八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 浙教版2

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2016-2017學(xué)年浙江省杭州市青春中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（30分，每題3分） 1．已知等腰三角形的一個外角等于100，則它的頂角是（　?。? A．80 B．20 C．80或20 D．不能確定 2．不等式3（x﹣2）≤x+4的非負(fù)整數(shù)解有（　　）個． A．4 B．5 C．6 D．無數(shù) 3．小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖所示的四塊（圖中所標(biāo)1、2、3、4），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶（　?。┤ィ? A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊 4．以下列各數(shù)為邊長，不能組成直角三角形的是（　?。? A．7，23，25 B．8，15，17 C．9，40，41 D．3，6，3 5．如圖，已知△ABC，求作一點P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA=PB、下列確定P點的方法正確的是（　?。? A．P為∠A、∠B兩角平分線的交點 B．P為AC、AB兩邊上的高的交點 C．P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點 D．P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點 6．下列命題中，屬于假命題的是（　?。? A．三角形中至少有一個角大于60 B．如果三條線段長分別為4cm，6cm，9cm，那么這三條線段能組成三角形 C．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 D．如果一個三角形是軸對稱圖形，那么這個三角形一定是等腰三角形 7．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CF，BE=CD，若∠A=40，則∠EDF的度數(shù)為（　?。? A．75 B．70 C．65 D．60 8．已知方程組：的解x，y滿足x+3y≥0，則m的取值范圍是（　?。? A．﹣≤m≤1 B．m≥ C．m≥1 D．m≥﹣ 9．如圖，Rt△ABC中，AC=BC=4，點D，E分別是AB，AC的中點，在CD上找一點P，使PA+PE最小，則這個最小值是（　?。? A．2 B． C． D．4 10．如圖，∠BAC=∠DAF=90，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45，連接EF、BF，則下列結(jié)論： ①△AED≌△AEF ②△AED為等腰三角形 ③BE+DC＞DE ④BE2+DC2=DE2， 其中正確的有（　　）個． A．4 B．3 C．2 D．1 　 二．填空題．（24分，每小題4分） 11．在△ABC中，AB=3，BC=7，則AC的長x的取值范圍是　　． 12．如圖，用尺規(guī)作圖作“一個角等于已知角”的原理是：因為△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C′=∠DOC．由這種作圖方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依據(jù)是　?。▽懗鋈扰卸ǚ椒ǖ暮唽懀? 13．直角三角形兩直角邊長為5和12，則此直角三角形斜邊上的中線的長是　?。? 14．若關(guān)于x的一元一次不等式組無解，則m的取值范圍為　?。? 15．如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點為G，若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是　?。? 16．在Rt△ABC中，∠C=90，BC=8cm，AC=6cm，在射線BC上一動點D，從點B出發(fā)，以2厘米每秒的速度勻速運動，若點D運動t秒時，以A、D、B為頂點的三角形恰為等腰三角形，則所用時間t為　　秒． 　 三．簡答題．（66分） 17．解下列不等式（組），并把解集表示在數(shù)軸上． （1） （2）． 18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）； （2）連結(jié)AP，若AC=4，BC=8時，試求點P到AB邊的距離． 19．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，取點D與點E，使得AD=AE，∠BAE=∠CAD，連結(jié)BD與CE交于點O．求證： （1）△ACE≌∠ABD=∠ACE； （2）∠ABC=∠ACB． 20．如圖，△ABC中，AB=AC，AE=BC，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連結(jié)EC．（1）若CE=12，求BC長． （2）求∠ECD的度數(shù)． 21．在△ABC中，AC=AB=5，一邊上高為3，求底邊BC的長（注意：請畫出圖形）． 22．隨著人們生活質(zhì)量的提高，凈水器已經(jīng)慢慢走入了普通百姓家庭，某電器公司銷售每臺進(jìn)價分別為2000元、1700元的A、B兩種型號的凈水器，下表是近兩周的銷售情況： 銷售時段 銷售數(shù)量 銷售收入 A種型號 B種型號 第一周 3臺 5臺 18000元 第二周 4臺 10臺 31000元 （1）求A，B兩種型號的凈水器的銷售單價； （2）若電器公司準(zhǔn)備用不多于54000元的金額在采購這兩種型號的凈水器共30臺，求A種型號的凈水器最多能采購多少臺？ （3）在（2）的條件下，公司銷售完這30臺凈水器能否實現(xiàn)利潤為12800元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由． 23．如圖（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）． （1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)t=1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系； （2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=60”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為x cm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年浙江省杭州市青春中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（30分，每題3分） 1．已知等腰三角形的一個外角等于100，則它的頂角是（　?。? A．80 B．20 C．80或20 D．不能確定 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】此外角可能是頂角的外角，也可能是底角的外角，需要分情況考慮，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180，可求出頂角的度數(shù)． 【解答】解：①若100是頂角的外角，則頂角=180﹣100=80； ②若100是底角的外角，則底角=180﹣100=80，那么頂角=180﹣280=20． 故選C． 【點評】當(dāng)外角不確定是底角的外角還是頂角的外角時，需分兩種情況考慮，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180、三角形外角的性質(zhì)求解． 　 2．不等式3（x﹣2）≤x+4的非負(fù)整數(shù)解有（　?。﹤€． A．4 B．5 C．6 D．無數(shù) 【考點】一元一次不等式的整數(shù)解． 【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的非負(fù)整數(shù)即可． 【解答】解：去括號得：3x﹣6≤x+4， 解得：x≤5， 則滿足不等式的非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2，3，4，5共6個． 故選C． 【點評】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵． 　 3．小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖所示的四塊（圖中所標(biāo)1、2、3、4），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶（　?。┤ィ? A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊 【考點】全等三角形的應(yīng)用． 【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗證． 【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ? 只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的． 故選B． 【點評】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 　 4．以下列各數(shù)為邊長，不能組成直角三角形的是（　?。? A．7，23，25 B．8，15，17 C．9，40，41 D．3，6，3 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理知，當(dāng)三角形中三邊存在：a2+b2=c2關(guān)系時是直角三角形． 【解答】解：A、不能，因為不符合勾股定理的逆定理； B、能，因為82+152=172； C、能，因為92+402=412； D、能，因32+2=62． 故選A． 【點評】本題考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形．關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理解答． 　 5．如圖，已知△ABC，求作一點P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA=PB、下列確定P點的方法正確的是（　?。? A．P為∠A、∠B兩角平分線的交點 B．P為AC、AB兩邊上的高的交點 C．P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點 D．P為∠A的角平分線與AB的垂直平分線的交點 【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的判定定理作答． 【解答】解：∵點P到∠A的兩邊的距離相等， ∴點P在∠A的角平分線上； 又∵PA=PB， ∴點P在線段AB的垂直平分線上， ∴P為∠BAC的角平分線與線段AB的垂直平分線的交點． 故選D． 【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線及線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵． 　 6．下列命題中，屬于假命題的是（　?。? A．三角形中至少有一個角大于60 B．如果三條線段長分別為4cm，6cm，9cm，那么這三條線段能組成三角形 C．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 D．如果一個三角形是軸對稱圖形，那么這個三角形一定是等腰三角形 【考點】命題與定理． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)即可一一判斷． 【解答】解：A、錯誤． B、正確．理由：4+6＞9． C、正確．角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和． D、正確．如果一個三角形是軸對稱圖形，那么這個三角形一定是等腰三角形． 【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，屬于中考常考題型． 　 7．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CF，BE=CD，若∠A=40，則∠EDF的度數(shù)為（　?。? A．75 B．70 C．65 D．60 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理先求出∠B、∠C的度數(shù)，利用SAS判定△BED≌△CDF，從而得出對應(yīng)角相等，再利用角與角之間的關(guān)系從而求得所求的角． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=40 ∴∠B=∠C=70 ∵EB=BD=DC=CF ∵△BED和△CDF中， ∴△BED≌△CDF（SAS） ∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF ∵∠EDF=180﹣∠CDF﹣∠BDE=180﹣（∠CDF+∠BDE） ∵∠B=70 ∴∠BDE+∠BED=110即∠CDF+∠BDE=110 ∴∠EDF=180﹣110=70． 故選B． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；注意發(fā)現(xiàn)三個等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵． 　 8．已知方程組：的解x，y滿足x+3y≥0，則m的取值范圍是（　　） A．﹣≤m≤1 B．m≥ C．m≥1 D．m≥﹣ 【考點】解一元一次不等式；二元一次方程組的解． 【分析】直接把兩等式相加，再由x+3y≥0求出m的取值范圍即可． 【解答】解：，①+②得，x+3y=2m+1， ∵x+3y≥0， ∴2m+1≥0，解得m≥﹣． 故選D． 【點評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，Rt△ABC中，AC=BC=4，點D，E分別是AB，AC的中點，在CD上找一點P，使PA+PE最小，則這個最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PA，PE的值，從而找出其最小值． 【解答】解：如圖，連接BE，則BE就是PA+PE的最小值， ∵Rt△ABC中，AC=BC=4，點D，E分別是AB，AC的中點， ∴CE=2cm， ∴BE==2， ∴PA+PE的最小值是2． 故選C． 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，解題時注意轉(zhuǎn)化思想的運用． 　 10．如圖，∠BAC=∠DAF=90，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45，連接EF、BF，則下列結(jié)論： ①△AED≌△AEF ②△AED為等腰三角形 ③BE+DC＞DE ④BE2+DC2=DE2， 其中正確的有（　?。﹤€． A．4 B．3 C．2 D．1 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】由SAS△AED≌△AEF，證明證明△ABF≌△ACD，得出BF=CD；由△AED≌△AEF，得到DE=EF；證明∠EBF=90，即可解決問題． 【解答】解：∵∠DAF=90，∠DAE=45， ∴∠FAE=45=∠DAE， 在△AED與△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF， ∴△AED≌△AEF（SAS），①正確； 沒有條件能證出△AED為等腰三角形，②錯誤； ∵∠BAC=∠DAF=90， ∴∠BAF=∠DAC； 在△ABF與△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD， ∴△ABF≌△ACD（SAS）， ∴BF=CD； ∵△AED≌△AEF， ∴DE=EF； ∵BE+BF＞EF，而BF=CD， ∴BE+DC＞DE，③正確； ∵∠EBF=90， ∴BE2+BF2=EF2， 即BE2+DC2=DE2，④正確； 綜上所述：①③④3個均正確， 故選B． 【點評】該題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系等知識；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵． 　 二．填空題．（24分，每小題4分） 11．在△ABC中，AB=3，BC=7，則AC的長x的取值范圍是　4＜x＜10　． 【考點】三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差，而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍． 【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得 AC的長x的取值范圍是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10． 【點評】本題考查三角形的三邊關(guān)系．三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊． 　 12．如圖，用尺規(guī)作圖作“一個角等于已知角”的原理是：因為△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C′=∠DOC．由這種作圖方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依據(jù)是　SSS?。▽懗鋈扰卸ǚ椒ǖ暮唽懀? 【考點】全等三角形的判定；作圖—基本作圖． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】利用基本作圖得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可利用“SSS”判斷△D′O′C′≌△DOC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到角相等． 【解答】解：根據(jù)作圖得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′， 所以利用“SSS”可判斷為△D′O′C′≌△DOC， 所以∠D′O′C′=∠DOC． 故答案為“SSS”． 【點評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊． 　 13．直角三角形兩直角邊長為5和12，則此直角三角形斜邊上的中線的長是　?。? 【考點】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解． 【解答】解：∵直角三角形兩直角邊長為5和12， ∴斜邊=13， ∴此直角三角形斜邊上的中線的長=． 故答案為：． 【點評】此題主要考查勾股定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的綜合運用． 　 14．若關(guān)于x的一元一次不等式組無解，則m的取值范圍為　m≤0?。? 【考點】解一元一次不等式組． 【分析】首先解每個不等式，然后根據(jù)不等式組無解即可得到一個關(guān)于m的不等式，從而求得m的范圍． 【解答】解：， 解①得x＜2， 解②得x＞2﹣m， 根據(jù)題意得：2≥2﹣m， 解得：m≤0． 故答案是：m≤0． 【點評】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來判斷．還可以觀察不等式的解，若x＞較小的數(shù)、＜較大的數(shù)，那么解集為x介于兩數(shù)之間． 　 15．如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點為G，若S△ABC=12，則圖中陰影部分的面積是　4?。? 【考點】三角形的面積． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍． 【解答】解：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點G， ∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF， ∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=12=6， ∴S△CGE=S△ACF=6=2，S△BGF=S△BCF=6=2， ∴S陰影=S△CGE+S△BGF=4． 故答案為4． 【點評】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，△BGF的面積=△BGD的面積=△CGD的面積，△AGF的面積=△AGE的面積=△CGE的面積． 　 16．在Rt△ABC中，∠C=90，BC=8cm，AC=6cm，在射線BC上一動點D，從點B出發(fā)，以2厘米每秒的速度勻速運動，若點D運動t秒時，以A、D、B為頂點的三角形恰為等腰三角形，則所用時間t為　，5，8　秒． 【考點】勾股定理；等腰三角形的判定． 【分析】當(dāng)△BCD為等腰三角形時應(yīng)分當(dāng)D是頂角頂點，當(dāng)B是頂角頂點，當(dāng)A是頂角的頂點三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理求得BD的長，從而求解． 【解答】解：①如圖1，當(dāng)AD=BD時， 在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得到：AD2=AC2+CD2，即BD2=（8﹣BD）2+62， 解得，BD=（cm）， 則t==（秒）； ②如圖2，當(dāng)AB=BD時． 在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到： AB===10，則t==5（秒）； ③如圖3，當(dāng)AD=AB時，BD=2BC=16，則t==8（秒）； 綜上所述，t的值可以是：，5，8； 故答案是：，5，8 【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定．解題時，注意要分類討論，以防漏解．另外，解題過程中，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想． 　 三．簡答題．（66分） 17．解下列不等式（組），并把解集表示在數(shù)軸上． （1） （2）． 【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 【分析】（1）首先去分母，去括號，再移項、合并同類項、把x的系數(shù)化為1即可得答案； （2）首先分別計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集． 【解答】解：（1）去分母得：3（2x﹣1）﹣2（1+x）≥12， 去括號得：6x﹣3﹣2﹣2x≥12， 移項得：6x﹣2x≥12+3+2， 合并同類項得：4x≥17， 把x的系數(shù)化為1得：x≥； （2）， 由①得：x＜5， 由②得：x≥﹣1， 不等式組的解集為：﹣1≤x＜5． 【點評】此題主要考查了解一元一次不等式（組），關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到． 　 18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡）； （2）連結(jié)AP，若AC=4，BC=8時，試求點P到AB邊的距離． 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（1）作AB的垂直平分線交BC于P點，則PA=PB； （2）設(shè)BP=x，則AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x，然后在Rt△ACP中根據(jù)勾股定理得到（8﹣x）2+42=x2，再解方程即可． 【解答】解：（1）如圖，點P為所作； （2）設(shè)BP=x，則AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x， 在Rt△ACP中， ∵PC2+AC2=AP2， ∴（8﹣x）2+42=x2，解得x=5， 即BP的長為5，PC=3，點P到AB的距離為3． 【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 19．如圖，在△ABC中，AB=AC，取點D與點E，使得AD=AE，∠BAE=∠CAD，連結(jié)BD與CE交于點O．求證： （1）△ACE≌∠ABD=∠ACE； （2）∠ABC=∠ACB． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由已知條件得到∠BAD=∠CAE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB． 【解答】證明：（1）∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD與△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，△ABC中，AB=AC，AE=BC，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連結(jié)EC．（1）若CE=12，求BC長． （2）求∠ECD的度數(shù)． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等量關(guān)系可求BC長． （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠ECD的度數(shù)． 【解答】解：（1）因為ED垂直平分AC， 所以AE=EC， 因為AE=BC， 所以CE=BC=12； （2）因為AE=CE=BC， 所以∠A=∠ACE，∠B=∠CEB， 因為AB=AC， 所以∠B=∠ACB， 因為∠BEC=∠A+∠ECA=2∠A， 設(shè)∠A=x，則∠BEC=∠B=∠ACB=2x， 所以5x=180，x=36， 所以∠A=∠ECD=36． 【點評】本題考查了等腰三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)，應(yīng)熟記其性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等． 　 21．（10分）（2015秋?杭州期中）在△ABC中，AC=AB=5，一邊上高為3，求底邊BC的長（注意：請畫出圖形）． 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】分三種情況：①當(dāng)?shù)走匓C邊上的高為3時；②當(dāng)腰上的高BD=3時；③當(dāng)高在△ABC的外部時；根據(jù)勾股定理先求得AD，根據(jù)線段的和差求得BD，根據(jù)勾股定理求得底邊BC的長． 【解答】解：分三種情況： ①當(dāng)?shù)走匓C邊上的高為3時，如圖1所示， ∵在△ACD中，AB=AC=5，高AD=3， ∴BD=CD==4， ∴BC=2BD=8； ②當(dāng)腰上的高BD=3時，如圖2所示： 則AD==4， ∴CD=5﹣4=1， ∴BC===； ③當(dāng)高在△ABC的外部時，如圖3所示： ∵在△BCD中，AB=AC=5，高BD=3， ∴AD==4， ∴CD=4+5=9， ∴BC===3； 綜上所述：底邊BC的長是8或或3． 【點評】本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)．注意熟練運用勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方． 　 22．隨著人們生活質(zhì)量的提高，凈水器已經(jīng)慢慢走入了普通百姓家庭，某電器公司銷售每臺進(jìn)價分別為2000元、1700元的A、B兩種型號的凈水器，下表是近兩周的銷售情況： 銷售時段 銷售數(shù)量 銷售收入 A種型號 B種型號 第一周 3臺 5臺 18000元 第二周 4臺 10臺 31000元 （1）求A，B兩種型號的凈水器的銷售單價； （2）若電器公司準(zhǔn)備用不多于54000元的金額在采購這兩種型號的凈水器共30臺，求A種型號的凈水器最多能采購多少臺？ （3）在（2）的條件下，公司銷售完這30臺凈水器能否實現(xiàn)利潤為12800元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由． 【考點】一元一次不等式的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)A、B兩種型號凈水器的銷售單價分別為x元、y元，根據(jù)3臺A型號5臺B型號的凈水器收入18000元，4臺A型號10臺B型號的凈水器收入31000元，列方程組求解； （2）設(shè)采購A種型號凈水器a臺，則采購B種型號凈水器（30﹣a）臺，根據(jù)金額不多余54000元，列不等式求解； （3）設(shè)利潤為12800元，列方程求出a的值為8，符合（2）的條件，可知能實現(xiàn)目標(biāo)． 【解答】解：（1）設(shè)A、B兩種凈水器的銷售單價分別為x元、y元， 依題意得：， 解得：． 答：A、B兩種凈水器的銷售單價分別為2500元、2100元． （2）設(shè)采購A種型號凈水器a臺，則采購B種凈水器（30﹣a）臺． 依題意得：2000a+1700（30﹣a）≤54000， 解得：a≤10． 故超市最多采購A種型號凈水器10臺時，采購金額不多于54000元． （3）依題意得：（2500﹣2000）a+（2100﹣1700）（30﹣a）=12800， 解得：a=8， 故采購A種型號凈水器8臺，采購B種型號凈水器22臺，公司能實現(xiàn)利潤12800元的目標(biāo)． 【點評】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解． 　 23．如圖（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）． （1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)t=1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系； （2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=60”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為x cm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】動點型． 【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90得出結(jié)論即可； （2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可． 【解答】解：（1）當(dāng)t=1時，AP=BQ=1，BP=AC=3， 又∵∠A=∠B=90， 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP=∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90． ∴∠CPQ=90， 即線段PC與線段PQ垂直． （2）①若△ACP≌△BPQ， 則AC=BP，AP=BQ， ， 解得 ； ②若△ACP≌△BQP， 則AC=BQ，AP=BP， ， 解得 ； 綜上所述，存在 或 使得△ACP與△BPQ全等． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透．