高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題2 突破點(diǎn)4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理
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專題二 數(shù) 列 建知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 明內(nèi)在聯(lián)系 高考點(diǎn)撥] 數(shù)列專題是高考的必考專題之一,主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算及數(shù)列求和的能力,該部分即可單獨(dú)命題,又可與其他專題綜合命題,考查方式靈活多樣,結(jié)合近幾年高考命題研究,為此本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和”兩條主線展開分析和預(yù)測(cè). 突破點(diǎn)4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 提煉1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算 (1)通項(xiàng)公式 等差數(shù)列:an=a1+(n-1)d; 等比數(shù)列:an=a1qn-1. (2)求和公式 等差數(shù)列:Sn==na1+d; 等比數(shù)列:Sn==(q≠1). (3)性質(zhì) 若m+n=p+q, 在等差數(shù)列中am+an=ap+aq; 在等比數(shù)列中aman=apaq. 提煉2 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法: (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義,證明an+1-an(n∈N*)為一常數(shù); ②利用中項(xiàng)性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n≥2). (2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義,證明(n∈N*)為一常數(shù); ②利用等比中項(xiàng),即證明a=an-1an+1(n≥2). 提煉3 數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法 (1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)=an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制. (2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解出n的取值范圍,從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化,進(jìn)而確定相應(yīng)的最值. (3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解,若求數(shù)列{an}的最大項(xiàng),則可解不等式組若求數(shù)列{an}的最小項(xiàng),則可解不等式組求出n的取值范圍之后,再確定取得最值的項(xiàng). 回訪1 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 1.(2016全國乙卷)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 C 法一:∵{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 又∵a10=8,∴∴ ∴a100=a1+99d=-1+991=98.故選C. 法二:∵{an}是等差數(shù)列, ∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3. 在等差數(shù)列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差數(shù)列,且公差d′=a10-a5=8-3=5. 故a100=a5+(20-1)5=98.故選C.] 2.(2013全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C ∵{an}是等差數(shù)列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. 又Sm===0, ∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)1=2,∴m=5.] 3.(2013全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為________. -49 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和可得解得 ∴nSn=n2a1+d=-3n2+(n3-n2)=n3-,∴(nSn)′=n2-, 令(nSn)′=0,解得n=0(舍去)或n=. 當(dāng)n>時(shí),nSn是單調(diào)遞增的;當(dāng)0<n<時(shí),nSn是單調(diào)遞減的,故當(dāng)n=7時(shí),nSn取最小值, ∴(nSn)min=73-=-49.] 回訪2 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 4.(2015全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 B ∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21, ∴1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去). ∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=221=42.故選B.] 5.(2016全國乙卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為________. 64 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8. 故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=23n =23n-+=2-+n. 記t=-+=-(n2-7n), 結(jié)合n∈N*可知n=3或4時(shí),t有最大值6. 又y=2t為增函數(shù),從而a1a2…an的最大值為26=64.] 熱點(diǎn)題型1 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 題型分析:以等差(比)數(shù)列為載體,考查基本量的求解,體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),題型以客觀題為主,難度較小. (1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a3=30,S4=120,設(shè)bn=1+log3an,那么數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和為( ) A.152 B.135 C.80 D.16 (2)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1=( ) A.2 B.-2 C. D.- (1)B (2)D (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,所以公比q==3,首項(xiàng)a1==3,所以an=3n,bn=1+log33n=1+n,則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,前15項(xiàng)的和為=135,故選B. (2)由題意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6,因?yàn)镾1,S2,S4成等比數(shù)列, 所以S=S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-,故選D.] 在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d(公比q),在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組,從而求出這兩個(gè)量,那么其他問題也就會(huì)迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法,這其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用. 提醒:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),務(wù)必注意公比q的取值范圍. 變式訓(xùn)練1] (1)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+3,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=51,則n=__________. (2)(名師押題)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則=________. (1)6 (2)2n-1 (1)由a1=1,an+1=an+3,得an+1-an=3, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列. 由Sn=n+3=51,即(3n+17)(n-6)=0, 解得n=6或n=-(舍). (2)∵q===, ∴a1+a3=a1+a1=, 解得a1=2, ∴an=2n-1=, ∴Sn==4, ∴==2n-1.] 熱點(diǎn)題型2 等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì) 題型分析:該熱點(diǎn)常與數(shù)列中基本量的運(yùn)算綜合考查,熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì),可以大大提高解題效率. (1)(2016南昌一模)若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),前4項(xiàng)的和為9,積為,則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952020】 A. B. C.1 D.2 (2)(2015東北三校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S15>0,S16<0,則,,,…,中最大的項(xiàng)為( ) A. B. C. D. (1)D (2)C (1)由題意得 S4==9,所以=.由a1a1qa1q2a1q3=(aq3)2=得aq3=.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項(xiàng)倒數(shù)的和為====2,故選D. (2)由S15===15a8>0,S16==16<0,可得a8>0,a9<0,d<0,故Sn最大為S8.又d<0,所以{an}單調(diào)遞減,因?yàn)榍?項(xiàng)中Sn遞增,所以Sn最大且an取最小正值時(shí)有最大值,即最大,故選C.] 1.若{an},{bn}均是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,則{man+kbn},仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù). 2.若{an},{bn}均是等比數(shù)列,則{can}(c≠0),{|an|},{anbn},{manbn}(m為常數(shù)),{a},仍為等比數(shù)列. 3.公比不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列,且公比不變,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…成等比數(shù)列,且公比為==q. 4.(1)等比數(shù)列(q≠-1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比數(shù)列,其公比為qk. (2)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列,公差為k2d. 5.若A2n-1,B2n-1分別為等差數(shù)列{an},{bn}的前2n-1項(xiàng)的和,則=. 變式訓(xùn)練2] (1)(2016沈陽模擬)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足2a2-a+2a12=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b3b11等于( ) A.16 B.8 C.4 D.2 (2)在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15=( ) A.1 B.2 C.3 D.2或4 (1)A (2)C (1)∵{an}是等差數(shù)列,∴a2+a12=2a7, ∴2a2-a+2a12=4a7-a=0. 又a7≠0,∴a7=4. 又{bn}是等比數(shù)列,∴b3b11=b=a=16. (2)∵{an}為等比數(shù)列,∴a5+a7是a1+a3與a9+a11的等比中項(xiàng),∴(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2. 同理a9+a11是a5+a7與a13+a15的等比中項(xiàng), ∴(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1. ∴a9+a11+a13+a15=2+1=3.] 熱點(diǎn)題型3 等差、等比數(shù)列的證明 (2016全國丙卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (2)若S5=,求λ. 解] (1)證明:由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,故a1≠0.1分 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan.2分 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.3分 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,4分 于是an=n-1.6分 (2)由(1)得Sn=1-n.8分 由S5=得1-5=,即5=.10分 解得λ=-1.12分 判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列,一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義,或利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)進(jìn)行判斷. 提醒:利用a=an+1an-1(n≥2)來證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時(shí),要注意數(shù)列中的各項(xiàng)均不為0. 變式訓(xùn)練3] (2014全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由. 解] (1)證明:由題設(shè)知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1,2分 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.4分 (2)由題設(shè)知a1=1,a1a2=λS1-1, 可得a2=λ-1.5分 由(1)知,a3=λ+1.6分 令2a2=a1+a3,解得λ=4.7分 故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3.9分 {a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.11分 所以an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.12分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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