹣1=0有一個相同的根,求此時m的值. 21.如圖所示,已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(﹣2,3),B(﹣6,0),C(﹣1,0). (1)請直接寫出點B關于點A對稱的點的坐標; (2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉90,畫出圖形,直接寫出點B的對應點的坐標; (3)請直接寫出:以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標. 22.某商場在1月至12月份經銷某種品牌的服裝,由于受到時令的影響,該種服裝的銷售情況如下:銷售價格y1(元/件)與銷售月份x(月)的關系大致滿足如圖的函數,銷售成本y2(元/件)與銷售月份x(月)滿足y2=,月銷售量y3(件)與銷售月份x(月)滿足y3=10x+20. (1)根據圖象求出銷售價格y1(元/件)與銷售月份x(月)之間的函數關系式;(6≤x≤12且x為整數) (2)求出該服裝月銷售利潤W(元)與月份x(月)之間的函數關系式,并求出哪個月份的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(6≤x≤12且x為整數) 23.如圖,等邊三角形ABC和等邊三角形DEC,CE和AC重合,CE=AB. (1)求證:AD=BE; (2)若CE繞點C順時針旋轉30度,連BD交AC于點G,取AB的中點F連FG.求證:BE=2FG; (3)在(2)的條件下AB=2,則AG= ?。ㄖ苯訉懗鼋Y果) 24.如圖,開口向下的拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(﹣1,0)、B(5,0)兩點,交y軸于點C(0,5) (1)求拋物線的解析式; (2)設拋物線的頂點為D,求△BCD的面積; (3)在(2)的條件下,P、Q為線段BC上兩點(P左Q右,且P、Q不與B、C重合),PQ=2,在第一象限的拋物線上是否存在這樣的點R,使△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點R的坐標;若不存在,請說明理由. 2015-2016學年湖北省武漢市鋼城十一中九年級(上)月考數學試卷(10月份) 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 1.方程4x2﹣x+2=3中二次項系數、一次項系數、常數項分別是( ?。? A.4、﹣1、﹣1 B.4、﹣1、2 C.4、﹣1、3 D.4、﹣1、5 【考點】一元二次方程的一般形式. 【分析】要確定一次項系數和常數項,首先要把方程化成一般形式. 【解答】解:∵方程4x2﹣x+2=3化成一般形式是4x2﹣x﹣1=0, ∴二次項系數為4,一次項系數為﹣1,常數項為﹣1, 故選:A. 【點評】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常數且a≠0)特別要注意a≠0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.在一般形式中ax2叫二次項,bx叫一次項,c是常數項.其中a,b,c分別叫二次項系數,一次項系數,常數項. 2.方程x(x﹣1)=2的解是( ) A.x=﹣1 B.x=﹣2 C.x1=1,x2=﹣2 D.x1=﹣1,x2=2 【考點】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】觀察方程的特點:應用因式分解法解這個一元二次方程. 【解答】解:整理得:x2﹣x﹣2=0, (x+1)(x﹣2)=0, ∴x+1=0或x﹣2=0, 即x1=﹣1,x2=2 故選D. 【點評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據方程的特點靈活選用合適的方法. 3.若x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個根,則x1+x2的值是( ) A.4 B.3 C.﹣4 D.﹣3 【考點】根與系數的關系. 【分析】根據x1+x2=﹣即可得. 【解答】解:∵x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個根, ∴x1+x2=﹣4, 故選:C. 【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=﹣,x1x2=. 4.拋物線y=2(x+3)2﹣5的頂點坐標是( ?。? A.(﹣3,﹣5) B.(﹣3,5) C.(3,﹣5) D.(3,5) 【考點】二次函數的性質. 【分析】由于拋物線y=a(x﹣h)2+k的頂點坐標為(h,k),由此即可求解. 【解答】解:∵拋物線y=2(x+3)2﹣5, ∴頂點坐標為:(﹣3,﹣5). 故選A. 【點評】此題主要考查了二次函數的性質,解題的關鍵是熟練掌握拋物線的頂點坐標公式即可解決問題. 5.如圖,△ABC中,∠C=65,將△ABC繞點A順時針旋轉后,可以得到△AB′C′,且C′在邊BC上,則∠B′C′B的度數為( ?。? A.56 B.50 C.46 D.40 【考點】旋轉的性質. 【分析】根據旋轉的性質和∠C=65,從而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度數,從而可以求得∠B′C′B的度數. 【解答】解:∵將△ABC繞點A順時針旋轉后,可以得到△AB′C′,且C′在邊BC上, ∴AC=AC′,∠C=∠AC′B′, ∴∠C=∠AC′C, ∵∠C=65, ∴∠AC′B′=65,∠AC′C=65, ∴∠B′C′B=180﹣∠AC′B′﹣∠AC′C=50, 故選B. 【點評】本題考查旋轉的性質,解題的關鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件. 6.若關于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,則2014﹣a﹣b的值是( ?。? A.2019 B.2009 C.2015 D.2013 【考點】一元二次方程的解. 【分析】已知了一元二次方程的一個實數根,可將其代入該方程中,即可求出b的值. 【解答】解:∵一元二次方程為ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1, ∴a+b+5=0, 即a+b=﹣5, ∴2014﹣a﹣b=2014﹣(a+b)=2014﹣(﹣5)=2019, 故選A. 【點評】此題主要考查了方程解的定義,所謂方程的解,即能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值. 7.近幾年,我國經濟高速發(fā)展,但退休人員待遇持續(xù)偏低.為了促進社會公平,國家決定大幅增加退休人員退休金.企業(yè)退休職工李師傅2011年月退休金為1500元,2013年達到2160元.設李師傅的月退休金從2011年到2013年年平均增長率為x,可列方程為( ?。? A.2016(1﹣x)2=1500 B.1500(1+x)2=2160 C.1500(1﹣x)2=2160 D.1500+1500(1+x)+1500(1+x)2=2160 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程. 【專題】增長率問題. 【分析】本題是關于增長率問題,一般用增長后的量=增長前的量(1+增長率),如果設李師傅的月退休金從2011年到2013年年平均增長率為x,那么根據題意可用x表示今年退休金,然后根據已知可以得出方程. 【解答】解:如果設李師傅的月退休金從2011年到2013年年平均增長率為x, 那么根據題意得今年退休金為:1500(1+x)2, 列出方程為:1500(1+x)2=2160. 故選:B. 【點評】考查了由實際問題抽象出一元二次方程,平均增長率問題,一般形式為a(1+x)2=b,a為起始時間的有關數量,b為終止時間的有關數量. 8.如圖,已知△ABC中,∠C=90,AC=BC=,將△ABC繞點A順時針方向旋轉60到△AB′C′的位置,連接C′B,則C′B的長為( ?。? A.2﹣ B. C.﹣1 D.1 【考點】旋轉的性質. 【分析】連接BB′,根據旋轉的性質可得AB=AB′,判斷出△ABB′是等邊三角形,根據等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BB′,然后利用“邊邊邊”證明△ABC′和△B′BC′全等,根據全等三角形對應角相等可得∠ABC′=∠B′BC′,延長BC′交AB′于D,根據等邊三角形的性質可得BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出AB,然后根據等邊三角形的性質和等腰直角三角形的性質求出BD、C′D,然后根據BC′=BD﹣C′D計算即可得解. 【解答】解:如圖,連接BB′, ∵△ABC繞點A順時針方向旋轉60得到△AB′C′, ∴AB=AB′,∠BAB′=60, ∴△ABB′是等邊三角形, ∴AB=BB′, 在△ABC′和△B′BC′中, , ∴△ABC′≌△B′BC′(SSS), ∴∠ABC′=∠B′BC′, 延長BC′交AB′于D, 則BD⊥AB′, ∵∠C=90,AC=BC=, ∴AB==2, ∴BD=2=, C′D=2=1, ∴BC′=BD﹣C′D=﹣1. 故選:C. 【點評】本題考查了旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質,等腰直角三角形的性質,作輔助線構造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關鍵,也是本題的難點. 9.已知α是一元二次方程2x2﹣2x﹣3=0的兩個根中較大的根,則下面對α的估計正確的是( ?。? A.0<α< B.<α<1 C.1<α< D.<α<2 【考點】解一元二次方程-公式法;估算無理數的大?。? 【分析】先求出方程的解,再求出的范圍,最后即可得出答案. 【解答】解:△=(﹣2)2﹣42(﹣3)=28, x==, 由題意得,α=, ∵2<<3 ∴<α<2, 故選:D. 【點評】本題考查了解一元二次方程,估算無理數的大小的應用,正確解出方程、掌握估算無理數的大小的方法是解題的關鍵. 10.如圖:在△ABC中,∠ACB=90,∠B=30,AC=1,AC在直線l上,將△ABC繞點A順時針旋轉到位置①,可得到點P1,此時AP1=2;將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉到位置②,可得到點P2,此時AP2=2+;將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉到位置③,可得到點P3,可得到點P3,此時AP3=3+;…,按此規(guī)律繼續(xù)旋轉,直到得到點P2015為止,則AP2015=( ?。? A.2015+672 B.2013+671 C.2013+672 D.2015+671 【考點】旋轉的性質;含30度角的直角三角形;勾股定理. 【專題】規(guī)律型. 【分析】先求出△ABC三邊的長,再依次計算AP1、AP2、AP3、…,發(fā)現(xiàn)每旋轉三次時,A到P的距離為三角形的周長,增加一次,長度增加2,增加2次時,長度增加2+,增加3時,長度增加周長3+;因此要計算AP2015=的長度,要先計算2015除以3,商是多少,余數是多少,從而得出結果. 【解答】解:在Rt△ABC中, ∵∠B=30,AC=1, ∴AB=2,BC=, 由旋轉得:AP1=AB=2, AP2=AP1+P1P2=2+, AP3=AP1+P1P2+P2P3=3+, … ∵20153=671…2, ∴AP2015=671(3+)+2+=2015+672, 故選A. 【點評】本題是旋轉變換問題,也是圖形類規(guī)律問題;考查了含30角的直角三角形的性質和勾股定理,此類題的解題思路為:①先表示出直角三角形各邊長;②因為要計算AP2015的長,所以從AP1、AP2、AP3、依次計算,并總結規(guī)律,如果看不出可以多計算幾個長度. 二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分) 11.在平面直角坐標系中,點P(2,﹣3)關于原點對稱點P′的坐標是 (﹣2,3)?。? 【考點】關于原點對稱的點的坐標. 【專題】常規(guī)題型. 【分析】平面直角坐標系中任意一點P(x,y),關于原點的對稱點是(﹣x,﹣y). 【解答】解:根據中心對稱的性質,得點P(2,﹣3)關于原點的對稱點P′的坐標是(﹣2,3). 故答案為:(﹣2,3). 【點評】關于原點對稱的點坐標的關系,是需要識記的基本問題.記憶方法是結合平面直角坐標系的圖形記憶. 12.如果二次函數y=(1﹣2k)x2﹣3x+1的圖象開口向上,那么常數k的取值范圍是 k<?。? 【考點】二次函數的性質. 【分析】由拋物線開口向上,可得到關于k的不等式,可求得k的取值范圍. 【解答】解: ∵二次函數y=(1﹣2k)x2﹣3x+1的圖象開口向上, ∴1﹣2k>0,解得k<, 故答案為:k<. 【點評】本題主要考查二次函數的性質,掌握二次函數的開口方向由二次項系數的正負決定是解題的關鍵. 13.關于x的一元二次方程(p﹣1)x2﹣x+p2﹣1=0一個根為0,則實數p的值是 ﹣1 . 【考點】一元二次方程的解. 【專題】方程思想. 【分析】根據一元二次方程的解的定義,將x=0代入原方程,然后解關于p的一元二次方程.另外注意關于x的一元二次方程(p﹣1)x2﹣x+p2﹣1=0的二次項系數不為零. 【解答】解:∵關于x的一元二次方程(p﹣1)x2﹣x+p2﹣1=0一個根為0, ∴x=0滿足方程(p﹣1)x2﹣x+p2﹣1=0, ∴p2﹣1=0, 解得,p=1或p=﹣1; 又∵p﹣1≠0,即p≠1; ∴實數p的值是﹣1. 故答案是:﹣1. 【點評】此題主要考查了方程解的定義.此類題型的特點是,將原方程的解代入原方程,建立關于p的方程,然后解方程求未知數p. 14.明德小學為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑兩條寬度相同的道路,余下部分作草坪,現(xiàn)在有一位學生設計了如圖所示的方案,求圖中道路的寬是 2 米時,草坪面積為540平方米. 【考點】一元二次方程的應用. 【專題】計算題;應用題. 【分析】如果設路寬為xm,耕地的長應該為32﹣x,寬應該為20﹣x;那么根據耕地的面積為540m2,即可得出方程,求解即可. 【解答】解:設道路的寬為x米.依題意得: (32﹣x)(20﹣x)=540, 解之得x1=2,x2=50(不合題意舍去). 答:道路寬為2m. 故答案為2. 【點評】本題考查一元二次方程的應用,難度中等.可將耕地面積看作一整塊的矩形的面積,根據矩形面積=長寬求解. 15.如圖,拋物線y=ax2+bx+c分別交坐標軸于A(﹣2,0)、B(6,0)、C(0,4),則0≤ax2+bx+c<4的解集是 ﹣2≤x<0或4<x≤6?。? 【考點】二次函數與不等式(組). 【分析】根據點A、B的坐標確定出對稱軸,再求出點C的對稱點的坐標,然后寫出即可. 【解答】解:∵A(﹣2,0)、B(6,0), ∴對稱軸為直線x==2, ∴點C的對稱點的坐標為(4,4), ∴0≤ax2+bx+c<4的解集為﹣2≤x<0或4<x≤6. 故答案為:﹣2≤x<0或4<x≤6. 【點評】本題考查了二次函數與不等式,難點在于求出對稱軸并得到C點的對稱點的坐標. 16.如圖所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120,△AEF為正三角形,點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動,且E、F不與B、C、D重合.當點E、F在BC、CD上滑動時,則△CEF的面積最大值是 ?。? 【考點】菱形的性質;等邊三角形的性質. 【分析】先求證AB=AC,進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形,得∠4=60,AC=AB進而求證△ABE≌△ACF,可得S△ABE=S△ACF,故根據S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題;當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時,邊AE最短.△AEF的面積會隨著AE的變化而變化,且當AE最短時,正三角形AEF的面積會最小,又根據S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF,則△CEF的面積就會最大. 【解答】解:如圖,連接AC, ∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120, ∠1+∠EAC=60,∠3+∠EAC=60, ∴∠1=∠3, ∵∠BAD=120, ∴∠ABC=60, ∴△ABC和△ACD為等邊三角形, ∴∠4=60,AC=AB, ∴在△ABE和△ACF中, , ∴△ABE≌△ACF(ASA), ∴S△ABE=S△ACF, ∴S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值, 作AH⊥BC于H點,則BH=2, ∴S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=4, 由“垂線段最短”可知:當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時,邊AE最短, ∴△AEF的面積會隨著AE的變化而變化,且當AE最短時,正三角形AEF的面積會最小, 又∵S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF,則 此時△CEF的面積就會最大, ∴S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=4﹣2=. 故答案為: 【點評】本題主要考查了菱形的性質、全等三角形判定與性質及三角形面積的計算,根據△ABE≌△ACF,得出四邊形AECF的面積是定值是解題的關鍵. 三、解答題(共8小題,共72分) 17.解方程:x2+5x=﹣2. 【考點】解一元二次方程-配方法. 【分析】利用配方法即可求出方程的解. 【解答】解:x2+5x+=, (x+)2=, x= 【點評】本題考查一元二次方程的解法,本題采用配方法求解,屬于基礎題型. 18.已知拋物線y=x2﹣4x+5.求拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 【考點】二次函數的性質. 【分析】用配方法將拋物線的一般式轉化為頂點式,直接寫出開口方向,頂點坐標和對稱軸. 【解答】解:∵y=x2﹣4x+5, ∴y=(x﹣2)2+1, ∵a=1>0, ∴該拋物線的開口方向上, ∴對稱軸和頂點坐標分別為:x=2,(2,1). 【點評】本題考查了拋物線解析式與二次函數性質的聯(lián)系.頂點式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k,當a>0時,拋物線開口向上,當a<0時,拋物線開口向下;頂點坐標為(h,k),對稱軸為x=h. 19.為了應對市場競爭,某手生產廠計劃用兩年的時間把某種型號的手機的生產成本降低64%,若每年下降的百分數相同,求這個百分數. 【考點】一元二次方程的應用. 【專題】增長率問題. 【分析】可設原來的成本為1.等量關系為:原來的成本(1﹣每年下降的百分數)2=原來的成本(1﹣64%),把相關數值代入求合適解即可. 【解答】解:設每年下降的百分數為x. 1(1﹣x)2=1(1﹣64%), ∵1﹣x>0, ∴1﹣x=0.6, ∴x=40%. 答:每年下降的百分數為40%. 【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用;求平均變化率的方法為:若設變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經過兩次變化后的數量關系為a(1x)2=b. 20.已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有兩個實數根. (1)求k的取值范圍; (2)如果k是符合條件的最大整數,且一元二次方程x2﹣4x+k=0與x2+mx﹣1=0有一個相同的根,求此時m的值. 【考點】根的判別式;一元二次方程的解. 【專題】計算題. 【分析】(1)方程x2﹣4x+k=0有兩個實數根,即知△≥0,解可求k的取值范圍; (2)結合(1)中k≤4,且k是符合條件的最大整數,可知k=4,把k=4代入x2﹣4x+k=0中,易解x=2,再把x=2代入x2+mx﹣1=0中,易求m. 【解答】解:(1)∵方程x2﹣4x+k=0有兩個實數根, ∴△≥0, 即16﹣4k≥0, 解得k≤4; (2)∵k≤4,且k是符合條件的最大整數, ∴k=4, 解方程x2﹣4x+4=0得x=2, 把x=2代入x2+mx﹣1=0中,可得 4+2m﹣1=0, 解得m=﹣. 【點評】本題考查了根的判別式、解不等式,解題的關鍵是知道△≥0?方程有兩個實數根. 21.如圖所示,已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(﹣2,3),B(﹣6,0),C(﹣1,0). (1)請直接寫出點B關于點A對稱的點的坐標; (2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉90,畫出圖形,直接寫出點B的對應點的坐標; (3)請直接寫出:以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標. 【考點】作圖-旋轉變換. 【分析】(1)點B關于點A對稱的點的坐標為(2,6); (2)分別作出點A、B、C繞坐標原點O逆時針旋轉90后的點,然后順次連接,并寫出點B的對應點的坐標; (3)分別以AB、BC、AC為對角線,寫出第四個頂點D的坐標. 【解答】解:(1)點B關于點A對稱的點的坐標為(2,6); (2)所作圖形如圖所示: , 點B的坐標為:(0,﹣6); (3)當以AB為對角線時,點D坐標為(﹣7,3); 當以AC為對角線時,點D坐標為(3,3); 當以BC為對角線時,點D坐標為(﹣5,﹣3). 【點評】本題考查了根據旋轉變換作圖,軸對稱的性質,以及平行四邊形的性質,熟練掌握網格結構,準確找出對應點的位置是解題的關鍵. 22.某商場在1月至12月份經銷某種品牌的服裝,由于受到時令的影響,該種服裝的銷售情況如下:銷售價格y1(元/件)與銷售月份x(月)的關系大致滿足如圖的函數,銷售成本y2(元/件)與銷售月份x(月)滿足y2=,月銷售量y3(件)與銷售月份x(月)滿足y3=10x+20. (1)根據圖象求出銷售價格y1(元/件)與銷售月份x(月)之間的函數關系式;(6≤x≤12且x為整數) (2)求出該服裝月銷售利潤W(元)與月份x(月)之間的函數關系式,并求出哪個月份的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(6≤x≤12且x為整數) 【考點】二次函數的應用. 【分析】(1)根據待定系數法,可得函數解析式; (2)根據銷售額減去銷售成本,可得銷售利潤,根據函數的性質,可得最大利潤. 【解答】解:(1)設銷售價格y1(元/件)與銷售月份x(月)之間的函數關系式為y1=kx+b (6≤x≤12), 函數圖象過(6,60)、(12,100),則 , 解得. 故銷售價格y1(元/件)與銷售月份x(月)之間的函數關系式y(tǒng)1=x+20 (6≤x≤12且x為整數); (2)由題意得w=y1?y3﹣y2?y3即 w=(x+20)?(10x+20)﹣x?(10x+20) 化簡,得 w=20x2+240x+400, ∵a=20,x=﹣=﹣=﹣6是對稱軸, 當x>﹣6時,w隨x的增大而增大, ∴當x=12時,銷售量最大,W最大=20122+24012+400=6160, 答:12月份利潤最大,最大利潤是6160元. 【點評】本題考查了二次函數的應用,利用了待定系數法求解析式,利用了函數的減區(qū)間求函數的最大值. 23.如圖,等邊三角形ABC和等邊三角形DEC,CE和AC重合,CE=AB. (1)求證:AD=BE; (2)若CE繞點C順時針旋轉30度,連BD交AC于點G,取AB的中點F連FG.求證:BE=2FG; (3)在(2)的條件下AB=2,則AG= ?。ㄖ苯訉懗鼋Y果) 【考點】旋轉的性質;全等三角形的判定與性質. 【專題】證明題. 【分析】(1)由三角形ABC和等三角形DEC都是等邊三角形,得到∠BCE=∠ACD=60,CE=CD,CB=CA,則△CBE≌△CAD,從而得到BE=AD. (2)過B作BT⊥AC于T,連AD,則∠ACE=30,得∠GCD=90,而CE=AB,BT=AB,得BT=CD,可證得Rt△BTG≌Rt△DCG, 有BG=DG,而F為AB的中點,所以FG∥AD,F(xiàn)G=AD,易證Rt△BCE≌Rt△ACD,得到BE=AD=2FG; (3)由(2)Rt△BTG≌Rt△DCG,得到AT=TC,GT=CT,即可得到AG=. 【解答】解:(1)證明:∵三角形ABC和等三角形DEC都是等邊三角形, ∴∠BCE=∠ACD=60,CE=CD,CB=CA, ∴△CBE≌△CAD, ∴BE=AD. (2)證明:過B作BT⊥AC于T,連AD,如圖: ∵CE繞點C順時針旋轉30度, ∴∠ACE=30, ∴∠GCD=90, 又∵CE=AB, 而BT=AB, ∴BT=CD, ∴Rt△BTG≌Rt△DCG,∴BG=DG. ∵F為AB的中點, ∴FG∥AD,F(xiàn)G=AD, ∵∠BCE=∠ACD=90, CB=CA,CE=CD, ∴Rt△BCE≌Rt△ACD.∴BE=AD, ∴BE=2FG; (3)∵AB=2, 由(2)Rt△BTG≌Rt△DCG, ∴AT=TC,GT=CG, ∴GT=, ∴AG=. 故答案為. 【點評】本題考查了旋轉的性質:旋轉前后兩圖形全等,對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角.也考查了等邊三角形的性質、三角形全等的判定與性質以及三角形中位線的性質. 24.如圖,開口向下的拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(﹣1,0)、B(5,0)兩點,交y軸于點C(0,5) (1)求拋物線的解析式; (2)設拋物線的頂點為D,求△BCD的面積; (3)在(2)的條件下,P、Q為線段BC上兩點(P左Q右,且P、Q不與B、C重合),PQ=2,在第一象限的拋物線上是否存在這樣的點R,使△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點R的坐標;若不存在,請說明理由. 【考點】待定系數法求二次函數解析式. 【分析】(1)直接把點A(﹣1,0)、B(5,0),C(0,5)代入拋物線y=ax2+bx+c,利用待定系數法即可得出拋物線的解析式; (2)作DE⊥AB于E,交對稱軸于F,根據(1)求得的解析式得出頂點坐標,然后根據S△BCD=S△CDF+S△BDF即可求得; (3)分三種情況:①以點P為直角頂點;②以點R為直角頂點;③以點Q為直角頂點;進行討論可得使△PQR為等腰直角三角形時點R的坐標. 【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點A(﹣1,0),B(5,0),C(0,5) ∴, 解得. ∴此拋物線的解析式為:y=﹣x2+4x+5; (2)由y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9可知頂點D的坐標為(2,9), 作DE⊥AB于E,交對稱軸于F,如圖, ∴E(2,0), ∵B(5,0),C(0,5) ∴直線BC的解析式為y=﹣x+5, 把x=2代入得,y=3, ∴F(2,3), ∴DF=9﹣3=6, S△BCD=S△CDF+S△BDF=62﹣6(5﹣2)=65=15; (3)分三種情況: ①以點P為直角頂點, ∵PQ=2, ∴RQ=PQ=4 ∵C(0,5),B(5,0), ∴OC=OB=5, ∴∠OCB=∠OBC=45, ∵∠RQP=45 ∴RQ∥OC 可求得直線BC的解析式為y=﹣x+5, 設R(m,﹣m2+4m+5),則Q(m,﹣m+5) 則RQ=(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)=4 解得m1=4,m2=1, ∵點Q在點P右側, ∴m=4, ∴R(4,5); ②以點R為直角頂點, ∵PQ=2, ∴RQ=PQ=2 設R(m,﹣m2+4m+5)則Q(m,﹣m+5),則RQ=(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)=2, 解得m1=,m2=, ∵點Q在點P右側, ∴m=, ∴R(,); ③以點Q為直角頂點, ∵PQ=2∴PR=PQ=4 ∵C(0,5),B(5,0) ∴OC=OB=5 ∴∠OCB=∠OBC=45 ∵∠RPQ=45, ∴PR∥OB 設R(m,﹣m2+4m+5),則P(m﹣4,﹣m2+4m+5), 把P(m﹣4,﹣m2+4m+5)代入y=﹣x+5,得﹣(m﹣4)+5=﹣m2+4m+5 解得m1=4,m2=1, 此時點P(0,5) 因為點P在線段BC上運動,且不與B、C重合,所以不存在以Q為直角頂點的情況. 綜上所述:當 R(4,5)或((,)時,△PQR為等腰直角三角形. 【點評】考查了二次函數綜合題,涉及的知識點有:待定系數法求拋物線的解析式,頂點坐標,面積計算,等腰直角三角形的判定與性質,以及分類思想的應用,綜合性較強,有一定的難度.- 配套講稿:
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