高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考小題分項練10 圓錐曲線 理
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高考小題分項練10 圓錐曲線 1．橢圓＋＝1的兩個焦點分別為點F1、F2，點P是橢圓上任意一點(非左右頂點)，則△PF1F2的周長為( ) A．6 B．8 C．10 D．12 答案 C 解析 由＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，所以△PF1F2周長為2a＋2c＝6＋4＝10，故選C. 2．已知圓x2＋y2＋mx－＝0與拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線相切，則實數(shù)m等于( ) A．2 B． C. D. 答案 B 解析 因為圓x2＋y2＋mx－＝0，即(x＋)2＋y2＝與拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線相切，所以 ＝1， m＝，故選B. 3．點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為( ) A. B．2 C. D．3 答案 C 解析 ∵△ABF2是等邊三角形，∴|BF2|＝|AB|， 根據(jù)雙曲線的定義，可得 |BF1|－|BF2|＝2a， ∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a， 又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a. ∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a， ∠F1AF2＝120， ∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120， 即4c2＝4a2＋16a2－22a4a(－)＝28a2， 解得c＝a，由此可得雙曲線C的離心率e＝＝. 4．如圖，拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F，過拋物線上一點A(3，y)向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝4x 答案 D 解析 設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則F(，0)，將A(3，y)代入拋物線方程得y2＝6p，y＝，由于△ABF為等邊三角形，故kAF＝，即＝，解得p＝2. 5．過雙曲線x2－＝1右支上一點P，分別向圓C1：(x＋4)2＋y2＝4和圓C2：(x－4)2＋y2＝1作切線，切點分別為M，N，則|PM|2－|PN|2的最小值為( ) A．10 B．13 C．16 D．19 答案 B 解析 |PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3 ＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3 ＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13， 故選B. 6．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝2px(p>0)相交于A，B兩點，直線AB恰好過它們的公共焦點F，則雙曲線C的離心率為( ) A. B．1＋ C．2 D．2＋ 答案 B 解析 由題意，得xA＝xB＝＝c， |yA|＝ ＝p＝2c， 因此－＝1?＝?b2＝2ac?c2－a2＝2ac ?e2－2e－1＝0?e＝1＋(負(fù)值舍去)，故選B. 7．已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為( ) A.xy＝0 B．xy＝0 C．2xy＝0 D．x2y＝0 答案 B 解析 a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，離心率為；雙曲線C2的方程為－＝1，離心率為. ∵C1與C2的離心率之積為， ∴ ＝， ∴()2＝，＝， C2的漸近線方程為：y＝x， 即xy＝0.故選B. 8．我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知點F1、F2是一對相關(guān)曲線的焦點，點P是它們在第一象限的交點，當(dāng)∠F1PF2＝30時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率是( ) A．7－4 B．2－ C.－1 D．4－2 答案 B 解析 由題意設(shè)橢圓方程為＋＝1， 雙曲線方程為－＝1，且c＝c1. 由題意＝1，(*) 又∠F1PF2＝30，由余弦定理得： 在橢圓中，4c2＝4a2－(2＋)|PF1||PF2|， 在雙曲線中，4c2＝4a＋(2－)|PF1||PF2|， 可得b＝(7－4)b2，代入(*)得 c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4， 即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0， 得e2＝7－4，即e＝2－，故選B. 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P為雙曲線x2－2y2＝1的右支上的一個動點，若點P到直線x－2y＋2＝0的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的最大值為( ) A．2 B. C. D. 答案 C 解析 設(shè)點P(x，y)，由題意得[]min>m，而直線x－2y＋2＝0與漸近線x－2y＝0的距離為＝，因此[]min>，即m≤，實數(shù)m的最大值為，故選C. 10．過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0，c＝)的左焦點F作圓x2＋y2＝的切線，切點為E，延長FE交雙曲線C的右支于點P，若點E為PF的中點，則雙曲線C的離心率為( ) A.＋1 B. C.＋1 D. 答案 C 解析 設(shè)雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0，c＝)的右焦點是F′，則PF′的長是c，并且∠FPF′＝，∴|PF|＝c，從而c－c＝2a，∴e＝＋1， 故選C. 11．雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)的離心率為，拋物線y2＝2px (p>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線交于A，B兩點，△OAB(O為坐標(biāo)原點)的面積為4，則拋物線的方程為( ) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y＝4x 答案 A 解析 ∵e＝＝?c＝a，∴b＝＝a， ∴y＝x＝x， ∴S△AOB＝p＝4，∴p＝4， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝8x，故選A. 12．已知點P(，)在雙曲線－＝1上，雙曲線的左、右焦點分別為點F1、F2，△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸相切于點M，則的值為( ) A.＋1 B.－1 C.＋1 D.－1 答案 B 解析 點P(，)在雙曲線－＝1上，可得a＝1， 設(shè)點M(x,0)，內(nèi)切圓與x軸相切于點M，PF1，PF2與圓分別切于點N，H，由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，由切線長定理知|PN|＝|PH|，|NF1|－|HF2|＝2， 即|MF1|－|MF2|＝2， 可得(x＋2)－(2－x)＝2，解得x＝1，M(1,0)，＝(－1，)(2－1,0)＝－1，故選B. 13．已知點P在拋物線y2＝4x上，當(dāng)點P到直線y＝x＋4的距離最短時，點P的坐標(biāo)是________． 答案 (1,2) 解析 設(shè)P(，y)，則點P到直線y＝x＋4的距離d＝＝，當(dāng)y＝2時，d取得最小值．把y＝2代入y2＝4x，得x＝1，所以點P的坐標(biāo)為(1,2)． 14．已知點F1、F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 答案 3 解析 由⊥知∠F1PF2＝90， 則由題意，得 可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9， 所以b＝3. 15．已知點F1、F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點，點M為橢圓上一點，且△MF1F2內(nèi)切圓的周長等于3π，若滿足條件的點M恰好有2個，則a2＝________. 答案 25 解析 由橢圓的對稱性，知滿足題意的點M是橢圓短軸的端點， |MF1|＝|MF2|＝a.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r， 則2πr＝3π，r＝，又(2a＋2c)r＝2c4，所以(a＋)＝4，解得a2＝25. 16．方程＋＝1表示的曲線為C，給出下列四個命題： ①曲線C不可能是圓； ②若1下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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