《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題11 數(shù)學(xué)方法 第41練 配方法與待定系數(shù)法 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題11 數(shù)學(xué)方法 第41練 配方法與待定系數(shù)法 文(12頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第41練 配方法與待定系數(shù)法
[題型分析高考展望] 配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡(jiǎn).如何配方,需要我們根據(jù)題目的要求,合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧,完全配方.配方法是數(shù)學(xué)中化歸思想應(yīng)用的重要方法之一.
待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知,正確列出等式或方程.使用待定系數(shù)法,就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題,通過引入一些待定的系數(shù),轉(zhuǎn)化為方程組來解決,要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解,主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式,如果具有,就可以用待定系數(shù)法求解.例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等,這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,所以都可以用待定系數(shù)法求解.
高考必會(huì)題型
題型一 配方法
例1 (1)設(shè)x∈[2,8]時(shí),函數(shù)f(x)=loga(ax)loga(a2x)(a>0,且a≠1)的最大值是1,最小值是-,則a的值是________.
(2)函數(shù)y=cos 2x+2sin x的最大值為________.
(3)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知向量=(2,2),=(4,1),在x軸上取一點(diǎn)P,使有最小值,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________.
答案 (1) (2) (3)(3,0)
解析 (1)由題意知f(x)=(logax+1)(logax+2)
=
=(logax+)2-.
當(dāng)f(x)取最小值-時(shí),logax=-,
又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1).
∵f(x)是關(guān)于logax的二次函數(shù),
∴函數(shù)f(x)的最大值必在x=2或x=8處取得.
若(loga2+)2-=1,
則a=2,
f(x)取得最小值時(shí),x=(2)=?[2,8],舍去.
若(loga8+)2-=1,
則a=,f(x)取得最小值時(shí),
∴a=.
(2)y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x
=-2(sin2x-sin x)+1
=-2(sin x-)2+2+1
=-2(sin x-)2+.
因?yàn)椋?≤sin x≤1,
所以當(dāng)sin x=時(shí),y取最大值,
最大值為.
(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),
則=(x-2,-2),
=(x-4,-1),
=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)
=x2-6x+10=(x-3)2+1,
當(dāng)x=3時(shí),有最小值1,
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0).
點(diǎn)評(píng) 配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方式(a+b)2=a2+2ab+b2,具體操作時(shí)通過加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,配湊成完全平方式,注意要減去所添的項(xiàng),最常見的配方是進(jìn)行恒等變形,使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方.它主要適用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題.如:y=x2+bx+c=x2+2x+()2-()2+c=(x+)2+,y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a[x2+2x+()2-()2]+c=a(x+)2+.
變式訓(xùn)練1 (1)若函數(shù)f(x)=m-的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇a,b],則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
(2)已知函數(shù)y=-sin2x+asin x-+的最大值為2,則a的值為________.
(3)已知向量a=(λ+2,λ2-cos2α),
b=(m,+sin α),其中λ,m,α為實(shí)數(shù),若a=2b,則的取值范圍是________.
答案 (1)-
1,即a>2時(shí),
函數(shù)y=-(t-)2+(a2-a+2)在[-1,1]上單調(diào)遞增,
所以由ymax=-1+a-a+=2,得a=.
③當(dāng)<-1,即a<-2時(shí),
函數(shù)y=-(t-)2+(a2-a+2)在[-1,1]上單調(diào)遞減,
所以由ymax=-1-a-a+=2,
得a=-2(舍去).
綜上,可得a=-2或a=.
(3)由題意知,2b=(2m,m+2sin α),
所以λ+2=2m,且λ2-cos2α=m+2sin α,
于是2λ2-2cos2α=λ+2+4sin α,
即2λ2-λ=-2sin2α+4sin α+4=-2(sin α-1)2+6,
故-2≤2λ2-λ≤6,
即
解得-≤λ≤2,
則==2-∈[-6,1].
題型二 待定系數(shù)法
例2 (1)(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=____________.
答案
解析 ∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b與a+2b平行,則存在唯一的實(shí)數(shù)μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,則得解得λ=μ=.
(2)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求通項(xiàng)an;
(2)求Sn的最小值;
(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=,求非零常數(shù)c.
解 (1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,
所以a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,
所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實(shí)根,
又公差d>0,所以a3<a4,
所以a3=9,a4=13,
所以所以
所以通項(xiàng)an=4n-3.
(2)由(1)知a1=1,d=4,
所以Sn=na1+d=2n2-n
=22-.
所以當(dāng)n=1時(shí),Sn最小,
最小值為S1=a1=1.
(3)由(2)知Sn=2n2-n,
所以bn==,
所以b1=,b2=,b3=.
因?yàn)閿?shù)列{bn}是等差數(shù)列,
所以2b2=b1+b3,
即2=+,
所以2c2+c=0,
所以c=-或c=0(舍去),
經(jīng)驗(yàn)證c=-時(shí),{bn}是等差數(shù)列,
故c=-.
點(diǎn)評(píng) 使用待定系數(shù)法,它解題的基本步驟是:
第一步,確定所求問題是含有待定系數(shù)的解析式;
第二步,根據(jù)恒等的條件,列出一組含待定系數(shù)的方程;
第三步,解方程組或者消去待定系數(shù),從而使問題得到解決.
變式訓(xùn)練2 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,它們滿足S4=2S2+8,b2=,T2=,且當(dāng)n=4或5時(shí),Sn取得最小值.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=(Sn-λ)(-Tn),n∈N*,如果{cn}是單調(diào)數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解 (1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,
因?yàn)楫?dāng)n=4或5時(shí),Sn取得最小值,所以a5=0,
所以a1=-4d,所以an=(n-5)d,
又由a3+a4=a1+a2+8,
得d=2,a1=-8,
所以an=2n-10;
由b2=,T2=得b1=,
所以q=,所以bn=.
(2)由(1)得Sn=n2-9n,Tn=-,
cn=,
當(dāng){cn}為遞增數(shù)列時(shí),cnn2-10n+4恒成立,∴λ∈?,
當(dāng){cn}為遞減數(shù)列時(shí),cn>cn+1,
即λak-1且ak>ak+1成立(其中k≥2,k∈N*),則稱ak為數(shù)列{an}的峰值,若an=-3n2+15n-18,則{an}的峰值為( )
A.0 B.4
C. D.
答案 A
解析 因?yàn)閍n=-3(n-)2+,且n∈N*,
所以當(dāng)n=2或n=3時(shí),an取最大值,
最大值為a2=a3=0,
故峰值為0.
2.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1(a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為______________.
答案 [3+2,+∞)
解析 由條件知a2+1=22=4,∴a2=3,
∴雙曲線方程為-y2=1,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
則=(x,y),=(x+2,y),
∵y2=-1,
∴=x2+2x+y2=x2+2x+-1
=x2+2x-1=(x+)2-.
又∵x≥(P為右支上任意一點(diǎn)),
∴≥3+2.
3.已知a為正的常數(shù),若不等式≥1+-對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)x恒成立,則a的最大值為________.
答案 8
解析 原不等式即≥1+-, (*)
令=t,t≥1,
則x=t2-1,所以(*)即≥1+-t
==對(duì)t≥1恒成立,
所以≥對(duì)t≥1恒成立,
又a為正的常數(shù),
所以a≤[2(t+1)2]min=8,
故a的最大值是8.
4.設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R,若e1,e2的夾角為,則的最大值等于________.
答案 2
解析 ∵|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+2xye1e2
=x2+y2+xy.
∴=,
當(dāng)x=0時(shí),=0;
當(dāng)x≠0時(shí),=
=≤2.
5.(2015浙江)已知e1,e2是空間單位向量,e1e2=,若空間向量b滿足be1=2,be2=,且對(duì)于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則x0=__________,y0=________,|b|=________.
答案 1 2 2
解析 方法一 由題意得x=x0,y=y(tǒng)0時(shí),|b-(xe1+ye2)|取得最小值1,把|b-(xe1+ye2)|平方,轉(zhuǎn)化為|b|2+x2+y2+xy-4x-5y,把x2+y2+xy-4x-5y看成關(guān)于x的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值及取最值的條件.對(duì)于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),說明當(dāng)x=x0,y=y(tǒng)0時(shí),|b-(xe1+ye2)|取得最小值1.
|b-(xe1+ye2)|2=|b|2+(xe1+ye2)2-2b(xe1+ye2)=|b|2+x2+y2+xy-4x-5y,要使|b|2+x2+y2+xy-4x-5y取得最小值,需要把x2+y2+xy-4x-5y看成關(guān)于x的二次函數(shù),即f(x)=x2+(y-4)x+y2-5y,其圖象是開口向上的拋物線,對(duì)稱軸方程為x=2-,所以當(dāng)x=2-時(shí),f(x)取得最小值,代入化簡(jiǎn)得f(x)=(y-2)2-7,顯然當(dāng)y=2時(shí),f(x)min=-7,此時(shí)x=2-=1,所以x0=1,y0=2.此時(shí)|b|2-7=1,可得|b|=2.
方法二 ∵e1e2=|e1||e2|cos〈e1,e2〉=,
∴〈e1,e2〉=.
不妨設(shè)e1=,e2=(1,0,0),b=(m,n,t).
由題意知
解得n=,m=,
∴b=.
∵b-(xe1+ye2)=,
∴|b-(xe1+ye2)|2=2+2+t2=x2+xy+y2-4x-5y+t2+7=2+(y-2)2+t2.由題意知,當(dāng)x=x0=1,y=y(tǒng)0=2時(shí),2+(y-2)2+t2取到最小值.此時(shí)t2=1,故|b|==2.
6.已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)>0恒成立,則b的取值范圍是________________.
答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)
解析 由于對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1-x)=f(1+x)成立,
則f(x)的對(duì)稱軸為x=1,所以a=2,
f(x)=-x2+2x+b2-b+1
=-(x-1)2+b2-b+2,
則f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),要使f(x)>0恒成立,
只需f(-1)>0,即b2-b-2>0,
則b<-1或b>2.
7.(2015陜西)若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=________.
答案 2
解析 由于雙曲線x2-y2=1的焦點(diǎn)為(,0),故應(yīng)有=,p=2.
8.(2015北京改編)已知雙曲線-y2=1(a>0)的一條漸近線為x+y=0,則該雙曲線的方程為________________.
答案 3x2-y2=1
解析 雙曲線-y2=1(a>0)的漸近線方程為
y=x,
x+y=0?y=-x,
∵a>0,則-=-,a=,
則該雙曲線的方程為3x2-y2=1.
9.設(shè)函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.
解 ∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),∴f(0)=0,
∴k-1=0,即k=1.
∵f(1)=,∴a-=,
即2a2-3a-2=0,∴a=2或a=-(舍去),
∴g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)
=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.
令t(x)=2x-2-x(x≥1),
則t′(x)=2xln 2+2-xln 2>0,
∴t(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),即t(x)≥t(1)=,
∴原函數(shù)變?yōu)閣(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,
∴當(dāng)t=2時(shí),w(t)min=-2,此時(shí)x=log2(1+).
即g(x)在x=log2(1+)時(shí)取得最小值-2.
10.(2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為.
(1)求E的離心率e;
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程.
解 (1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,
又kOM=,從而=,
進(jìn)而得a=b,c==2b,
故e==.
(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線AB的方程為+=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為.
設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為,
則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.
又點(diǎn)T在直線AB上,且kNSkAB=-1,
從而有解得b=3.
所以a=3,故橢圓E的方程為+=1.
11.(2015浙江)已知橢圓+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=mx+對(duì)稱.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
解 (1)由題意知m≠0,可設(shè)直線AB的方程為
y=-x+b.由消去y,
得x2-x+b2-1=0.
因?yàn)橹本€y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以Δ=-2b2+2+>0,①
將AB中點(diǎn)M代入直線方程y=mx+,解得b=-,②
由①②得m<-或m>.
(2)令t=∈∪,
則|AB|=,
且O到直線AB的距離為d=.
設(shè)△AOB的面積為S(t),
所以S(t)=|AB|d=≤,
當(dāng)且僅當(dāng)t2=時(shí),等號(hào)成立.
故△AOB面積的最大值為.
12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+(-1)n(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3;
(2)求證:數(shù)列{an+(-1)n}為等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式.
解 (1)在Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分別令n=1,2,3,
得
解得
(2)由Sn=2an+(-1)n(n∈N*)得,
Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),兩式相減得
an=2an-1-2(-1)n(n≥2),
an=2an-1-(-1)n-(-1)n
=2an-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2),
∴an+(-1)n=2[an-1+(-1)n-1](n≥2).
故數(shù)列{an+(-1)n}是以a1-=為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
∴an+(-1)n=2n-1,
an=2n-1-(-1)n
=-(-1)n.
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