高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題12_2 推理與證明試題 文（含解析）

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專題2 推理與證明（文科） 【三年高考】 1.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后 說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”， 丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________________. 【答案】1和3 【解析】由題意分析可知甲的卡片上數(shù)字為1和3，乙的卡片上數(shù)字為2和3，丙卡片上數(shù)字為1和2. 8.【2016高考山東文數(shù)】觀察下列等式： ； ； ； ； …… 照此規(guī)律，_________． 【答案】 【解析】通過類比，可以發(fā)現(xiàn)，最前面的數(shù)字是，接下來是和項(xiàng)數(shù)有關(guān)的兩項(xiàng)的乘積，即，故答案為 3.【2015高考陜西，文16】觀察下列等式： 1－ 1－ 1－ ………… 據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為______________________. 【答案】 【解析】觀察等式知：第n個(gè)等式的左邊有個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且分子為1，分母是1到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是. 故答案為 4.【2014高考福建卷文第16題】已知集合，且下列三個(gè)關(guān)系：???有且只有一個(gè)正確，則. 【答案】 5. 【2014高考全國1卷文第14題】.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過、、三個(gè)城市時(shí)， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市； 乙說：我沒去過城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市； 由此可判斷乙去過的城市為________. 【答案】A 【解析】根據(jù)題意可將三人可能去過哪些城市的情況列表如下： A城市 B城市 C城市 甲 去過 沒去 去過 乙 去過 沒去 沒去 丙 去過 可能 可能 可以得出結(jié)論乙去過的城市為：A． 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對(duì)本部分知識(shí)的考查主要在合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì)，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會(huì)涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較小. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 推理與證明是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測(cè)結(jié)論和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).證明包括直接證明與間接證明，其中數(shù)學(xué)歸納法是將無窮的歸納過程，根據(jù)歸納原理轉(zhuǎn)化為有限的特殊（直接驗(yàn)證和演繹推理相結(jié)合）的過程，要很好地掌握其原理并靈活運(yùn)用.推理與證明問題綜合了函數(shù)、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，需要采用多種數(shù)學(xué)方法才能解決問題，如：函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類討論思想等，對(duì)學(xué)生的知識(shí)與能力要求較高，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和邏輯推理能力，表述能力的全面考查，可以彌補(bǔ)選擇題與填空題等客觀題的不足，是提高區(qū)分度，增強(qiáng)選拔功能的重要題型，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問題正在成為一個(gè)熱點(diǎn)題型，并且經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn). 預(yù)測(cè)2017年高考將會(huì)有題目用到推理證明的方法.復(fù)習(xí)建議：推理證明題主要和其它知識(shí)結(jié)合到一塊，屬于知識(shí)綜合題，解決此類題目時(shí)要建立合理的解題思路. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考的考查：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法（理科）等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì)，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會(huì)涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較小； 【考點(diǎn)1】合情推理與演繹推理 【備考知識(shí)梳理】 1.合情推理 (1)定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理． (2)合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類： ①歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理； 歸納推理的分類 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類 a.數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等； b.形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納． ②類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理．簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 類比推理的分類:類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法 a.類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解； b.類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵； c.類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識(shí)的遷移． 2.演繹推理 (1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫做演繹推理．演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真. (2)模式：三段論 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷． (3)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理． 【規(guī)律方法技巧】 1. 歸納推理與類比推理之區(qū)別：(1)歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理．在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論． (2)類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)．在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)． 2.演繹推理問題的處理方法 從思維過程的指向來看，演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而作出關(guān)于該類事物的判斷的思維形式，因此是從一般到特殊的推理．?dāng)?shù)學(xué)中的演繹法一般是以三段論的格式進(jìn)行的．三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)命題組成，大前提是一個(gè)一般性原理，小前提給出了適合于這個(gè)原理的一個(gè)特殊情形，結(jié)論則是大前提和小前提的邏輯結(jié)果． 3.應(yīng)用合情推理應(yīng)注意的問題： (1)在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論． (2)在進(jìn)行類比推理時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)． 注意：歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性． 4.歸納推理與類比推理的步驟 (1)歸納推理的一般步驟： ①通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)； ②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)； ③檢驗(yàn)猜想． →→ (2)類比推理的一般步驟： ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)； ③檢驗(yàn)猜想． →→ 5.演繹推理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) (1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的．三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況．這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論． (2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提．一般地，若大前提不明確時(shí)，一般可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提． 6.歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論,歸納推理所得的結(jié)論不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知過程，是發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的重要方法． 類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì).在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì).類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤． 演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過程主要是通過演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆山西省榆林市二模】觀察下列等式： 照此規(guī)律， ________. 【答案】 【解析】由規(guī)律知，右邊為兩個(gè)式子的積，一個(gè)因式為，另一個(gè)式子，為n各數(shù)的和，每個(gè)數(shù)次數(shù)為次，按降冪，按升冪，所以 2. 【2016屆湖北省沙市中學(xué)高三下第三次月考】在平面直角坐標(biāo)系中，滿足的點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積為；類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，滿足，的點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的空間幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點(diǎn)2】直接證明與間接證明 【備考知識(shí)梳理】 1．直接證明 (1)綜合法： 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． 綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法. 框圖表示：→→→…→ (2)分析法： 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法． 分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因； 分析法的書寫格式： 要證明命題Q為真，只需要證明命題為真， 從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題P為真，而已知P為真，故命題Q必為真 框圖表示：→→→…→. 2．間接證明 反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的，即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法. 【規(guī)律方法技巧】 1. 明晰三種證題的一般規(guī)律 (1)綜合法證題的一般規(guī)律： 用綜合法證明命題時(shí)，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從而由已知逐步推出結(jié)論． (2)分析法證題的一般規(guī)律： 分析法的思路是逆向思維，用分析法證題必須從結(jié)論出發(fā)，倒著分析，尋找結(jié)論成立的充分條件．應(yīng)用分析法證明問題時(shí)要嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)，下一步是上一步的充分條件． (3)反證法證題的一般規(guī)律： 反證法證題的實(shí)質(zhì)是證明它的逆否命題成立．反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一討論過程中，A和非A有且僅有一個(gè)是正確的，不能有第三種情況出現(xiàn)． 2.綜合法證題的思路： 3.分析法證題的技巧： (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵． (2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證． 4.反證法證明問題的一般步驟: (1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立；(否定結(jié)論) (2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾) (3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立) 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論. 5.反證法是一種重要的間接證明方法，適用反證法證明的題型有：(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(2)否定性命題；(3)唯一性命題；(4)至少至多型命題；(5)一些基本定理；(6)必然性命題等. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高三5月模擬】已知數(shù)列滿足：. （1）證明：；（2）求證：. 【解析】（1）,可得：. 2. 用反證法證明命題“若，，則三個(gè)實(shí)數(shù)中最多有一個(gè)小于零”的反設(shè)內(nèi)容為（ ） A．三個(gè)實(shí)數(shù)中最多有一個(gè)不大于零 B．三個(gè)實(shí)數(shù)中最多有兩個(gè)小于零 C．三個(gè)實(shí)數(shù)中至少有兩個(gè)小于零 D．三個(gè)實(shí)數(shù)中至少有一個(gè)不大于零 【答案】C 【解析】反證法證明時(shí)，首先假設(shè)要證命題的結(jié)論的反面成立，即反設(shè)為三個(gè)實(shí)數(shù)中至少有兩個(gè)小于零 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．邏輯推理即演繹推理，就是從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過程.演繹推理的邏輯形式對(duì)于理性的重要意義在于，它對(duì)人的思維保持嚴(yán)密性、一貫性有著不可替代的校正作用.邏輯推理包括演繹、歸納和溯因三種方式. 2.歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論,歸納推理所得的結(jié)論不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知過程，是發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的重要方法．常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納. 歸納推理的一般步驟:①通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 3．類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì).在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì).類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤． 4.反證法是一種重要的間接證明方法，適用反證法證明的題型有：(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(2)否定性命題；(3)唯一性命題；(4)至少至多型命題；(5)一些基本定理；(6)必然性命題等.證明問題的一般步驟: (1)反設(shè)； (2)歸謬； (3)立論.注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論. 二年模擬 1. 設(shè)則（ ） A．都不大于 B．都不小于 C．至少有一個(gè)不大于 D．至少有一個(gè)不小于 【答案】C 【解析】因?yàn)椋浴?，所以，所以的值中至少有一個(gè)不大于，故選C． 2.【2016屆河南省八市高三4月質(zhì)檢】已知，觀察下列算式：； ，…；若，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意：； ，…； …；據(jù)此可知，，則的值為. 3. 【2016屆河北省衡水中學(xué)高三一?！慷x：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)成為單位分?jǐn)?shù)，我們可以把1分拆為若干個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和.如：，依次類推可得：，其中.設(shè)，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4. 【2016屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一模】在一個(gè)俱樂部里，有老實(shí)人和騙子兩類成員，老實(shí)人永遠(yuǎn)說真話，騙子永遠(yuǎn)說假話，一次我們和俱樂部的四個(gè)成員談天，我們便問他們：“你們是什么人，是老實(shí)人？還是騙子？”這四個(gè)人的回答如下： 第一個(gè)人說：“我們四個(gè)人全都是騙子”； 第二個(gè)人說：“我們當(dāng)中只有一個(gè)人是騙子”； 第三個(gè)人說：“我們四個(gè)人中有兩個(gè)人是騙子”； 第四個(gè)人說：“我是老實(shí)人”. 請(qǐng)判斷一下，第四個(gè)人是老實(shí)人嗎？ .（請(qǐng)用“是”或“否”作答） 【答案】是 【解析】依據(jù)題設(shè)條件可知前三個(gè)人的說法都是在撒謊,因說別人是騙子的都是不誠實(shí)的,所以依據(jù)題設(shè)中的規(guī)則第四個(gè)人說的是真話,即第四個(gè)人是老實(shí)人,所以應(yīng)填是. 5. 【2016屆山東省濰坊一中高三三輪沖刺模擬】已知，觀察下列各式： … 類比得：，則 ． 【答案】 6. 【2016屆寧夏六盤山高中高三四模】對(duì)于函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究的結(jié)果，計(jì)算 = . 【答案】2016 【解析】由，∴，所以，由，．∴的對(duì)稱中心為，∴，故設(shè)，則，兩式相加得，，故答案為：． 7. 【2016屆江蘇省清江中學(xué)高三考前一周】如圖甲所示，在直角中，、，是垂足，則有，該結(jié)論稱為射影定理．如圖乙所示，在三棱錐中，平面，平面，為垂足，且在內(nèi)，類比直角三角形中的射影定理，則有 ． 【答案】 【解析】從題中條件不難發(fā)現(xiàn)：圖甲中的對(duì)應(yīng)圖乙中的平面，圖甲中的對(duì)應(yīng)圖乙中的平面，因此在類比的結(jié)論中，圖甲中的邊對(duì)應(yīng)圖乙中的面，圖甲中的邊對(duì)應(yīng)圖乙中的面，圖甲中的邊對(duì)應(yīng)圖乙中的面. 8. 【2016屆湖北省沙市中學(xué)高三下第三次月考】在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別是離心率為e的圓錐曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在該曲線上．一同學(xué)已正確地推得：當(dāng)m＞n＞0時(shí)，有e（sinA+sinB）=sinC．類似地，當(dāng)m＞0、n＜0時(shí)，有e（ ）=sinC． 【答案】 9．【2016屆浙江省杭州市高三第二次質(zhì)檢】設(shè)數(shù)列滿足，. （1）求證：； （2）求證：. 10.【2016屆吉林省毓文中學(xué)高三高考熱身】如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線,分別與圓交于,兩點(diǎn)． （Ⅰ）若,，求的面積； （Ⅱ）若直線過點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值． 【解析】（Ⅰ）由題知，所以，為圓的直徑，的方程為，直線的方程為，所以圓心到直線的距離，所以，由中位線定理知，，； （Ⅱ）設(shè)、，①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程中有：，整理得：，則有，， ； ②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入圓的方程可得：，，；綜合①②可得：為定值，此定值為． 11. 【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】如下圖所示，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：，，，，，的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列（）的前項(xiàng)，如下表所示： 按如此規(guī)律下去，則 ． 【答案】1007 【解析】，，，，，，，，，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)為，故，，故． 12. 【2015屆江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)高三六校第二次聯(lián)考】把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后，擦去第奇數(shù)行中的奇數(shù)和第偶數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列．若902，則 ． 【答案】436 【解析】首先由，，因此902在甲圖中的第31行第二個(gè)數(shù)，前30行共去年的數(shù)的個(gè)數(shù)為，還剩下個(gè)數(shù)，第31行的第一個(gè)數(shù)為91去掉，因此902是第436個(gè)數(shù)，即在乙圖中，902對(duì)應(yīng)的． 13. 【2015屆北京市石景山區(qū)高三3月統(tǒng)一測(cè)試（一模）】有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)．有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說：“是乙獲獎(jiǎng)了”.四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是 ． 【答案】丙 14. 【2015屆江蘇省啟東中學(xué)高三下學(xué)期期初調(diào)研測(cè)試】在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α＋cos2β＝1.類比到空間中的一個(gè)正確命題是：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ _． 【答案】2； 【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為a，b，c，如圖所示，所以AC1與下底面所成角為∠C1AC，記為α，所以cos2α＝，同理cos2 β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2. 15.【2015屆江西省吉安市一中高三上學(xué)期期中考試】設(shè)函數(shù)，觀察： ， ， ， ， 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)且時(shí)，=__________。 【答案】 【解析】由題意易觀察到 ……. = 拓展試題以及解析 1.從，推廣到第個(gè)等式為 ． 【答案】 【解析】由歸納推理，得第個(gè)等式為； 故填． 【入選理由】本題主要考查歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的合情推理能力和基本運(yùn)算能力．能用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理是高考對(duì)合情推理的基本要求．相比較而言，歸納推理是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．本題體現(xiàn)了歸納推理的思想，需從所給的式子對(duì)中總結(jié)歸納出其規(guī)律．題目不難，體現(xiàn)了高考的熱點(diǎn)，故選此題． 2. “若為橢圓（）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn), 分別是左、右焦點(diǎn), 若, ，則.”類比橢圓的性質(zhì)，可得“若為雙曲線（）右支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn), 分別是左、右焦點(diǎn), 若, ，則 .” 【答案】 【解析】由于在橢圓中，在雙曲線中，故類比結(jié)果應(yīng)是. 【入選理由】本題主要考查橢圓與直線位置關(guān)系問題，類比推理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生簡(jiǎn)單的邏輯推理能力．歸納和類比是兩種重要的思維形式，是高考的熱點(diǎn)，通常以選擇題或填空題的形式考查．本題以橢圓為背景類比出雙曲線的性質(zhì)，題目不難，但具有較好的代表性，故押此題. 3. 已知正整數(shù)的3次冪有如下分解規(guī)律： ；；；；…若的分解中最小的數(shù)為，則的值為 . 【答案】10 【入選理由】本題主要考查歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的合情推理能力和基本運(yùn)算能力．能用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理是高考對(duì)合情推理的基本要求．相比較而言，歸納推理是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．本題體現(xiàn)了歸納推理的思想，需從所給的式子對(duì)中總結(jié)歸納出其規(guī)律．題目不難，體現(xiàn)了高考的熱點(diǎn)，故選此題．