高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題13_2 推理與證明試題 理（含解析）

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專題2 推理與證明（理科） 【三年高考】 1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 ． 【答案】1和3 【解析】由題意分析可知甲的卡片上數(shù)字為1和3，乙的卡片上數(shù)字為2和3，丙卡片上數(shù)字為1和2. 2．【2015高考山東，理11】觀察下列各式： …… 照此規(guī)律，當(dāng)nN時， . 【答案】 3.【2015江蘇高考，23】 已知集合，， ，令表示集合所含元素的個數(shù). （1）寫出的值； （2）當(dāng)時，寫出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【解析】（1）． （2）當(dāng)時，（）． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時，，結(jié)論成立；②假設(shè)（）時結(jié)論成立，那么時，在的基礎(chǔ)上新增加的元素在，，中產(chǎn)生，分以下情形討論：1）若，則，此時有 ，結(jié)論成立；2）若，則，此時有，結(jié)論成立； 3）若，則，此時有 ，結(jié)論成立；4）若，則，此時有，結(jié)論成立； 5）若，則，此時有 ，結(jié)論成立；6）若，則，此時有，結(jié)論成立． 綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立． 4.【2014高考北京版理第8題】學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有（ ） A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 【答案】B 【解析】用、、分別表示優(yōu)秀、及格和不及格，依題意，事件、、中都最多只有一個元素，所以只有，，滿足條件，故選B. 5.【2014高考福建卷第15題】若集合且下列四個關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是_________. 【答案】6 6. 【2014全國1高考理第14題】甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市； 乙說：我沒去過城市. 丙說：我們?nèi)齻€去過同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為__________ 【答案】A 【解析】3由丙說可知，乙至少去過A,B,C中的一個城市，由甲說可知，甲去過A,C且比乙去過的城市多，故乙只去過一個城市，且沒去過C城市，故乙只去過A城市． 7. 【2014山東高考理第4題】用反證法證明命題“設(shè)為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是（ ） A. 方程沒有實根 B.方程至多有一個實根 C.方程至多有兩個實根 D.方程恰好有兩個實根 【答案】 8.【2014陜西高考理第14題】 觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)（） 頂點(diǎn)數(shù)（) 棱數(shù)（) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是_________. 【答案】 【解析】①三棱錐：,得； ②五棱錐：,得； ③立方體：,得； 所以歸納猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是： 故答案為 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對本部分知識的考查主要在合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較小. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 推理與證明是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結(jié)論和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng).證明包括直接證明與間接證明，其中數(shù)學(xué)歸納法是將無窮的歸納過程，根據(jù)歸納原理轉(zhuǎn)化為有限的特殊（直接驗證和演繹推理相結(jié)合）的過程，要很好地掌握其原理并靈活運(yùn)用.推理與證明問題綜合了函數(shù)、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個知識點(diǎn)，需要采用多種數(shù)學(xué)方法才能解決問題，如：函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類討論思想等，對學(xué)生的知識與能力要求較高，是對學(xué)生思維品質(zhì)和邏輯推理能力，表述能力的全面考查，可以彌補(bǔ)選擇題與填空題等客觀題的不足，是提高區(qū)分度，增強(qiáng)選拔功能的重要題型，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問題正在成為一個熱點(diǎn)題型，并且經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn). 預(yù)測2017年高考將會有題目用到推理證明的方法.復(fù)習(xí)建議：推理證明題主要和其它知識結(jié)合到一塊，屬于知識綜合題，解決此類題目時要建立合理的解題思路. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考的考查：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法（理科）等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較小； 【考點(diǎn)1】合情推理與演繹推理 【備考知識梳理】 1.合情推理 (1)定義：根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理． (2)合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類： ①歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理； 歸納推理的分類 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類 a.數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等； b.形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納． ②類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 類比推理的分類:類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法 a.類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解； b.類比性質(zhì)：從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵； c.類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移． 2.演繹推理 (1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理叫做演繹推理．演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時，結(jié)論必然為真. (2)模式：三段論 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． (3)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理． 【規(guī)律方法技巧】 1. 歸納推理與類比推理之區(qū)別：(1)歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理．在進(jìn)行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論． (2)類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì)．在進(jìn)行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì)． 2.演繹推理問題的處理方法 從思維過程的指向來看，演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而作出關(guān)于該類事物的判斷的思維形式，因此是從一般到特殊的推理．?dāng)?shù)學(xué)中的演繹法一般是以三段論的格式進(jìn)行的．三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個命題組成，大前提是一個一般性原理，小前提給出了適合于這個原理的一個特殊情形，結(jié)論則是大前提和小前提的邏輯結(jié)果． 3.應(yīng)用合情推理應(yīng)注意的問題： (1)在進(jìn)行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論． (2)在進(jìn)行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì)． 注意：歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性． 4.歸納推理與類比推理的步驟 (1)歸納推理的一般步驟： ①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)； ②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)； ③檢驗猜想． →→ (2)類比推理的一般步驟： ①找出兩類事物之間的相似性或一致性； ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)； ③檢驗猜想． →→ 5.演繹推理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) (1)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的．三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況．這兩個判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷：結(jié)論． (2)演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時要找準(zhǔn)正確的大前提．一般地，若大前提不明確時，一般可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提． 6.歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論,歸納推理所得的結(jié)論不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知過程，是發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的重要方法． 類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì).在進(jìn)行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì).類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則會犯機(jī)械類比的錯誤． 演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過程主要是通過演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆山西省榆林市二?！坑^察下列等式： 照此規(guī)律， ________. 【答案】 【解析】由規(guī)律知，右邊為兩個式子的積，一個因式為，另一個式子，為n各數(shù)的和，每個數(shù)次數(shù)為次，按降冪，按升冪，所以 2. 【2016屆湖北省沙市中學(xué)高三下第三次月考】在平面直角坐標(biāo)系中，滿足的點(diǎn)的集合對應(yīng)的平面圖形的面積為；類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，滿足，的點(diǎn)的集合對應(yīng)的空間幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點(diǎn)2】直接證明與間接證明 【備考知識梳理】 1．直接證明 (1)綜合法： 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． 綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法. 框圖表示：→→→…→ (2)分析法： 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法． 分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因； 分析法的書寫格式： 要證明命題Q為真，只需要證明命題為真， 從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題P為真，而已知P為真，故命題Q必為真 框圖表示：→→→…→. 2．間接證明 反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的，即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法. 【規(guī)律方法技巧】 1. 明晰三種證題的一般規(guī)律 (1)綜合法證題的一般規(guī)律： 用綜合法證明命題時，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從而由已知逐步推出結(jié)論． (2)分析法證題的一般規(guī)律： 分析法的思路是逆向思維，用分析法證題必須從結(jié)論出發(fā)，倒著分析，尋找結(jié)論成立的充分條件．應(yīng)用分析法證明問題時要嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)，下一步是上一步的充分條件． (3)反證法證題的一般規(guī)律： 反證法證題的實質(zhì)是證明它的逆否命題成立．反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一討論過程中，A和非A有且僅有一個是正確的，不能有第三種情況出現(xiàn)． 2.綜合法證題的思路： 3.分析法證題的技巧： (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵． (2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證． 4.反證法證明問題的一般步驟: (1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立；(否定結(jié)論) (2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾) (3)立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立) 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論. 5.反證法是一種重要的間接證明方法，適用反證法證明的題型有：(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(2)否定性命題；(3)唯一性命題；(4)至少至多型命題；(5)一些基本定理；(6)必然性命題等. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高三5月模擬】已知數(shù)列滿足：. （1）證明：；（2）求證：. 【解析】（1）,可得：. （2）,所以：,累加得：,另一方面由可得：原式變形為. 所以： 累加得. 2. 用反證法證明命題“若，，則三個實數(shù)中最多有一個小于零”的反設(shè)內(nèi)容為（ ） A．三個實數(shù)中最多有一個不大于零 B．三個實數(shù)中最多有兩個小于零 C．三個實數(shù)中至少有兩個小于零 D．三個實數(shù)中至少有一個不大于零 【答案】C 【解析】反證法證明時，首先假設(shè)要證命題的結(jié)論的反面成立，即反設(shè)為三個實數(shù)中至少有兩個小于零 【考點(diǎn)3】數(shù)學(xué)歸納法 【備考知識梳理】 1. 一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：①證明起始命題(或)成立；②在假設(shè)成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定對一切正整數(shù)成立． 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為： ①歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)時命題成立； ②歸納遞推：假設(shè)，(，)時，命題成立，證明當(dāng)時，命題成立； ③由①②得出結(jié)論． 【規(guī)律方法技巧】 1. 明確數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明 數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可．第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在n＝k＋1時一定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”． 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的問題 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，以及初始值的值． (2)由到時，除考慮等式兩邊變化的項外還要充分利用時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．弄清左端應(yīng)增加的項，明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等．簡言之：兩個步驟、一個結(jié)論；遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉．[來 3. 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意問題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由成立，推證時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明． 4. “歸納——猜想——證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式．其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用．其關(guān)鍵是觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律． 5. 使用數(shù)學(xué)歸納法需要注意的三個問題 在使用數(shù)學(xué)歸納法時還要明確： (1)數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可； (2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時，要注意起點(diǎn)，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清題目； (3)第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由到時命題變化的情況． 6. 數(shù)學(xué)歸納法常用于與正整數(shù)有關(guān)命題的證明可用數(shù)學(xué)歸納法．例如根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，初步形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進(jìn)行，可通過變化分子或分母，通過裂項相消等方法達(dá)到證明的目的． 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（n＞2）”過程中，由到時，不等式的左邊（ ） A．增加了一項 B．增加了兩項 C．增加了一項，又減少了一項 D．增加了兩項，又減少了一項 【答案】D 【解析】當(dāng)時，不等式左邊為，比較時，增加了，但也減少了，故選D. 2. 【2016屆江蘇省清江中學(xué)高三上學(xué)期12月月考】已知. （1）若求中含項的系數(shù)； （2）若是展開式中所有無理項的系數(shù)和，數(shù)列是由各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：. 【解析】（1），∴中含項的系數(shù)為 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．邏輯推理即演繹推理，就是從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個別結(jié)論的過程.演繹推理的邏輯形式對于理性的重要意義在于，它對人的思維保持嚴(yán)密性、一貫性有著不可替代的校正作用.邏輯推理包括演繹、歸納和溯因三種方式. 2.歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論,歸納推理所得的結(jié)論不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知過程，是發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的重要方法．常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納. 歸納推理的一般步驟:①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；②從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）. 3．類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì).在進(jìn)行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì).類比推理時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則會犯機(jī)械類比的錯誤． 4.反證法是一種重要的間接證明方法，適用反證法證明的題型有：(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(2)否定性命題；(3)唯一性命題；(4)至少至多型命題；(5)一些基本定理；(6)必然性命題等.證明問題的一般步驟: (1)反設(shè)； (2)歸謬； (3)立論.注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論. 二年模擬 1. 設(shè)則（ ） A．都不大于 B．都不小于 C．至少有一個不大于 D．至少有一個不小于 【答案】C 【解析】因為，所以≥，所以，所以的值中至少有一個不大于，故選C． 2.【2016屆河南省八市高三4月質(zhì)檢】已知，觀察下列算式：； ，…；若，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意：； ，…； …；據(jù)此可知，，則的值為. 3. 【2016屆河北省衡水中學(xué)高三一?！慷x：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)成為單位分?jǐn)?shù)，我們可以把1分拆為若干個不同的單位分?jǐn)?shù)之和.如：，依次類推可得：，其中.設(shè)，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得，，則，因為，所以時，有最小值，此時最小值為，故選C. 4. 【2016屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一?！吭谝粋€俱樂部里，有老實人和騙子兩類成員，老實人永遠(yuǎn)說真話，騙子永遠(yuǎn)說假話，一次我們和俱樂部的四個成員談天，我們便問他們：“你們是什么人，是老實人？還是騙子？”這四個人的回答如下： 第一個人說：“我們四個人全都是騙子”； 第二個人說：“我們當(dāng)中只有一個人是騙子”； 第三個人說：“我們四個人中有兩個人是騙子”； 第四個人說：“我是老實人”. 請判斷一下，第四個人是老實人嗎？ .（請用“是”或“否”作答） 【答案】是 【解析】依據(jù)題設(shè)條件可知前三個人的說法都是在撒謊,因說別人是騙子的都是不誠實的,所以依據(jù)題設(shè)中的規(guī)則第四個人說的是真話,即第四個人是老實人,所以應(yīng)填是. 5. 【2016屆山東省濰坊一中高三三輪沖刺模擬】已知，觀察下列各式： … 類比得：，則 ． 【答案】 【解析】本題由算術(shù)—幾何均值不等式.改編而來.觀察兩式可知 即為被分成部分的分母乘積,才可約去.觀察知被分成項 ,乘積可得 故答案應(yīng)該填. 6. 【2016屆寧夏六盤山高中高三四模】對于函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究的結(jié)果，計算 = . 【答案】2016 7. 【2016屆江蘇省清江中學(xué)高三考前一周】如圖甲所示，在直角中，、，是垂足，則有，該結(jié)論稱為射影定理．如圖乙所示，在三棱錐中，平面，平面，為垂足，且在內(nèi)，類比直角三角形中的射影定理，則有 ． 【答案】 【解析】從題中條件不難發(fā)現(xiàn)：圖甲中的對應(yīng)圖乙中的平面，圖甲中的對應(yīng)圖乙中的平面，因此在類比的結(jié)論中，圖甲中的邊對應(yīng)圖乙中的面，圖甲中的邊對應(yīng)圖乙中的面，圖甲中的邊對應(yīng)圖乙中的面. 8. 【2016屆湖北省沙市中學(xué)高三下第三次月考】在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別是離心率為e的圓錐曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在該曲線上．一同學(xué)已正確地推得：當(dāng)m＞n＞0時，有e（sinA+sinB）=sinC．類似地，當(dāng)m＞0、n＜0時，有e（ ）=sinC． 【答案】 9．【2016屆浙江省杭州市高三第二次質(zhì)檢】設(shè)數(shù)列滿足，. （1）求證：； （2）求證：. 【解析】因為及，所以，所以.因為，所以，即. （2）由（1）得,所以，即，當(dāng)時，也滿足，所以.所以. 10.【2016屆吉林省毓文中學(xué)高三高考熱身】如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線,分別與圓交于,兩點(diǎn)． （Ⅰ）若,，求的面積； （Ⅱ）若直線過點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值． 【解析】（Ⅰ）由題知，所以，為圓的直徑，的方程為，直線的方程為，所以圓心到直線的距離，所以，由中位線定理知，，； （Ⅱ）設(shè)、，①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程中有：，整理得：，則有，， ； ②當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，代入圓的方程可得：，，；綜合①②可得：為定值，此定值為． 11. 【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】如下圖所示，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為，由下往上的六個點(diǎn)：，，，，，的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列（）的前項，如下表所示： 按如此規(guī)律下去，則 ． 【答案】1007 【解析】，，，，，，，，，這個數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項為偶數(shù)項為，故，，故． 12. 【2015屆江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)高三六校第二次聯(lián)考】把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后，擦去第奇數(shù)行中的奇數(shù)和第偶數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列．若902，則 ． 【答案】436 【解析】首先由，，因此902在甲圖中的第31行第二個數(shù)，前30行共去年的數(shù)的個數(shù)為，還剩下個數(shù)，第31行的第一個數(shù)為91去掉，因此902是第436個數(shù)，即在乙圖中，902對應(yīng)的． 13. 【2015屆北京市石景山區(qū)高三3月統(tǒng)一測試（一模）】有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎．有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”.四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是 ． 【答案】丙 14. 【2015屆江蘇省啟東中學(xué)高三下學(xué)期期初調(diào)研測試】在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α＋cos2β＝1.類比到空間中的一個正確命題是：在長方體ABCDA1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ _． 【答案】2； 【解析】設(shè)長方體的棱長分別為a，b，c，如圖所示，所以AC1與下底面所成角為∠C1AC，記為α，所以cos2α＝，同理cos2 β＝，cos2γ＝，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2. 15. 【2016屆山東省濰坊中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)】觀察下列等式 第一個式子 第二個式子 第三個式子 第四個式子 照此規(guī)律下去 （Ⅰ）寫出第5個等式； （Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想． 【解析】（Ⅰ）第5個等式 ； （Ⅱ）猜測第個等式為，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 試題解析：（Ⅰ）第5個等式 （Ⅱ）猜測第個等式為 證明：（1）當(dāng)時顯然成立； （2）假設(shè)時也成立， 即有 那么當(dāng)時左邊 而右邊這就是說時等式也成立． 根據(jù)（1）（2）知，等式對任何都成立． 拓展試題以及解析 1.從，推廣到第個等式為 ． 【答案】 【解析】由歸納推理，得第個等式為； 故填． 【入選理由】本題主要考查歸納推理等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的合情推理能力和基本運(yùn)算能力．能用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理是高考對合情推理的基本要求．相比較而言，歸納推理是高考的一個熱點(diǎn)．本題體現(xiàn)了歸納推理的思想，需從所給的式子對中總結(jié)歸納出其規(guī)律．題目不難，體現(xiàn)了高考的熱點(diǎn)，故選此題． 2. “若為橢圓（）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn), 分別是左、右焦點(diǎn), 若, ，則.”類比橢圓的性質(zhì)，可得“若為雙曲線（）右支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn), 分別是左、右焦點(diǎn), 若, ，則 .” 【答案】 【解析】由于在橢圓中，在雙曲線中，故類比結(jié)果應(yīng)是. 【入選理由】本題主要考查橢圓與直線位置關(guān)系問題，類比推理等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生簡單的邏輯推理能力．歸納和類比是兩種重要的思維形式，是高考的熱點(diǎn)，通常以選擇題或填空題的形式考查．本題以橢圓為背景類比出雙曲線的性質(zhì)，題目不難，但具有較好的代表性，故押此題. 3. 已知正整數(shù)的3次冪有如下分解規(guī)律： ；；；；…若的分解中最小的數(shù)為，則的值為 . 【答案】10 【入選理由】本題主要考查歸納推理等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的合情推理能力和基本運(yùn)算能力．能用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理是高考對合情推理的基本要求．相比較而言，歸納推理是高考的一個熱點(diǎn)．本題體現(xiàn)了歸納推理的思想，需從所給的式子對中總結(jié)歸納出其規(guī)律．題目不難，體現(xiàn)了高考的熱點(diǎn)，故選此題．