高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題3_1 導(dǎo)數(shù)以及運算試題 文（含解析）

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專題3.1 導(dǎo)數(shù)以及運算試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A 2．[2016高考新課標Ⅲ文數(shù)]已知為偶函數(shù)，當 時，，則曲線在 處的切線方程式_____________________________. 【答案】 【解析】當時，，則．又因為為偶函數(shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即． 3．【2016高考新課標2文數(shù)】已知函數(shù). （I）當時，求曲線在處的切線方程； （Ⅱ）若當時，，求的取值范圍. 4．【2016高考北京文數(shù)】（本小題13分） 設(shè)函數(shù) （I）求曲線在點處的切線方程； （II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍； （III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件. 【解析】（I）由，得．因為，，所以曲線在點處的切線方程為． （II）當時，，所以．令，得，解得或．與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當且時，存在，，，使得．由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點． 5．【2015高考天津，文11】已知函數(shù) ,其中a為實數(shù),為的導(dǎo)函數(shù),若 ,則a的值為 ． 【答案】3 【解析】因為 ,所以. 6. 【2015高考新課標1，文14】已知函數(shù)的圖像在點的處的切線過點，則 . 【答案】1 【解析】∵，∴，即切線斜率， 又∵，∴切點為（1，），∵切線過（2,7），∴，解得1. 7.【2015高考陜西，文15】函數(shù)在其極值點處的切線方程為____________. 【答案】 8.【2015高考廣東，文21】設(shè)為實數(shù)，函數(shù)． （1）若，求的取值范圍； （2）討論的單調(diào)性； （3）當時，討論在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)． 【解析】（1），因為，所以， 當時，，顯然成立；當，則有，所以.所以. 綜上所述，的取值范圍是. （2）,對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；對于，其對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （3）由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以. (ii)當時，，當時， ，，而在上單調(diào)遞增，當時，.下面比較與的大小,因為,所以 結(jié)合圖象不難得當時，與有兩個交點. 綜上所述，當時，有一個零點；當時，有兩個零點. 9.【2015高考重慶，文19】已知函數(shù)（）在x=處取得極值. (Ⅰ)確定的值， (Ⅱ)若，討論的單調(diào)性. 【解析】略 10. 【2014高考安徽卷文第15題】若直線與曲線滿足下列兩個條件： 直線在點處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線. 下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號) ①直線在點處“切過”曲線： ②直線在點處“切過”曲線： ③直線在點處“切過”曲線： ④直線在點處“切過”曲線： ⑤直線在點處“切過”曲線： 【答案】①③④ 11. 【2014高考湖南卷文第9題】若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 12. 【2014高考重慶文第19題】已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值. 【解析】（Ⅰ）對求導(dǎo)得，由在點處切線垂直于直線知解得； 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 導(dǎo)數(shù)及運算是高考的熱點，年年都出題，作為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時求導(dǎo)中用到,一般不單獨命題,導(dǎo)數(shù)的幾何意義有時作為選擇題,填空題單獨命題，有時作為解答題的第一問，難度中檔左右． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式, 導(dǎo)數(shù)重點考查一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，與三角函數(shù)等的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)運算重點是高次多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商的運算方法，試題的命制往往與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用結(jié)合，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，它只作為解題的一部分，難度不大，只需會運用公式求導(dǎo)即可．因此在2017年高考備考中應(yīng)狠下功夫,掌握求導(dǎo)公式,會靈活應(yīng)用求導(dǎo)法則,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可. 在2016年高考考查了導(dǎo)數(shù)的運算，新課標1卷沒有對導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行考查, 預(yù)測2017年可能會對導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行考查,對函數(shù)與其它函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)運算是必考． 【2017年高考考點定位】 高考對導(dǎo)數(shù)的運算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，一般不單獨出題，特別是導(dǎo)數(shù)的運算，往往和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用結(jié)合起來，作為第一步求導(dǎo)來進一步研究導(dǎo)數(shù)其它應(yīng)用. 考點一、導(dǎo)數(shù)的基本運算 【備考知識梳理】1．常見函數(shù)的導(dǎo)出公式． 　（１）（C為常數(shù)）；（２）；（３）；（４）；（5）；（6）；（7）且；（8）． 2．兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： ( 法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： 若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法則3兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：‘=（v0）． 3.形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代．法則：y＇|= y＇| u＇| 【規(guī)律方法技巧】 (1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯； (2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進行求導(dǎo)，有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量； (3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，通過設(shè)中間變量，確定復(fù)合過程，然后求導(dǎo)． 【考點針對訓(xùn)練】 （1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求的導(dǎo)數(shù)； （3）求的導(dǎo)數(shù)；（4）求y=的導(dǎo)數(shù)；（5）求y＝的導(dǎo)數(shù) 【解析】（1）, （2）先化簡,， 考點二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【備考知識梳理】函數(shù)y=f（x）在點x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x））　　處的切線的斜率．也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x））處的切線的斜率是f’（x）．相應(yīng)地，切線方程為y－y=f/（x）（x－x）． 【規(guī)律方法技巧】求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；（2）在已知切點和斜率的條件下，求得切線方程 特別地，當曲線在點處的切線平行于軸時（此時導(dǎo)數(shù)不存在），可由切線的定義知切線方程為；當切點未知時，可以先設(shè)出切點坐標，再求解. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年河南鄭州高三二模】曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為（ ） A． B． C．和 D． 【答案】C. 【解析】因，令，故或，所以或，經(jīng)檢驗，點，均不在直線上，故選C． 2. 【河南八市2016年4月高三質(zhì)檢卷】.已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍為________ 【答案】 【應(yīng)試技巧點撥】 1. 利用導(dǎo)數(shù)求切線問題中的“在”與“過” 在解決曲線的切線問題時，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點處的切線若有則只有一條，曲線過某點的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點不一定只有一個.因此在審題時應(yīng)首先判斷是“在”還是“過”.若“在”，利用該點出的導(dǎo)數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過”，解決問題關(guān)鍵是設(shè)切點，利用“待定切點法”,即：設(shè)點A（x,y）是曲線y=f(x)上的一點，則以A為切點的切線方程為y－y=f,再根據(jù)題意求出切點. 2.函數(shù)切線的相關(guān)問題的解決，抓住兩個關(guān)鍵點：其一，切點是交點；其二，在切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率．因此，解決此類問題，一般要設(shè)出切點，建立關(guān)系——方程(組)．其三，求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異．過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上；在點P處的切線，點P是切點． 二年模擬 1. 【2016屆海南省農(nóng)墾中學(xué)高三考前押題】曲線在點處的切線的傾斜角為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得在點處的斜率，則傾斜角為,故選A. 2. 【2016屆吉林大學(xué)附中高三第二次模擬】已知為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 3. 【2016年河南省商丘市高三第三?！?曲線與曲線有公共點，且在公共點處的切線相同，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)公共切點橫坐標為,,依題意有,兩式相除得,故． 4. 【2016屆重慶一中高三5月模擬考試】設(shè)曲線在點(3,2)處的切線與直線有相同的方向向量,則a等于（ ） A．- B． C. -2 D．2 【答案】B 【解析】因為，，在點處的切線與直線有相同的方向向量，所以，，故選B. 5. 【2016屆重慶一中高三5月模擬考試】設(shè)函數(shù)有兩個極值點，若點為坐標原點，點在圓上運動時，則函數(shù)圖象的切線斜率的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6. 【2016屆海南省華僑中學(xué)高三考前模擬】已知函數(shù)在定義域上表示的曲線過原點，且在處的切線斜率均為．有以下命題： ①是奇函數(shù)；②若在內(nèi)遞減，則的最大值為；③若的最大值為，最小值為，則；④若對，恒成立，則的最大值為．其中正確命題的個數(shù)為（ ） A．個 B．個 C．個 D．個 【答案】B 【解析】由題意得函數(shù)過原點，則．又．則必有，解得，所以．令得．則函數(shù)在上的最小值是負數(shù)．由此得函數(shù)圖象大致如圖：得出結(jié)論是：①③正確；②④錯誤．故選B． 7. 【2016江西師大附中高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則 ． 【答案】 【解析】由函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)在該點的切線的斜率可知，有點必在切線上，代入切線方程，可得，所以有． 8. 【2016屆重慶一中高三下高考適應(yīng)性考試】一條斜率為的直線與曲線：和曲線：分別相切于不同兩點，則這兩點間的距離等于 ． 【答案】 9.【2016屆遼寧省大連師大附中高三模擬】已知函數(shù)，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若曲線和曲線都過點A（0,2），且在點A處有相同的切線． （1）求的值； （2）若時，求實數(shù)的取值范圍. 10. 【2016屆貴州省貴陽六中高三5月高考模擬】已知函數(shù). （1）求曲線在點處的切線方程； （2）求證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點，并利用二分法求函數(shù)取得極值時相應(yīng)的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數(shù)據(jù)）. 【解析】（1） ，則，∴曲線在點處的切線方程為，即：. （2）∵，∴，令，則在上單調(diào)遞增，∴在上存在唯一零點，在上存在唯一的極值點.取區(qū)間作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下 由上表可知區(qū)間的長度為0.3，所以該區(qū)間的中點，到區(qū)間端點的距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2一個極值點的相應(yīng)的值，∴函數(shù)取得極值時，相應(yīng). 11. 【河南省開封市2015屆高三上學(xué)期定位考試】函數(shù)存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 12. 【湖北省重點中學(xué)2015屆高三上學(xué)期第三次月考試題】已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于 （ ） A. B.2 C. D. 【答案】C. 【解析】因為，所以，所以，解之得.故應(yīng)選C. 13.【河南許昌平頂山新鄉(xiāng)三市2015屆10月高三第一次調(diào)研】設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，有恒成立，則不等式的解集是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 14.【2015屆山東省青島市高三下學(xué)期第二次模擬】已知函數(shù)（為實數(shù)）． （Ⅰ）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)（其中為常數(shù)），若函數(shù)在區(qū)間上不存在極值，且存在滿足，求的取值范圍． 【解析】（Ⅰ）當時，，，則，，函數(shù)的圖象在點的切線方程為：， 即 ； （Ⅱ），由，由于函數(shù)在區(qū)間上不存在極值，所以或 ，由于存在滿足，所以，對于函數(shù)，對稱軸，①當或，即或時，，由，結(jié)合或可得：或，②當，即時，，由，結(jié)合可知：不存在； ③當，即時，；由，結(jié)合可知： ，綜上可知： 或 ． 15.【2015屆北京市東城區(qū)5月綜合練習(xí)】已知函數(shù) ,，（，為常數(shù)）． （Ⅰ）若在處的切線過點，求的值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若關(guān)于的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）令，若函數(shù)存在極值，且所有極值之和大于，求實數(shù)的取值范圍． （Ⅲ）所以．因為存在極值，所以在上有根，即方程在上有根，則有．顯然當時，無極值，不合題意；所以方程必有兩個不等正根．記方程的兩根為，則 , 解得，滿足．又，即，故所求的取值范圍是． 拓展試題以及解析 1. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（ ） 【答案】A 【入選理由】本題主要考查誘導(dǎo)公式、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的圖象等知識，意在考查學(xué)生的識圖能力、邏輯思維能力.此題難度不大，出題角度較新，故選此題． 2．函數(shù)存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因為，直線的的斜率為，由題意知方程（）有解，因為，所以，故選D． 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和基本運算能力．本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義巧妙地與基本不等式結(jié)合起來，出題方式新穎，試題難度不大，同時對導(dǎo)數(shù)運算的深層次考查，體現(xiàn)靈活運用導(dǎo)數(shù)知識解決問題能力；故選此題. 3.已知函數(shù)，若方程有且僅有一解，則實數(shù)的取值范圍為 【答案】 【入選理由】本題考查函數(shù)圖象，函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求切線等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題的能力、基本運算能力及推理能力．本題比較綜合，出題方式新穎，試題難度不大，故選此題. 4.已知函數(shù)，若在點的切線為，則 . 【答案】0 【解析】切點代入切線得，，故，求得b=1，求導(dǎo)得，切線斜率,. 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、切線方程，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和和函數(shù)思想求切線方程問題,意在考查分析問題的能力、基本運算能力及推理能力．本題比較常規(guī)，是高考經(jīng)?？嫉念}型,故選此題. 5.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為_____． 【答案】 【解析】易得，則，又因為，所以切線方程為，即． 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，意在考查基本運算能力.本題比較常規(guī)，是高考經(jīng)?？嫉念}型,故選此題. 6.已知函數(shù)，，若在處的切線平行于直線，且. (Ⅰ)求函數(shù)的解析式； (Ⅱ)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【入選理由】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上在某點處的切線方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值、最小值問題等基礎(chǔ)知識，意在考查綜合分析問題、解決問題的能力和基本運算能力．本題比較綜合，特別是第二問恒成立問題是高考?？碱}型，故選此題. 7. 已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在處的切線過點，求的值； （Ⅱ）若，求證：； （Ⅲ）若恰有三個不同的零點，求的取值范圍． 【解析】(Ⅰ)因為，所以，又，所以 （Ⅱ）因為，所以令，則．因為，所以，從而，即. 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力．本題比較綜合，特別是第二問證明不等式問題是高考?？碱}型，故選此題. 8.已知函數(shù)，（1）若，則，滿足什么條件時，曲線與在處總有相同的切線？ （2）當時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間； （3）當時，若對任意的恒成立，求的取值的集合. 【解析】（1），，又，在處的切線方程為，又，，又，在處的切線方程為， 所以當且時，曲線與在處總有相同的切線. （2）由，，，，由，得，， 當時，函數(shù)的減區(qū)間為，；當時，函數(shù)的減區(qū)間為；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，. 【入選理由】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間及最值，不等式恒成立等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力．本題比較綜合，本題比較綜合，出題方式新穎，故選此題.