高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考中檔大題規(guī)范練(三)概率與統(tǒng)計(jì) 理
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(三)概率與統(tǒng)計(jì) 1.某項(xiàng)競(jìng)賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行,每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問(wèn)題.規(guī)定正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一階段競(jìng)賽,否則即遭淘汰.已知某選手通過(guò)初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是,,,且各階段通過(guò)與否相互獨(dú)立. (1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率; (2)設(shè)該選手在競(jìng)賽中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列與均值. 解 (1)記“該選手通過(guò)初賽”為事件A,“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B,“該選手通過(guò)決賽”為事件C,則P(A)=,P(B)=,P(C)=. 那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率 P=P(A)=P(A)P()=(1-)=. (2)ξ可能取值為1,2,3. P(ξ=1)=1-=,P(ξ=2)=(1-)=, P(ξ=3)==. 故ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ξ的均值為E(ξ)=1+2+3=. 2.(2016山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ),在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;如果只有一個(gè)人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒(méi)猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求: (1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率; (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和均值E(X). 解 (1)記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”,記事件B:“乙第一輪猜對(duì)”, 記事件C:“甲第二輪猜對(duì)”,記事件D:“乙第二輪猜對(duì)”, 記事件E:“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”. 由題意, E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC. 由事件的獨(dú)立性與互斥性, P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P() =+2=. 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為. (2)由題意,隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性,得 P(X=0)==, P(X=1)=2==, P(X=2)=+++=, P(X=3)=+==, P(X=4)=2==, P(X=6)===. 故隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以均值E(X)=0+1+2+3+4+6=. 3.(2016四川)我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸),一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi),超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. (1)求直方圖中a的值; (2)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由; (3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸),估計(jì)x的值,并說(shuō)明理由. 解 (1)由頻率分布直方圖知,月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.080.5=0.04. 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30. (2)由(1),知100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上樣本的頻率分布,可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000. (3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85, 而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85. 所以2.5≤x<3.由0.30(x-2.5)=0.85-0.73, 解得x=2.9. 所以,估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí),85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn). 4.(2016課標(biāo)全國(guó)甲)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 解 (1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B), 故P(B|A)====. 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. 5.(2016課標(biāo)全國(guó)丙)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位:億噸)的折線圖. 注:年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)年份2008-2014 (1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明; (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量. 附注: 參考數(shù)據(jù):i=9.32,iyi=40.17, =0.55, ≈2.646. 參考公式:相關(guān)系數(shù)r=,回歸方程=+t中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為=,=-. 解 (1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 =4,(ti-)2=28, =0.55, (ti-)(yi-)=iyi-i=40.17-49.32=2.89,r≈≈0.99. 因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系. (2)由=≈1.331及(1)得==≈0.103.=-≈1.331-0.1034≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為=0.92+0.10t. 將2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入回歸方程得=0.92+0.109=1.82. 所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為1.82億噸.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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