高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題八 系列4選講 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 理

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第1講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1．(2016課標(biāo)全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝，求l的斜率． 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝. 所以l的斜率為或－. 2．(2015江蘇)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 解　以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. 高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí). 熱點(diǎn)一　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．如圖， 設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則，. 例1　在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值． 解　ρ(cos θ＋sin θ)＝1， 即ρcos θ＋ρsin θ＝1對(duì)應(yīng)的普通方程為 x＋y－1＝0， ρ＝a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為 x2＋y2＝a2. 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入x2＋y2＝a2得a＝. 思維升華　(1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一． (2)在與曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性． 跟蹤演練1　在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)． 解　∵ρcos(θ＋)＝ρcos θcos －ρsin θsin ＝ρcos θ－ρsin θ＝3， ∴直線l對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x－y＝6. 又∵ρsin2θ＝8cos θ，∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ. ∴曲線C對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y2＝8x. 解方程組， 得或， 所以A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝＝16. 即線段AB的長(zhǎng)為16. 熱點(diǎn)二　參數(shù)方程與普通方程的互化 1．直線的參數(shù)方程 過定點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 2．圓的參數(shù)方程 圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 3．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 例2　(2015福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 解　(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為 (x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m， 得ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即＝2， 解得m＝－32. 思維升華　(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?，加減消參法，平方消參法等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，若x、y有范圍限制，要標(biāo)出x、y的取值范圍． 跟蹤演練2　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值． 解　由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 故直線l的普通方程為x＋2y＝0. 因?yàn)镻為橢圓＋y2＝1上的任意一點(diǎn)， 故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點(diǎn)P到直線l的距離是 d＝＝. 所以當(dāng)θ＝kπ＋，k∈Z時(shí)，d取得最大值. 熱點(diǎn)三　極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等． 例3　(2015課標(biāo)全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，曲線C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值． 解　(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當(dāng)α＝時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4. 思維升華　(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義． (2)解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． 跟蹤演練3　(2015陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程； (2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)． 解　(1)由ρ＝2sin θ， 得ρ2＝2ρsin θ，從而有x2＋y2＝2y， 所以x2＋(y－)2＝3. (2)設(shè)P，又C(0，)， 則|PC|＝ ＝， 故當(dāng)t＝0時(shí)，|PC|取得最小值， 此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0)． 1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)． 解　極坐標(biāo)方程ρcos θ＝4的普通方程為x＝4， 代入 得t＝2，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝8； 當(dāng)t＝－2時(shí)，y＝－8. 兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(4,8)，(4，－8)，從而AB＝16. 2．在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程． 解　由參數(shù)方程消去α得圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 3．已知曲線C：(θ為參數(shù))，直線l：ρ(cos θ－sin θ)＝12. (1)將直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，求P點(diǎn)到直線l的距離的最小值． 解　(1)依題意可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－12＝0，曲線C的普通方程為＋＝1. (2)設(shè)P(3cos θ，sin θ)， 則點(diǎn)P到直線l的距離 d＝＝， 故當(dāng)cos(θ＋)＝1時(shí)，dmin＝3. A組　專題通關(guān) 1．已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4，)，求CP的長(zhǎng)． 解　由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4，∴圓心C(2,0)，又由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4，)可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2)， ∴CP＝＝2. 2．(2015安徽改編)在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝8sin θ上的點(diǎn)到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值． 解　圓ρ＝8sin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直線θ＝(ρ∈R)化為直角坐標(biāo)方程為y＝x，結(jié)合圖形知圓上的點(diǎn)到直線的最大距離可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離再加上半徑． 圓心(0,4)到直線y＝x的距離為＝2，又圓的半徑r＝4，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為6. 3．在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)M(2，－)、N(2,0)、P(2，)． (1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； (2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上． 解　(1)由公式得M的直角坐標(biāo)為(1，－)； N的直角坐標(biāo)為(2,0)；P的直角坐標(biāo)為(3，)． (2)∵kMN＝＝，kNP＝＝. ∴kMN＝kNP，∴M、N、P三點(diǎn)在一條直線上． 4．(2015重慶改編)已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos 2θ＝4，求直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)． 解　直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標(biāo)方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點(diǎn)為(－2,0)，其極坐標(biāo)為(2，π)． 5．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)． 解　直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程是y＝x－4，圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ化為直角坐標(biāo)方程是x2＋y2－4x＝0.圓C的圓心(2,0)到直線x－y－4＝0的距離為d＝＝.又圓C的半徑r＝2，因此直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2＝2. B組　能力提高 6．(2016江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． 解　直線l的方程化為普通方程為x－y－＝0， 橢圓C的方程化為普通方程為x2＋＝1， 聯(lián)立方程組得 解得或 ∴A(1,0)，B. 故AB＝＝. 7．(2015湖南)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA||MB|的值． 解　(1)ρ＝2cos θ等價(jià)于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②式，得t2＋5t＋18＝0. 設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA||MB|＝|t1t2|＝18. 8．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (1)將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)若圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為，求實(shí)數(shù)a的值． 解　(1)由ρ＝4cos， 得ρ＝4cos θ－4sin θ. 即ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ. 由得x2＋y2－4x＋4y＝0， 得(x－2)2＋(y＋2)2＝8. 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝8. (2)直線l的參數(shù)方程可化為y＝2x＋a， 則由圓的半徑為2知，圓心(2，－2)到直線y＝2x＋a的距離恰好為. 所以＝，解得a＝－6.