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高考小題分項(xiàng)練2 不等式
1.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x對(duì)任意x都成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案 (-2,2]
解析 原不等式等價(jià)于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,
①當(dāng)m=2時(shí),對(duì)任意x不等式都成立;
②當(dāng)m-2<0時(shí),Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,
∴-2
0,b>0)的最大值為8,則ab的最大值為________.
答案
解析 由約束條件作出可行域如圖(含邊界).
聯(lián)立解得B(,).
化z=ax+by為y=-x+,由圖可知,當(dāng)直線y=-x+過點(diǎn)B時(shí),直線在y軸上的截距最大,z最大.此時(shí)z=a+b=8,即3a+14b=20.
∵a>0,b>0,∴20=3a+14b≥2,即ab≤.
∴ab的最大值為.
5.已知變量x,y滿足約束條件若≤,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
答案 [0,1]
解析 表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)A(2,0)連線的斜率k,由圖易觀察到BC與y軸重合時(shí),|k|≤kAC=,
當(dāng)BC向右移動(dòng)時(shí),|k|≤kAC<.
綜上,a∈[0,1].
6.已知直線ax+by=1經(jīng)過點(diǎn)(1,2),則2a+4b的最小值為________.
答案 2
解析 ∵直線ax+by=1經(jīng)過點(diǎn)(1,2),所以a+2b=1,
則2a+4b=2a+22b≥2=2=2.
7.已知對(duì)滿足x+y+4=2xy的任意正實(shí)數(shù)x,y,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
答案 (-∞,]
解析 x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0?a≤(x+y)+,而x+y+4=2xy≤2()2?x+y≥4(負(fù)舍),因此(x+y)+∈[,+∞),即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,].
8.設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域,圓C:(x-5)2+y2=1上的點(diǎn)與區(qū)域D上的點(diǎn)之間的距離的取值范圍為____________.
答案 [-1,+1]
解析 首先求解平面區(qū)域的頂點(diǎn),確定各頂點(diǎn)到圓心的距離d=,最后求出最小距離減半徑和最大距離加半徑,即為所求范圍.
交點(diǎn)
(0,0)
(0,3)
(1,1)
距離d
5
故所求范圍為[-1,+1].
9.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足+=3,則(a+1)(b+2)的最小值是________.
答案
解析 ∵正實(shí)數(shù)a,b滿足+=3,
∴3=+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=時(shí)取等號(hào),∴≥,∴ab≥.
∵+=3,∴2a+b=3ab,
∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2
≥4+2=,
∴(a+1)(b+2)的最小值是.
10.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足-y2=1,則3x2-2xy的最小值是______.
答案 6+4
解析 令+y=t,則-y=,
所以
則3x2-2xy=6+2t2+≥6+4.
11.已知a>0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a=________.
答案
解析 畫出可行域如圖(含邊界):
當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),z最小,
由得
代入直線y=a(x-3),得a=.
12.如圖,矩形ABCD的邊AB在x軸上,頂點(diǎn)C,D在函數(shù)y=x+(x>0)的圖象上.記AB=m,BC=n,則的最大值為________.
答案
解析 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則由y1=y(tǒng)2,
得x1+=x2+,因?yàn)閤1≠x2,所以x1x2=1,
因此==
=≤=.
其中t=x2->0,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào).
13.已知函數(shù)f(x)=則不等式f(f(x))≤3的解集為__________.
答案 (-∞,]
解析 由題意得f(f(x))≤3?f(x)≥0或?f(x)≥-3?x<0或 ?x≤.
14.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,已知點(diǎn)O(0,0),A(1,0),點(diǎn)M是D上的動(dòng)點(diǎn),=λ||,則λ的最大值為________.
答案
解析 作可行域如圖陰影部分(含邊界):
由題意知:B(,1),C(,2).
所以∈[,].
設(shè)M(x,y),由=λ||得:x=λ,
所以λ==∈[,],
即λ的最大值為=.
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