高考數(shù)學三輪增分練 高考大題縱橫練(二)理
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高考大題縱橫練(二) 1.(2016天津)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=bsin A. (1)求B; (2)若cos A=,求sin C的值. 解 (1)在△ABC中,由=, 可得asin B=bsin A. 又由asin 2B=bsin A, 得2asin Bcos B=bsin A=asin B, 所以cos B=,所以B=. (2)由cos A=,可得sin A=,則 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin =sin A+cos A=. 2.為了了解某校今年高三男生的身體狀況,隨機抽查了部分男生,將測得的他們的體重(單位:千克)數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖).已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3,其中第2小組的頻數(shù)為12. (1)求該校隨機抽查的部分男生的總?cè)藬?shù); (2)以這所學校的樣本數(shù)據(jù)來估計全市的總體數(shù)據(jù),若從全市高三男生中任選3人,設X表示體重超過55千克的學生人數(shù),求X的均值. 解 (1)設該校隨機抽查的部分男生的總?cè)藬?shù)為n,前3個小組的頻率分別為P1、P2、P3,則 解得 因為P2=0.25=,所以n=48. 故該校隨機抽查的部分男生的總?cè)藬?shù)為48. (2)由(1)可得,一個男生體重超過55千克的概率為 P=P3+(0.037 5+0.012 5)5=. 所以X~B(3,), 所以P(X=k)=C()k()3-k,k=0,1,2,3. 隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 則E(X)=0+1+2+3=.(或E(X)=3=) 3.(2016四川)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90,BC=CD=AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由; (2)證明:平面PAB⊥平面PBD. (1)解 取棱AD的中點M(M∈平面PAD),點M即為所求的一個點,理由如下: 因為AD∥BC,BC=AD. 所以BC∥AM,且BC=AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CM∥AB. 又AB?平面PAB,CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說明:取棱PD的中點N,則所找的點可以是直線MN上任意一點) (2)證明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD. 因為AD∥BC,BC=AD,所以直線AB與CD相交, 所以PA⊥平面ABCD, 從而PA⊥BD. 連接BM,因為AD∥BC,BC=AD,M為AD的中點, 所以BC∥MD,且BC=MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形, 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD. 4.(2016山東)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)令cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解 (1)由題意知,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n+5. 當n=1時,a1=S1=11,符合上式. 所以an=6n+5. 設數(shù)列{bn}的公差為d, 由即 解得所以bn=3n+1. (2)由(1)知cn==3(n+1)2n+1.. 又Tn=c1+c2+…+cn, 得Tn=3[222+323+…+(n+1)2n+1], 2Tn=3[223+324+…+(n+1)2n+2], 兩式作差,得 -Tn=3[222+23+24+…+2n+1-(n+1)2n+2] =3=-3n2n+2. 所以Tn=3n2n+2. 5.(2015陜西)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為c. (1)求橢圓E的離心率; (2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點,求橢圓E的方程. 解 (1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0, 則原點O到該直線的距離d==, 由d=c,得a=2b=2,解得離心率=. (2)方法一 由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.① 依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=. 易知,AB與x軸不垂直,設其方程為y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-, x1x2=, 由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=, 從而x1x2=8-2b2. 于是|AB|= |x1-x2| ==, 由|AB|=,得=,解得b2=3, 故橢圓E的方程為+=1. 方法二 由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2,② 依題意,點A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱,且|AB|=,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x+4y=4b2,x+4y=4b2, 兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2, 所以AB的斜率kAB==, 因此直線AB的方程為y=(x+2)+1, 代入②得x2+4x+8-2b2=0, 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2, 于是|AB|= |x1-x2| ==. 由|AB|=,得=,解得b2=3, 故橢圓E的方程為+=1. 6.已知函數(shù)f(x)=aln x+bx2-(a+b)x. (1)當a=1,b=0時,求f(x)的最大值; (2)當b=1時,設α,β是f(x)的兩個極值點,且α<β,β∈(1,e](其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).求證:對任意的x1,x2∈[α,β],|f(x1)-f(x2)|<1. (1)解 f(x)的定義域為(0,+∞). 當a=1,b=0時,f(x)=ln x-x, 求導數(shù),得f′(x)=-1,令f′(x)=0,解得x=1. 當0- 配套講稿:
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- 高考數(shù)學三輪增分練 高考大題縱橫練二理 高考 數(shù)學 三輪 增分練 縱橫
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