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1、第十五講 橢球基本知識,地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系 橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 橢球面上的幾種曲率半徑 將地面觀測的方向值歸算到橢球 將地面觀測的長度歸算到橢球面,本講主要內(nèi)容：,一、常用的四種坐標(biāo)系,大地坐標(biāo)系 空間直角坐標(biāo)系 （大地測量中兩種基本坐標(biāo)系） 子午平面直角坐標(biāo)系 大地極坐標(biāo)系,1、大地坐標(biāo)系,P 點的法線 與赤道面的夾角B，叫做P點的大地緯度。由赤道面起算，向北為北緯（090）；向南為南緯(090)。 P點在橢球面上的位置用L、B表示 。,一、常用的四種坐標(biāo)系,p 點的子午面NPS 與起始子午面 NGS 所構(gòu)成的二面角L，叫做p 點的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東
2、為東經(jīng)（0180），向西西經(jīng)（0180）。,1、大地坐標(biāo)系,大地坐標(biāo)系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B 和大地高H表示地面點位。 在大地坐標(biāo)坐標(biāo)系中如果點不在橢球面上，點的位置用 來表示。 從地面點P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。它同正常高及正高有如下關(guān)系：,一、常用的四種坐標(biāo)系,2、空間直角坐標(biāo)系,空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點位于地球質(zhì)心（地心坐標(biāo)系）或參考橢球中心（參心坐標(biāo)系），Z 軸指向地球北極，x 軸指向起始子午面與地球赤道的交點，y 軸垂直于XOZ 面并構(gòu)成右手坐標(biāo)系。,一、常用的四種坐標(biāo)系,以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸
3、為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O-XYZ，在該坐標(biāo)系中，P點的位置用X、Y、Z表示 。,3、子午面直角坐標(biāo)系,設(shè)P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x，y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點的位置用L，x，y表示。,一、常用的四種坐標(biāo)系,4、大地極坐標(biāo)系,M為橢球體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長，A為大地線在M點的大地方位角。以M為極點、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地極坐標(biāo)系。P點位置用S、A表示。 橢球面上點的極坐標(biāo)（S,A）與大地坐標(biāo)(L,B）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。,一、常用的四種坐標(biāo)系,二、坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)
4、系,橢球面上的點位可在各種坐標(biāo)系中表示，由于所用坐標(biāo)系不同，表現(xiàn)出來的坐標(biāo)值也不同。,1）子午面直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,過p 點作法線 ，它與x 軸之夾角為B，過p點作子午圈的切線TP，它與x 軸的夾角為（90+B）。子午面直角坐標(biāo)x,y 同大地緯度B 的關(guān)系式如下：,2）空間直角坐標(biāo)系同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,空間直角坐標(biāo)系中 的相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的y，前者的 相當(dāng)于后者的x，并且二者的經(jīng)度L相同。,二、坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,3）空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,同一地面點在地球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換,式中：e子午橢圓第一偏心率，可由長短
5、半徑按式 算得。,N法線長度，可由式 算得。,二、坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,三、地球橢球及其定位,1、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,橢圓的長半軸： a 橢圓的短半軸： b 橢圓的扁率：,橢圓的第一偏心率：,橢圓的第二偏心率：,五個基本幾何參數(shù),我國所采用的的1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975國際橢球參數(shù)；而GPS應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。,三、地球橢球及其定位,幾種地球橢球參數(shù),并得：,推得：,同理可得：,1、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,三、地球橢球及其定位,以上圖中的半圓為基礎(chǔ)作一單位半徑的半圓球，圖中OZ1為過O點的鉛垂線，Z1為天文天
6、頂，ZOZ1 ，此即O點處的垂線偏差。,三、垂線偏差和它的基本公式,垂線偏差：地面上一點的鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法線方向之間的夾角，稱為該點的垂線偏差。,垂線偏差基本公式,在測站O觀測M時以鉛垂線OZ1為基準(zhǔn)，測得天頂距為Z1，視準(zhǔn)面OZ1M與水平面交于R1。,三、垂線偏差和它的基本公式,當(dāng)不存在垂線偏差觀測M時，視準(zhǔn)面OZM與水平面交于R。故（R1R）即為垂線偏差對方向觀測值的影響。,四、橢球的定位,橢球定位：將具有一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置確定下來，從而確定出測量計算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測量起算的具體數(shù)據(jù)。 一般通過大地原點的天文觀測來實現(xiàn)。若測得大地原點的天文經(jīng)度 、天文緯度
7、和某一方向的天文方位角 ,以及大地原點的正常高 。,橢球定位主要是確定以上這些定位參數(shù)，若定位參數(shù)確定，大地測量的起算數(shù)據(jù)也就確定下來了。,一般在大地測量初期取,四、橢球的定位,于是,在大地原點處，鉛垂線與橢球面法線重合，大地水準(zhǔn)面與橢球面相切，天文子午面和大地子午面重合，且兩個起始子午面平行。 這樣橢球位置便完全被固定下來，達(dá)到定位目的。（一點定位）一點定位難以保證橢球面與大地水準(zhǔn)面最佳吻合。當(dāng)天文大地測量完成后，按 經(jīng)弧度測量計算求出原點的 再按上式確定出大地測量的起算數(shù)據(jù)。 （多點定位） 多點定位在在布設(shè)的天文大地網(wǎng)整個區(qū)域內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面最佳吻合。,五、橢球面上法截線曲率半徑,法
8、截面：包含曲面上一點法線的平面叫法截面。 法截線：法截面與曲面的截線叫法截線。 1、卯酉圈曲率半徑 卯酉圈：與橢球面上一點的子午圈相垂直的法截線，稱為該點的卯酉圈。 梅尼埃定理：若通過曲面上一點引兩條截線，一條為法截線，一條為斜截線，且在該點上這兩 條截線有同一公共切線，則斜截 線的曲率半徑等于法截線曲率半 徑乘以兩截線平面間夾角的余弦。,P點處平行圈平面與卯酉圈平面間的夾角P點的大地緯度B，根據(jù)梅尼埃定理，過P點的平行圈半徑r與卯酉圈半徑N的關(guān)系為 由圖可知， 上式表明，卯酉圈的曲率半徑 等于法截線介于橢球面和短軸 之間的長度。 卯酉圈曲率半徑可用下列 兩式表示：,1、卯酉圈曲率半徑,五、橢
9、球面上法截線曲率半徑,1、卯酉圈曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,2、子午圈曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,子午橢圓的一部分上取一微分弧長 ，相應(yīng)地有坐標(biāo)增量 ，點n是微分弧 的曲率中心，于是線段 及 便是子午圈曲率半徑 M。,任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：,子午圈曲率半徑公式為：,或,五、橢球面上法截線曲率半徑,2、子午圈曲率半徑,3、任意法截弧的曲率半徑,子午法截弧是南北方向，其方位角為0或180。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90或270。對于方位角為的任意法截弧的曲率半徑 的計算公式。 任意方向的法截弧的曲率半徑的計算公式如下：,4、平均曲率半徑,在實際際工程應(yīng)用中，
10、根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過地面某點的所有方向 的平均值來作為這個球體的半徑是合適的。這個球面的半徑平均曲率半徑R：,或,因此，等于該點子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑的幾何平均值。橢球面上任意一點的平均曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,六、地面觀測值歸算至橢球面,1、相對法截線 因測站點的鉛垂線一般不與法線重合，不同測站點的法線也不相交，這樣2個對向測站之間邊出現(xiàn)了2條法截線。 橢球面法線在橢球短軸上的投影 為NsinB，在赤道以上短半軸上的投影為 。則橢球中心 到法線與短軸的交點之間的 距離為,即：緯度不同，橢球中心到法線與短軸的交點之間的距
11、離也不相同。,1、相對法截線 A、B兩點既不位于同一平行圈， 也不在同一子午圈上，它們的法 線AKa、BKb并不相交，所以包含 這兩條法線的法截面ABKa和ABKb 并不重合，二者與橢球面的交線 分別為AaB和BbA，它們也不重合， 這樣橢球面兩點之間出現(xiàn)了兩條 法截線。稱之為兩點間相對法截線,定義：橢球面上A、B兩點對向三角觀測將形成兩條相對法截線AaB和BbA它們通常不重合，稱為相對法截線。,六、地面觀測值歸算至橢球面,1、相對法截線 正法截線：包含A點的法線與照準(zhǔn)點B的法截面與橢球面的交線稱為A點的正法截線。 反法截線：包含照準(zhǔn)點B的法線與A點的法截面與橢球面的交線稱為A點的反法截線。,
12、六、地面觀測值歸算至橢球面,影響：相對法截線造成了幾何圖形的破裂。如右圖所示，設(shè)橢球面上有A，B，C三點，顯然， A，B，C的正法截線并不能構(gòu)成一個三角形。大地線位于相對法截線之間。,2、大地線（測地線）的定義 曲線AB上任一點P的密切平面（無限接近的三個點構(gòu)成的平面）都包含曲線在該點的法線，該曲線即為曲面上的一條大地線。 大地線是曲面上一條曲線， 該曲線上每一點處的密切 平面都包含曲面在該點的 法線。一般情況下，曲面 上的曲線并不是大地線。,六、地面觀測值歸算至橢球面,大地線的性質(zhì) 大地線是曲面上兩點的最短線 大地線是無數(shù)法截線弧素的連線,3、地面觀測方向歸算至橢球面 歸算的基本要求 地面觀
13、測方向歸算至橢球面上有3個基本內(nèi)容： 1) 將測站點鉛垂線為基準(zhǔn)的地面觀測方向換算成橢球面上以法線方向為準(zhǔn)的觀測方向； 2) 將照準(zhǔn)點沿法線投影至橢球面，換算成橢球面上兩點間的法截線方向； 3) 將橢球面上的法截線方向換算成大地線方向。,將水平觀測方向歸算到橢球面，通常需要進(jìn)行垂線偏差改正、標(biāo)高差改正和截面差改正，簡稱三差改正。,六、地面觀測值歸算至橢球面, 垂線偏差改正（1） 地面上以鉛垂線為準(zhǔn)觀測的水平方向值，歸算為以橢球面法線為準(zhǔn)的水平方向值時，顧及測站點垂線偏差的影響所加的改正。,六、地面觀測值歸算至橢球面,如下圖所示，以測站為中心作出單位半徑的輔助球， 是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈
14、上的分量分別以、表示，M是地面觀測目標(biāo)m在球面上的投影。,z1,垂線偏差改正公式：,式中： 為測站點上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得； 為測站點至照準(zhǔn)點的大地方位角； 為照準(zhǔn)點的天頂距； 為照準(zhǔn)點的垂直角。,六、地面觀測值歸算至橢球面,垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點的垂線偏差、觀測方向的方位角和天頂距（或垂直角）有關(guān)。, 標(biāo)高差改正,定義：地面水平方向觀測值，沿法線方向歸算至參考橢球面上時，顧及照準(zhǔn)點標(biāo)高，所加的改正稱為標(biāo)高差改正，以2表示,原因：由于A、B兩點的法線不在同一平面所產(chǎn)生的。,計算公式：,H2： 照準(zhǔn)點高出橢球面的高程； B2 ：照準(zhǔn)點
15、大地緯度 M1：測站點子午圈曲率半徑 ； A12：測站點至照準(zhǔn)點的大地方位角。,六、地面觀測值歸算至橢球面,截面差改正(3),定義：法截線方向化為大地線方向所加的改正，稱為截面差改正，以3表示。,原因：由于相對法截線不重合而采用大地線代替產(chǎn)生的。,計算公式：,3為0的情況： A1=0，90 ，180 ，270照準(zhǔn)點與測站點在同一子午圈或接近于同一平行圈,六、地面觀測值歸算至橢球面,4、三差改正計算,現(xiàn)行作業(yè)規(guī)定，各等三角測量歸算時，一等算至0.001，二等算至0.01，三四等算至0.1。,六、地面觀測值歸算至橢球面,電磁波測距儀測得的長度是連接地面兩點間的直線斜距，也應(yīng)將它歸算到參考橢球面上。
16、 如圖，大地點A和B的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測距儀測得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點在橢球面上沿法線的投影點 a和b間的大地線的長度S。,當(dāng)法截線弧長等于600km時，用適宜的球面弧長代替法截線弧長，其相對誤差只有1：250萬，所以可用球面弧長代替橢球面上法截線弧長，,Nm為（B1B2）/2處的卯酉圈曲率半徑。 Bm為兩端點平均緯度, 地面觀測距離歸算至橢球面,電磁波測距邊長歸算橢球面上的計算公式為：,式中,電磁波測距邊長歸算的幾何意義：,計算公式中右端第二項是由于控制點之高差引起的傾斜改正的主項，經(jīng)過此項改正，測線已變成平距； 第三項是由平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)此項改正后，測線已變成弦線； 第四項則是由弦長改化為弧長的改正項。,六、地面觀測值歸算至橢球面, 地面觀測距離歸算至橢球面,
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