高考數學三輪增分練 高考小題分項練3 函數的圖象與性質 文

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高考小題分項練3　函數的圖象與性質 1．定義在R上的奇函數f(x)滿足x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)＋(a－1)x＋b(a，b為常數)，若f(2)＝－1，則f(－6)的值為________． 答案　4 解析　由定義在R上的奇函數f(x)， 得f(0)＝0＝1＋b，b＝－1， f(2)＝2＋2(a－1)－1＝－1，a＝0， f(x)＝log2(x＋2)－x－1(x≥0)， f(－6)＝－f(6)＝－3＋6＋1＝4. 2．設函數f(x)＝若f(f())＝4，則b＝________. 答案　 解析　f()＝－b， ①當－b<1，即b>時，f(f())＝f(－b)＝3(－b)－b＝－4b＝4，∴b＝(舍)． ②當－b≥1，即b≤時， f(f())＝f(－b)＝2－b＝4， ∴－b＝2，∴b＝. 3．已知函數f(x)＝ln(2x＋)－，若f(a)＝1，則f(－a)＝______. 答案?。? 解析　因為f(a)＋f(－a)＝＋＝－2， 所以f(－a)＝－2－f(a)＝－2－1＝－3. 4．若函數f(x)＝1＋＋sin x在區(qū)間[－k，k](k>0)上的值域為[m，n]，則m＋n＝______. 答案　4 解析　f(x)＝1＋＋sin x＝1＋2()＋sin x＝3－＋sin x， m＋n＝f(－k)＋f(k) ＝6－2(＋)＋sin(－k)＋sin k＝6－2＝4. 5．若函數f(x)＝ex＋x3－x－1的圖象上有且只有兩點P1，P2，使得函數g(x)＝x3＋的圖象上存在兩點Q1，Q2，且P1與Q1、P2與Q2分別關于坐標原點對稱，則實數m的取值集合是________． 答案　{} 解析　由題意得g(x)＝f(x)有且只有兩個交點，即y＝m與y＝xex－x2－x(x≠0)有兩零點， 因為y′＝(x＋1)ex－x－1＝0?x＝－1，或x＝0，由圖可知m＝－e－1＋時滿足條件． 6．設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)＝2x＋，設g(x)＝若函數y＝g(x)－t有且只有一個零點，則實數t的取值范圍是____________． 答案　[－，] 解析　因為f(x)是定義在R上的奇函數， 所以－f(x)＝f(－x)，則有m＝－1， 所以f(x)＝2x－，可以作出圖象(如圖1)，再由圖象變換可以得到圖2. g(x)＝ “函數y＝g(x)－t有且只有一個零點”等價于“函數y1＝g(x)與函數y2＝t只有一個交點”，數形結合可以得到t∈[－，]． 7．奇函數f(x)、偶函數g(x)的圖象分別如圖1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的實根個數分別為a、b，則a＋b＝________. 答案　10 解析　由圖可知，圖1為f(x)的圖象，圖2為g(x)的圖象，m∈(－2，－1)，n∈(1,2)，∴方程f(g(x))＝0?g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1?x＝－1，x＝1，x＝m，x＝0，x＝n，x＝－2，x＝2，∴方程f(g(x))＝0有7個根，即a＝7；而方程g(f(x))＝0?f(x)＝m或f(x)＝0或f(x)＝n?f(x)＝0?x＝－1，x＝0，x＝1， ∴方程g(f(x))＝0有3個根，即b＝3.∴a＋b＝10. 8．當函數f(x)＝有且只有一個零點時，a的取值范圍是________． 答案　a≤0或a>1 解析　∵f(1)＝lg 1＝0，∴當x≤0時，函數f(x)沒有零點，故－2x＋a>0或－2x＋a<0在(－∞，0]上恒成立，即a>2x，或a<2x在(－∞，0]上恒成立，故a>1或a≤0. 9．函數y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，則＋的最小值為________． 答案　 解析　由題意，得點A(－2，－1)， 故－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2， ∴＋＝＋＝＋＋2＋≥4＋＝，當且僅當m＝n＝時，等號成立． 10．設函數y＝f(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D，當x1＋x2＝2a時，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，則稱點(a，b)為函數y＝f(x)圖象的對稱中心．研究函數f(x)＝x3＋sin x＋1的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到f(－2 015)＋f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝________. 答案　4 031 解析　∵f(x)＝x3＋sin x＋1，∴f′(x)＝3x2＋cos x， f″(x)＝6x－sin x，又∵f″(0)＝0， 而f(x)＋f(－x)＝x3＋sin x＋1－x3－sin x＋1＝2， 函數f(x)＝x3＋sin x＋1圖象的對稱中心的坐標為(0,1)， 即x1＋x2＝0時，總有f(x1)＋f(x2)＝2， ∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝22 015＋f(0)＝4 030＋1＝4 031. 11．已知函數f(x)＝則f(f(－))＝________；f(x)的最小值為________． 答案　1　0 解析　f(f(－))＝f(log33)＝f(1)＝1＋2－2＝1. 當x≥1時，f(x)＝x＋－2≥2－2； 當x<1時，f(x)＝log3(x2＋1)≥0. 故f(x)的最小值為f(0)＝0. 12．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y＝()t－a(a為常數)，如圖所示．據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室．則從藥物釋放開始，至少需要經過________小時后，學生才能回到教室． 答案　0.6 解析　當t＝0.1時，可得1＝()0.1－a， ∴0.1－a＝0，a＝0.1，由題意可得y≤0.25＝， 即()t－0.1≤，即t－0.1≥， 解得t≥0.6，∴至少需要經過0.6小時后，學生才能回到教室． 13．已知函數f(x)的定義域為R，直線x＝1和x＝2是曲線y＝f(x)的對稱軸，且f(0)＝1，則f(4)＋f(10)＝________. 答案　2 解析　∵直線x＝1和x＝2是曲線y＝f(x)的對稱軸， ∴f(2－x)＝f(x)，f(4－x)＝f(x)， ∴f(2－x)＝f(4－x)，∴y＝f(x)的周期T＝2， ∴f(4)＋f(10)＝f(0)＋f(0)＝2. 14．給定方程：()x＋sin x－1＝0，則下列命題中： ①該方程沒有小于0的實數解； ②該方程有無數個實數解； ③該方程在(－∞，0)內有且只有一個實數解； ④若x0是該方程的實數解，則x0>－1. 正確的命題是________． 答案?、冖邰? 解析　對于①，若α是方程()x＋sin x－1＝0的一個解，則滿足()α＝1－sin α，當α為第三、四象限角時，()α>1，此時α<0，因此該方程存在小于0的實數解，故①不正確； 對于②，原方程等價于()x－1＝－sin x， 當x≥0時，－1<()x－1≤0，而函數y＝－sin x的最小值為－1，且有無窮多個x滿足－sin x＝－1， 因此函數y＝()x－1與y＝－sin x的圖象在[0，＋∞)上有無窮多個交點，因此方程()x＋sin x－1＝0有無數個實數解，故②正確； 對于③，當x<0時，由于x≤－1時，()x－1≥1， 函數y＝()x－1與y＝－sin x的圖象不可能有交點， 當－1－1，故④正確． 故答案為②③④.