《高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第31練 直線與圓錐曲線的綜合問題 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第31練 直線與圓錐曲線的綜合問題 文(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第31練 直線與圓錐曲線的綜合問題
[題型分析高考展望] 本部分重點考查直線和圓錐曲線的綜合性問題,從近幾年的高考試題來看,除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外,在選擇題或填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來.本部分的主要特點是運算量大、思維難度較高,但有時靈活地借助幾何性質(zhì)來分析問題可能會收到事半功倍的效果.預(yù)測在今后高考中,主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行命題,有時會與向量的共線、模和數(shù)量積等聯(lián)系起來;對于方程的求解,不要忽視軌跡的求解形式,后面的設(shè)問將是對最值、定值、定點、參數(shù)范圍的考查,探索類和存在性問題考查的概率也很高.
體驗高考
1.(2015江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P,C,若|PC|=2|AB|,求直線AB的方程.
解 (1)由題意,得=且c+=3,
解得a=,c=1,則b=1,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)當(dāng)AB⊥x軸時,AB=,又CP=3,不合題意.
當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為
y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
將AB的方程代入橢圓方程,
得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
則x1,2=,
C的坐標(biāo)為,且
AB==
=.
若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.
從而k≠0,故直線PC的方程為
y+=-,
則P點的坐標(biāo)為,
從而PC=.因為|PC|=2|AB|,
所以=,解得k=1.
此時直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.
2.(2016浙江)如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.
(1)求p的值;
(2)若直線AF交拋物線于另一點B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N,AN與x軸交于點M,求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.
解 (1)由題意可得,拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=-1的距離,由拋物線的定義得=1,
即p=2.
(2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(xiàn)(1,0),
可設(shè)A(t2,2t),t≠0,t≠1.
因為AF不垂直于y軸,
可設(shè)直線AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0.
故y1y2=-4,所以B.
又直線AB的斜率為,
故直線FN的斜率為-,
從而得直線FN:y=-(x-1),
直線BN:y=-.
所以N.
設(shè)M(m,0),由A,M,N三點共線得=,
于是m=,所以m<0或m>2.
經(jīng)檢驗,m<0或m>2滿足題意.
綜上,點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).
3.(2016四川)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA||MB|=|MC||MD|.
(1)解 由已知,得a=2b,
又橢圓+=1(a>b>0)過點P,故+=1,解得b2=1.所以橢圓E的方程是+y2=1.
(2)證明 設(shè)直線l的方程為y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程組得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判別式為Δ=4m2-4(2m2-2),由Δ>0,
即2-m2>0,解得-
0),其離心率為.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若直線l過點P(0,4),則直線l何時與橢圓M相交?
解 (1)因為橢圓M的離心率為,
所以=2,得b2=2.
所以橢圓M的方程為+=1.
(2)①過點P(0,4)的直線l垂直于x軸時,直線l與橢圓M相交.
②過點P(0,4)的直線l與x軸不垂直時,可設(shè)直線l的方程為y=kx+4.由消去y,
得(1+2k2)x2+16kx+28=0.
因為直線l與橢圓M相交,
所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)28=16(2k2-7)>0,
解得k<-或k>.
綜上,當(dāng)直線l垂直于x軸或直線l的斜率的取值范圍為∪時,
直線l與橢圓M相交.
點評 對于求過定點的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,一是利用方程的根的判別式來確定,但一定要注意,利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為零;二是利用圖形來處理和理解;三是直線過定點位置不同,導(dǎo)致直線與圓錐曲線的位置關(guān)系也不同.
變式訓(xùn)練1 (2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>0),點O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(a,0),點B的坐標(biāo)為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為.
(1)求橢圓E的離心率e;
(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點,點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為,求E的方程.
解 (1)由題設(shè)條件知,點M的坐標(biāo)為,
又kOM=,從而=,
進(jìn)而得a=b,c==2b,故e==.
(2)由題設(shè)條件和(1)的計算結(jié)果可得,直線AB的方程為+=1,點N的坐標(biāo)為.
設(shè)點N關(guān)于直線AB的對稱點S的坐標(biāo)為,
則線段NS的中點T的坐標(biāo)為.
又點T在直線AB上,且kNSkAB=-1,
從而有解得b=3.
所以a=3,故橢圓E的方程為+=1.
題型二 直線與圓錐曲線的弦的問題
例2 已知橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0),過點E(,0)的直線與橢圓相交于A,B兩點,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求橢圓的離心率;
(2)求直線AB的斜率.
解 (1)由F1A∥F2B,且|F1A|=2|F2B|,
得==,
從而=,
整理,得a2=3c2,故離心率e=.
(2)由(1)得b2=a2-c2=2c2,
所以橢圓的方程可寫為2x2+3y2=6c2,
設(shè)直線AB的方程為y=k(x-),即y=k(x-3c).
由已知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0,
依題意,Δ=48c2(1-3k2)>0,
得-b>0)的左,右焦點,過F1且斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)設(shè)點P(0,-1)滿足|PA|=|PB|,求橢圓E的方程.
解 (1)由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a,
l的方程為y=x+c,其中c=.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y,化簡得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,則x1+x2=,x1x2=.
因為直線AB的斜率為1,所以|AB|=|x2-x1|=,即a=,故a2=2b2,
所以E的離心率e===.
(2)設(shè)AB的中點為N(x0,y0),由(1)知
x0===-,y0=x0+c=.
由|PA|=|PB|,得kPN=-1,即=-1,
得c=3,從而a=3,b=3.
故橢圓E的方程為+=1.
高考題型精練
1.(2015北京)已知橢圓C:x2+3y2=3,過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點,直線AE與直線x=3交于點M.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;
(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說明理由.
解 (1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1,
所以a=,b=1,c=.
所以橢圓C的離心率e==.
(2)因為AB過點D(1,0)且垂直于x軸,
所以可設(shè)A(1,y1),B(1,-y1),
直線AE的方程為y-1=(1-y1)(x-2),
令x=3,得M(3,2-y1),
所以直線BM的斜率kBM==1.
(3)直線BM與直線DE平行,證明如下:
當(dāng)直線AB的斜率不存在時,
由(2)可知kBM=1.
又因為直線DE的斜率kDE==1,
所以BM∥DE,
當(dāng)直線AB的斜率存在時,
設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠1),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則直線AE的方程為y-1=(x-2).
令x=3,得點M,
由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
直線BM的斜率kBM=,
因為kBM-1
=
=
==0,
所以kBM=1=kDE.
所以BM∥DE,
綜上可知,直線BM與直線DE平行.
2.(2016課標(biāo)全國甲)已知A是橢圓E:+=1的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.
(1)當(dāng)|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;
(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時,證明:0,由|AM|=|AN|及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為.
又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.
將x=y(tǒng)-2代入+=1得7y2-12y=0,
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面積S△AMN=2=.
(2)證明 將直線AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
由x1(-2)=得x1=,
故|AM|=|x1+2|=.
由題設(shè),直線AN的方程為y=-(x+2),
故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|,得=,
即4k3-6k2+3k-8=0,
設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點,
f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,
所以f(t)在(0,+∞)單調(diào)遞增,
又f()=15-26<0,f(2)=6>0,
因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零點,
且零點k在(,2)內(nèi),
所以0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;
(3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF||BF|的最小值.
解 (1)依題意知=,c>0,解得c=1.
所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)由y=x2得y′=x,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0,
又點P(x0,y0)在切線PA和PB上,
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,
所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0 的兩組解,所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.
(3)由拋物線定義知|AF|=y(tǒng)1+1,|BF|=y(tǒng)2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y(tǒng)1y2+(y1+y2)+1,
聯(lián)立方程
消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,
所以y1+y2=x-2y0,y1y2=y(tǒng),
所以|AF||BF|=y(tǒng)1y2+(y1+y2)+1
=y(tǒng)+x-2y0+1
=y(tǒng)+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5
=22+,
所以當(dāng)y0=-時,
|AF||BF|取得最小值,且最小值為.
4.已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的右頂點為A(1,0),過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點P處的切線與C1交于點M,N.當(dāng)線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時,求h的最小值.
解 (1)由題意,得從而
因此,橢圓C1的方程為+x2=1.
(2)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),
則拋物線C2在點P處的切線斜率為y′.
直線MN的方程為y=2tx-t2+h.
將上式代入橢圓C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,即4(1+t2)x2-4t(t2-h(huán))x+(t2-h(huán))2-4=0. ①
因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點,
所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h(huán)2+4]>0. ②
設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是x3,
則x3==.
設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是x4,則x4=.
由題意,得x3=x4,
即t2+(1+h)t+1=0. ③
由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1,或h≤-3.
當(dāng)h≤-3時,h+2<0,4-h(huán)2<0,
則不等式②不成立,所以h≥1.
當(dāng)h=1時,代入方程③得t=-1,
將h=1,t=-1代入不等式②,檢驗成立.
所以,h的最小值為1.
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