高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題6_3 數(shù)列的綜合問題試題 理（含解析）

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專題6.3 數(shù)列的綜合問題 【三年高考】 1. 【2016高考浙江理數(shù)】如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，， （）.若（ ） A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列 C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列 【答案】A 和兩個(gè)垂足構(gòu)成了等腰梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A． 2. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和． 【解析】（Ⅰ）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得所以的通項(xiàng)公式為 （Ⅱ）因?yàn)樗詳?shù)列的前項(xiàng)和為 3. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中． （I）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； （II）若 ，求． 4. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列滿足，． （I）證明：，； （II）若，，證明：，． 5. 【2016年高考四川理數(shù)】已知數(shù)列{ }的首項(xiàng)為1， 為數(shù)列的前n項(xiàng)和， ，其中q>0， . （Ⅰ）若 成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且 ，證明：. 【解析】（Ⅰ）由已知， 兩式相減得到.又由得到，故對(duì)所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等比數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故 .所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以雙曲線的離心率 ．由解得.因?yàn)?，所?于是，故. 6. 【2015高考福建，理8】若 是函數(shù) 的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 7.【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（） （1）證明：1（）； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）. 【解析】（1）由題意得，，即，，由，得，由得，，即； （2）由題意得，∴①，由和得，， ∴，因此②，由①②得. 8.【2015高考安徽，理18】設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）記，證明. 9.【2015高考陜西，理21】設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項(xiàng)和，其中，，． （I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且； （II）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較 與的大小，并加以證明． 【解析】（I），則所以在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故. 解法二 由題設(shè)，當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時(shí), 所以成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，即.那么，當(dāng)時(shí)， .又，令，則，所以當(dāng),,在上遞減；當(dāng),,在上遞增.所以，從而，故.即，不等式也成立.所以，對(duì)于一切的整數(shù)，都有. 解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，，所以,令當(dāng)時(shí), ,所以. 當(dāng)時(shí), ，而，所以，.若，，，當(dāng)，，，從而在上遞減，在上遞增.所以，所以當(dāng)又，，故，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí). 10．【2014高考大綱理第18題】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且. （I）求的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 11．【2014高考湖北理第18題】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由. 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或. （2）當(dāng)時(shí)，，顯然，不存在正整數(shù)，使得. 當(dāng)時(shí)，，令，即，解得或（舍去）此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41. 12．【2014高考重慶理科第22題】設(shè) （Ⅰ）若，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，問：是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)所有成立？證明你的結(jié)論. （Ⅱ）解法一：設(shè)，則.令，即，解得.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命： 當(dāng)時(shí)，，所以，結(jié)論成立. 假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，易知在上為減函數(shù)，從而，即，再由在上為減函數(shù)得.故，因此，這就是說，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.綜上，符合條件的存在，其中一個(gè)值為. 解法二：設(shè)，則，先證：……① 當(dāng)時(shí)，結(jié)論明顯成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，易知在上為減函數(shù)，從而 ，即這就是說，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，故①成立. 再證：………………………………② 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，數(shù)列與應(yīng)用問題的結(jié)合，數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、向量、平面解析幾何、向量、三角函數(shù)的有機(jī)結(jié)合，互相滲透，已經(jīng)成為近年來高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出，對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合考察,“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識(shí)”“需要什么，就求什么” ， 既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得 與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果．對(duì)數(shù)列與應(yīng)用問題的結(jié)合的考察，主要是將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，關(guān)鍵是要熟悉等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，以及注意項(xiàng)與項(xiàng)之間的遞推關(guān)系．?dāng)?shù)列與函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合，此類問題抓住一個(gè)中心-----函數(shù),一是數(shù)列和函數(shù)的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，注意利用它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系解題．?dāng)?shù)列與其他知識(shí)的結(jié)合，主要是通過三角函數(shù)或者解析幾何或者向量中包含的等量關(guān)系，得出數(shù)列的遞推公式或者通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用數(shù)列知識(shí)求解．?dāng)?shù)列問題是每年必考題目，預(yù)測(cè)2017年會(huì)繼續(xù)考查，以等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用題為主，要靈活掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)． 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)數(shù)列綜合應(yīng)用問題的考查有四種主要形式：一是等差、等比的綜合應(yīng)用；二是等差、等比數(shù)列在實(shí)際中的應(yīng)用；三是數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識(shí)的交匯考察． 【考點(diǎn)1】等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 【備考知識(shí)梳理】 1．等差數(shù)列的判定： ①（為常數(shù)）；②；③（為常數(shù)）；④（為常數(shù)）．其中用來證明方法的有①②． 2.等比數(shù)列的判定：①（）；②（）；③； ④其中用來證明方法的有①②． 3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： ， 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：， 4．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= 5.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn= Sn= 6等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 7等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 8等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、……仍為等差數(shù)列. 9等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列……仍為等比數(shù)列（當(dāng)m為偶數(shù)且公比為-1的情況除外） 10兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列 11兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)的數(shù)列{anbn}、、仍為等比數(shù)列 12.等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列 13等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列 14．等差中項(xiàng)公式：A= （有唯一的值） 15. 等比中項(xiàng)公式：G= （ab>0，有兩個(gè)值） 【規(guī)律方法技巧】 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系．如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年江西省四校高三一模測(cè)試】已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若,則的值是（ ） A.1 B. C . D. 【答案】D 【解析】數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，，且, 2. 【2016年廣州市畢業(yè)班綜合測(cè)試】已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是和的等差中項(xiàng). （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【考點(diǎn)2】等差數(shù)列、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 【備考知識(shí)梳理】 解數(shù)列應(yīng)用題的建模思路 從實(shí)際出發(fā)，通過抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型的解析，再返回實(shí)際中去，其思路框圖為： 【規(guī)律方法技巧】 1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長(zhǎng)率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題. 2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意：（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；（2）分清是求an還是求Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆淮北一中高三最后一卷】 南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)古籍《張邱建算經(jīng)》有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中間 三人未到者，亦依等次更給，問：每等人比下等人多得幾斤？”（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)得金最多的數(shù)為數(shù)列首項(xiàng)，公差為，則，解得，因此每等人比下等人多得斤．故選B． 2．【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測(cè)試】《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題目：把個(gè)面包分給五個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小份為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【考點(diǎn)3】數(shù)列與其他知識(shí)的交匯 【備考知識(shí)梳理】 數(shù)列在高考中多與函數(shù)、不等式、解析幾何、向量交匯命題，近年由于對(duì)數(shù)列要求降低，但仍有一些省份在考查數(shù)列與其他知識(shí)的交匯.歸納起來常見的命題角度有： 1)數(shù)列與不等式的交匯； 2)數(shù)列與函數(shù)的交匯； 3)數(shù)列與解析幾何的交匯. 【規(guī)律方法技巧】 1．解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了． 2．解決數(shù)列與函數(shù)、方程、三角函數(shù)、向量等知識(shí)結(jié)合的問題時(shí)，要通過其他知識(shí)，把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列項(xiàng)的遞推式或通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題處理． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆寧夏石嘴山三中高三下三?！吭O(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，時(shí)點(diǎn)在直線上，且的首項(xiàng)是二次函數(shù)的最小值，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，即，可知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，又函數(shù)的最小值為，即，故． 2. 【2016屆吉林省白城一中高三下4月】已知函數(shù)，且，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．運(yùn)用方程的思想解等差(比)數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量(或)，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算． 2．深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵．解題時(shí)應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運(yùn)算量，既準(zhǔn)又快地解決問題． 3．關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算，一般通過其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式構(gòu)造關(guān)于 (或)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運(yùn)用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對(duì)等差(等比)數(shù)列問題的認(rèn)識(shí)． (1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯(cuò)公式．(2)方程思想的應(yīng)用往往是破題的關(guān)鍵． 4．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 二年模擬 1. 【湖北2016年9月三校聯(lián)考】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則 ( ) A．32 B．62 C．27 D．81 【答案】B 2. 【2017屆廣州省惠州市高三第一次調(diào)研】設(shè)，，若是和的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因?yàn)?，所以? 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選C 3. 【2016年江西九江高三模擬】已知數(shù)列各項(xiàng)均不為，其前項(xiàng)和為，且，則______. 【答案】 【解析】法一： 當(dāng)時(shí)，，即，∴.當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，∵，∴，∴，都是公差為的等差數(shù)列，又，，∴是公差為的等差數(shù)列，∴，∴． 法二：通過觀察，發(fā)現(xiàn)剛好符合條件，故． 4. 【2016年湖北高三八校聯(lián)考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 5. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺五】設(shè)數(shù)列滿足，點(diǎn)對(duì)任意的，都有向量，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_____. 【答案】 【解析】由點(diǎn)對(duì)任意的，都有向量，可得，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為.由，則，可得，那么.故本題答案應(yīng)填. 6.【2016屆上海市七寶中學(xué)高三模擬】設(shè)，且為常數(shù)，若存在一公差大于0的等差數(shù)列（），使得為一公比大于1的等比數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的一組的值________. 【答案】（答案不唯一，一組即可） 【解析】由題設(shè)可取,此時(shí),存在數(shù)列,滿足題設(shè),應(yīng)填答案. 7. 【2016屆黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三考前訓(xùn)練一】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為________． 【答案】 8. 【2016年江西師大附中高三二?！吭诠葹榈牡缺葦?shù)列中，與的等差中項(xiàng)是. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數(shù)，，的一部分圖像如圖所示，，為圖像 上的兩點(diǎn)，設(shè)，其中與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，求的值. 9.【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測(cè)試】已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)（）均在函數(shù)的圖象上． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令，證明：． 【解析】（Ⅰ）點(diǎn)在的圖象上，，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，適合上式，（）； （Ⅱ）由，，又，， 成立． 10. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺二】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令，是否存在，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 11. 【2015屆福建省泉州五中高三模擬】已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，類比上述結(jié)論可得 A．若滿足，則也是等比數(shù)列 B．若滿足，則也是等比數(shù)列 C．若滿足，則也是等比數(shù)列 D．若滿足，則也是等比數(shù)列 【答案】D 【解析】根據(jù)等比數(shù)列構(gòu)造新的等比數(shù)列，乘積變化為乘方，，原來的除法為開方，，故答案為D． 12.【2015屆河南省南陽(yáng)市一中高三下學(xué)期第三次模擬】已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足．若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 13. 【2015屆福建省泉州五中高三模擬】若數(shù)列滿足“對(duì)任意正整數(shù)，恒成立”，則稱數(shù)列為“差非增數(shù)列”． 給出下列數(shù)列： ①，②，③，④，⑤． 其中是“差非增數(shù)列”的有________（寫出所有滿足條件的數(shù)列的序號(hào)）． 【答案】③④． 14.【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，． （Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，點(diǎn)在直線上，若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值． 【解析】（Ⅰ）由，得 ， 兩式相減得， 所以 （），因?yàn)椋?，，，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以， 故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 則，所以， 當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足該式，所以 所以不等式，即為， 令，則，兩式相減得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，； 則的最小值為，所以實(shí)數(shù)的最大值是 15. 【2015屆江蘇省揚(yáng)州市高三第四次調(diào)研】設(shè)個(gè)正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈．其中是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列． （1）若，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和； （2）若，，求的最大值； （3）是否存在正整數(shù)，滿足？若存在，求出值； 若不存在，請(qǐng)說明理由． 即，則，即， 顯然，則，所以，將一一代入驗(yàn)證知，當(dāng)時(shí)，上式右端為，等式成立，此時(shí)， 綜上可得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在滿足等式． 拓展試題以及解析 1．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則=（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【入選理由】本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力．本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用,也是高考?？碱}型，故選此題． 2.我國(guó)數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的《九章算術(shù)》，其中卷第七《盈不足》有一道關(guān)于等比數(shù)列求和試題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺.莞生一日，長(zhǎng)一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長(zhǎng)等？”其意思是：今有蒲生1日，長(zhǎng)3尺.莞生1日，長(zhǎng)1尺.蒲的生長(zhǎng)逐日減其一半，莞的生長(zhǎng)逐日增加1倍，問幾日蒲（水生植物名）、莞（植物名）長(zhǎng)度相等．試估計(jì)___________日蒲、莞長(zhǎng)度相等（結(jié)果采取“只入不舍”原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，） 【答案】3 【解析】設(shè)日蒲、莞的長(zhǎng)度相等．由題意知蒲、莞每天的長(zhǎng)構(gòu)成首項(xiàng)分別為3、1，公比分別為、2的等比數(shù)列，則，解得． 【入選理由】本題考查等比數(shù)列的定義與前項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力、閱讀能力、獲取信息的能力．本題是數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題,高考每過幾年都會(huì)涉及，故選此題． 3.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)在上的最大值為，且的前項(xiàng)和為，則= ． 【答案】 【入選理由】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分段函數(shù)的最值、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，但知識(shí)交匯比較多，高考越來重視知識(shí)交匯命題，故數(shù)列與其他知識(shí)交匯命題更顯得重要，故選此題． 4.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若向量，，且，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，且，得，即，，又，所以.從而，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，所以的最小值為4.故選A． 【入選理由】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,向量的數(shù)量積,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，巧妙地與向量,不等式結(jié)合起來,有新意，故選此題． 5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，,若,且,數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 . （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和； （Ⅱ）是否存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？并說明理由. 【入選理由】本題考查等差數(shù)列的定義、數(shù)列求和、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力．本題是一個(gè)探索性試題,作為數(shù)列全國(guó)卷中一般都不是太難,此題難度適中，故選此題． 6.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(n∈N*). （1）求的值，若，證明數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在整數(shù)，使對(duì)任意n∈N*且n ≥2，都有成立，求的最大值. 【入選理由】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的判定、放縮法、數(shù)列求和方法、不等式的證明,不等式恒成立等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，但知識(shí)交匯比較多，構(gòu)思巧,技巧性大，故選此題． 7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）記，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求． （Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，若不等式 對(duì)任意的恒成立，試求正實(shí)數(shù) 的取值范圍． 【入選理由】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和關(guān)系、等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式求法、拆項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和運(yùn)算求解能力．以及運(yùn)算求解能力．本題等差與等比綜合，試題難度中等，題目不偏不怪，卻考查學(xué)生綜合分析問題能力，故選此題． 8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足，記，求證：（）. 【入選理由】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，數(shù)列前項(xiàng)和的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力, 綜合分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，近年來數(shù)列與不等式的綜合題目甚多，故選此題．