七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 3 一元一次方程教案 （新版）新人教版

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第三章　一元一次方程 1.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念. 2.掌握等式的基本性質(zhì). 3.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的解是否合理. 4.了解方程的基本變形及其在解方程中的作用. 5.會(huì)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程并求解,能根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理. 1.會(huì)解一元一次方程,并經(jīng)歷和體會(huì)解方程中“轉(zhuǎn)化”的過程和思想.了解一元一次方程解法的一般步驟,并能正確、靈活應(yīng)用. 2.通過實(shí)踐與探索,經(jīng)歷“問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解答——應(yīng)用與拓展”的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想,提高分析和解決實(shí)際問題的能力. 3.鼓勵(lì)學(xué)生通過“嘗試——猜想——驗(yàn)證”的方法學(xué)習(xí)、理解知識(shí),體會(huì)和經(jīng)歷科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程,在探索方程的解的過程中滲透變量和函數(shù)思想. 1.經(jīng)歷根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程的過程,體會(huì)并認(rèn)識(shí)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型. 2.在學(xué)習(xí)和探索一元一次方程的解法和應(yīng)用的過程中,通過自主學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)能力,增強(qiáng)合作意識(shí). 1.方程和方程組是“數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容之一,一元一次方程是最簡單、最基本的代數(shù)方程,它不僅在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用,而且是學(xué)習(xí)二元一次方程組、一元二次方程、分式方程以及其他后繼內(nèi)容的基礎(chǔ).與一元一次方程有關(guān)的一些概念,如方程的解、解方程等又是代數(shù)方程中具有共性的重要概念,等式的基本性質(zhì)是代數(shù)方程進(jìn)行同解變形并最后求出原方程解的重要依據(jù).所以本章內(nèi)容無論從實(shí)踐上還是從進(jìn)一步學(xué)習(xí)上看,都是有重要地位的.列一元一次方程解應(yīng)用題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的方程思想和建模能力,發(fā)展數(shù)感、符號(hào)感,提高分析問題、解決問題能力有不可替代的作用. 2.以實(shí)際問題為主線引入方程和方程的解的概念,改變傳統(tǒng)教材過于注重較為完整的概念體系而與實(shí)際脫節(jié)的現(xiàn)象,破除陳舊、煩瑣的模式訓(xùn)練.在實(shí)際問題的應(yīng)用中,強(qiáng)調(diào)對(duì)具體內(nèi)容的分析,滲透數(shù)學(xué)建模思想,教材注重實(shí)際意義,選用貼近學(xué)生生活、具有現(xiàn)代氣息的例題、習(xí)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生體會(huì)方程在現(xiàn)實(shí)世界中的作用. 3.淡化概念的形式化敘述,刪繁就簡.注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透,重視學(xué)生能力的培養(yǎng). 讓學(xué)生參與知識(shí)的形成過程,改變傳統(tǒng)教材“給出法則,讓學(xué)生模仿練習(xí)”的框架,在解方程的教學(xué)中打破常規(guī),在學(xué)生理解方程的簡單變形及其合理性的基礎(chǔ)上,鼓勵(lì)學(xué)生自行探索,掌握解一元一次方程的一般步驟. 4.在體現(xiàn)“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”方面,教材注意留有較大的彈性,以適應(yīng)不同學(xué)生的需要.除了在練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)題中設(shè)置不同要求的問題外,對(duì)大多數(shù)例題和部分習(xí)題均有一定的拓展、探索余地,提出不同的問題供學(xué)生思考. 【重點(diǎn)】 1.理解和掌握一元一次方程的解法. 2.能利用一元一次方程解應(yīng)用題. 【難點(diǎn)】 1.能熟練地解一元一次方程. 2.正確地找出應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系,正確地列方程并求解. 1.在學(xué)習(xí)一元一次方程的定義的過程中,要注意聯(lián)系實(shí)際,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,可以根據(jù)地方特點(diǎn)和學(xué)生情況,適當(dāng)補(bǔ)充一些學(xué)生感興趣的素材,并采用開放的教學(xué)方式,可以引導(dǎo)學(xué)生初步比較算術(shù)解法與方程解法在分析數(shù)量關(guān)系上的區(qū)別,體會(huì)設(shè)元以后在思維、列式上直接、明了的優(yōu)點(diǎn),但不要“注入式”地告訴學(xué)生. 2.利用等式的基本性質(zhì),有目的、有根據(jù)地對(duì)等式進(jìn)行變形是解一元一次方程的一般方法.教學(xué)時(shí),可引導(dǎo)學(xué)生分析下一步應(yīng)該對(duì)方程實(shí)施怎樣的變形,變形的依據(jù)是什么. 3.教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生選擇合理的步驟,鼓勵(lì)解法的多樣化,習(xí)題的數(shù)量以及難度應(yīng)控制在與教材相當(dāng)?shù)乃? 4.對(duì)于運(yùn)用方程解決實(shí)際問題,要把教學(xué)重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生分析和理解題意上,要使學(xué)生做到:借助圖表整體把握和分析題意;從多角度思考問題,尋找等量關(guān)系;選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),列出方程;理解列方程所依據(jù)的等量關(guān)系以及會(huì)解釋方程中每個(gè)代數(shù)式的意義,注意檢驗(yàn)方程解的合理性. 總之,教師應(yīng)千方百計(jì)地通過各種方式、手段來激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng),使他們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中積極思考、肯動(dòng)腦筋、大膽探索.教師在教學(xué)中要把重點(diǎn)放在揭示知識(shí)形成的過程上,充分暴露知識(shí)的形成過程,讓學(xué)生通過“感知——概括——應(yīng)用”的思維過程去發(fā)現(xiàn)、掌握規(guī)律,使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中發(fā)展思維,達(dá)到既增長知識(shí),又培養(yǎng)能力的目的. 3.1從算式到方程 3.1.1 一元一次方程(1課時(shí)) 3.1.2等式的性質(zhì)(1課時(shí)) 2課時(shí) 3.2解一元一次方程(一)——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng) 2課時(shí) 3.3解一元一次方程(二)——去括號(hào)與去分母 2課時(shí) 3.4實(shí)際問題與一元一次方程 4課時(shí) 單元復(fù)習(xí) 1課時(shí) 3.1　從算式到方程 1.理解和掌握一元一次方程的定義. 2.能判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解. 3.明確方程和等式的關(guān)系. 4.理解和掌握等式的基本性質(zhì). 5.能應(yīng)用等式的基本性質(zhì)解簡單的一元一次方程. 1.能根據(jù)問題的數(shù)量關(guān)系列方程. 2.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 1.體會(huì)一元一次方程作為從實(shí)際問題中抽象出的數(shù)學(xué)模型所帶來的方便. 2.感受數(shù)學(xué)源于生活,又應(yīng)用于生活. 【重點(diǎn)】 1.能根據(jù)實(shí)際問題列簡單的方程. 2.能利用等式的基本性質(zhì)解簡單的一元一次方程. 【難點(diǎn)】　從應(yīng)用題中找相等關(guān)系列方程. 3.1.1　一元一次方程 1.初步學(xué)會(huì)尋找問題中的相等關(guān)系,列出方程,了解方程的概念. 2.理解一元一次方程、方程的解的概念. 3.掌握檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)值是不是方程的解的方法. 4.培養(yǎng)學(xué)生獲取信息的能力. 1.通過處理實(shí)際問題,讓學(xué)生體驗(yàn)從算術(shù)方法到代數(shù)方法的一種進(jìn)步. 2.培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問題尋找相等關(guān)系,根據(jù)相等關(guān)系列出方程的能力. 1.培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、熱愛生活的樂觀人生態(tài)度. 2.培養(yǎng)學(xué)生求實(shí)的態(tài)度和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 【重點(diǎn)】 1.了解一元一次方程及相關(guān)概念. 2.尋找相等關(guān)系,列出方程. 【難點(diǎn)】　尋找問題中的相等關(guān)系,正確地列出方程. 【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件(1,2,3,4,5). 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的方程. 導(dǎo)入一: 一輛客車和一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛,客車的行駛速度是70 km/h,卡車的行駛速度是60 km/h,客車比卡車早1 h經(jīng)過B地.A,B兩地間的路程是多少? 你會(huì)用算術(shù)方法解決這個(gè)問題嗎? [設(shè)計(jì)意圖]　通過問題與生活情境的引入,激發(fā)學(xué)生的探究欲望與學(xué)習(xí)熱情. 導(dǎo)入二: 變魔術(shù)好玩嗎?那我們現(xiàn)在就來試一下:請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上寫下一個(gè)數(shù),不要說出來,按照老師說的繼續(xù)做下去,將你剛才寫出來的數(shù)乘2,再加上4,再除以2,再減去3.好了,現(xiàn)在將你的結(jié)果告訴我,我就能說出你開始的時(shí)候在練習(xí)本上寫下的數(shù),神奇嗎?學(xué)習(xí)了本節(jié)課的內(nèi)容之后,同學(xué)們一定就可以明白其中的奧秘了! [設(shè)計(jì)意圖]　通過這個(gè)情境的設(shè)計(jì),讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的神奇,從而激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,調(diào)節(jié)了課堂氣氛. 導(dǎo)入三: 卡片顯示,觀察卡片上的式子,你能填上適當(dāng)?shù)臄?shù)嗎?卡片上式子分別為:3+□=8,○-2=7,5?=1,△2=3,. 學(xué)生先獨(dú)立思考,然后同桌之間互相交流. [設(shè)計(jì)意圖]　由最簡單的題目導(dǎo)入,消除學(xué)生的心理障礙,體現(xiàn)面向全體學(xué)生的課標(biāo)意識(shí),增加趣味性,調(diào)節(jié)課堂氣氛. 活動(dòng)1:問題探究 　　[過渡語]　通過大家的交流,可以發(fā)現(xiàn)有的問題用算術(shù)方法解決非常困難,那么我們能否用方程的知識(shí)來解決這些問題呢? 思路一 【課件1】　出示教材第78頁問題,提出問題: 【問題1】　路程、時(shí)間、速度三者之間的關(guān)系如何? 在勻速運(yùn)動(dòng)過程中,時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系是時(shí)間=. 【問題2】　用列表的方法找等量關(guān)系,如果設(shè)A,B兩地間的路程為x km,請(qǐng)你完成下面的表格: 路程/km 速度/(km/h) 時(shí)間/h 客車 卡車 　　【問題3】　請(qǐng)找出等量關(guān)系,列出方程. 設(shè)A,B兩地間的路程是x km根據(jù)客車比卡車早1 h經(jīng)過B地,可得方程-=1. 【教師說明】　我們知道方程是含有未知數(shù)的等式.通過本章的學(xué)習(xí),我們將能夠從上述的方程解出未知數(shù)的值x=420,從而求出A,B兩地間的路程是420 km. 通常情況下,用x,y,z等字母表示未知數(shù),法國數(shù)學(xué)家笛卡兒是最早這樣做的人,我國古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知數(shù). [知識(shí)拓展]　(1)方程中未知數(shù)的表示可以使用字母x,也可以使用其他一些字母,如y,z等.通常用字母a,b,c表示已知數(shù).(2)方程中未知數(shù)可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上,如x+y=12,2x-y=z+1等.(3)方程都是等式,但等式不一定是方程,如2+4=6. [設(shè)計(jì)意圖]　通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生的討論、交流,發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 思路二 1.定義方程,回顧舉例. 師:大家知道什么叫方程嗎? 生:含有未知數(shù)的等式叫做方程. 師:你能舉出一些方程的例子嗎? 學(xué)生舉例,教師總結(jié). 【課件2】　判斷下列式子是不是方程. (1)1+2=3;　(2)x+2>1;　(3)1+2x=4; (4)x+y=2;　(5)x2-1;　(6)x2=x+2; (7) x+3-5;　(8)x=8. 2.根據(jù)題意列方程. 【課件3】　一輛客車和一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛,客車的行駛速度是70 km/h,卡車的行駛速度是60 km/h,客車比卡車早1 h 經(jīng)過B地.A,B兩地間的路程是多少? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生分組活動(dòng),討論看能否用算術(shù)方法解,交流后考慮用方程如何解決,最后小組內(nèi)同學(xué)交流.教師可以參與到學(xué)生中去,要關(guān)注學(xué)生解決問題的思路.在用算術(shù)法解時(shí),是否遇到了麻煩?用方程可以輕松解決嗎?讓學(xué)生感受方程在解決實(shí)際問題時(shí)的優(yōu)勢(shì). 解:設(shè)A,B兩地間的路程是x km,根據(jù)客車比卡車早1 h經(jīng)過B地,可得方程 - =1. 【建議】　在這一過程中,教師還應(yīng)當(dāng)注意培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力,可以讓他們進(jìn)行小組間的交流,也可以根據(jù)題意畫一個(gè)表格討論,看一看各小組所列的方程是否一致,以開拓學(xué)生的思路,從而掌握更多的解題方法. 【設(shè)計(jì)意圖】　通過對(duì)列方程解決問題的學(xué)習(xí),使學(xué)生感受方程方法和算術(shù)方法之間的差異,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程做準(zhǔn)備. 活動(dòng)2:歸納列方程的步驟 思路一 　　[過渡語]　剛才通過問題的探討,我們找到了解決實(shí)際問題最好的方法.那么用方程解決實(shí)際問題有哪些步驟呢? 學(xué)生先說一說,然后教師歸納列方程解決實(shí)際問題的兩個(gè)步驟: (1)用字母表示問題中的未知數(shù)(通常用x,y,z等字母表示); (2)根據(jù)問題中的相等關(guān)系,列出方程. 【比較】　比較列算式和列方程兩種方式的特點(diǎn),建議用小組討論的方式進(jìn)行,可以把學(xué)生分成兩部分分別歸納兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn),也可以每個(gè)小組同時(shí)討論兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn),然后向全班匯報(bào). 列算式:只用已知數(shù)表示計(jì)算程序,依據(jù)是問題中的數(shù)量關(guān)系; 列方程:可用未知數(shù)表示相等關(guān)系,依據(jù)是問題中的等量關(guān)系. 【思考】　對(duì)于上面的問題,你還能列出其他方程嗎?如果能,你依據(jù)的是哪個(gè)等量關(guān)系? 可考慮按以下的順序進(jìn)行:(1)學(xué)生獨(dú)立思考;(2)小組合作交流;(3)全班交流. 【試一試】 【課件4】　小雨、小思的年齡和是25歲.小雨年齡的2倍比小思的年齡大8歲,小雨、小思的年齡各是幾歲? 如果設(shè)小雨的年齡為x歲,你能用不同的方法表示小思的年齡嗎? 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師加以引導(dǎo):小思的年齡可以用兩個(gè)不同的式子25-x和2x-8來表示,這說明許多實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系可以用含字母的式子來表示,由于這兩個(gè)不同的式子表示的是同一個(gè)量,因此我們又可以得到25-x=2x-8.這樣就得到了一個(gè)方程. [設(shè)計(jì)意圖]　通過對(duì)問題解決方法的學(xué)習(xí),進(jìn)一步使學(xué)生感受列方程的一般步驟,即先找等量關(guān)系,再列方程. 思路二 【問題1】　你能談?wù)劻蟹匠踢^程中的思路和方法嗎?你是怎樣一步步列出方程的? 學(xué)生討論交流,然后回答. 【問題2】　算術(shù)法和方程法有什么不同?你能談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí)嗎? 兩種方法的比較: 從形式上看:算術(shù)法與方程法有什么不同的情況出現(xiàn)? 從思路上看:剛才做題的想法有什么不同? (教師根據(jù)學(xué)生口述列表,便于比較) 用方程解 用算術(shù)方法解 形式上:未知數(shù)用字母表示,參加列式; 思路上:根據(jù)題意找出數(shù)量間的相等關(guān)系,列出含有未知數(shù)的等式 形式上:未知數(shù)不參加列式; 思路上:根據(jù)題中已知數(shù)和未知數(shù)間的關(guān)系,確定解答步驟,再列式計(jì)算 　　【強(qiáng)調(diào)】　在兩個(gè)方面的區(qū)別中,未知數(shù)能不能參加列式?jīng)Q定了怎樣分析,并且決定了列式的不同特點(diǎn). 學(xué)生討論交流后回答時(shí),教師不必苛求學(xué)生回答得很全面,只要學(xué)生能談出一兩點(diǎn)體會(huì),教師都應(yīng)當(dāng)加以鼓勵(lì). [設(shè)計(jì)意圖]　通過對(duì)思路的歸納、總結(jié),使學(xué)生感受列方程的一般過程和思路,體驗(yàn)列方程的過程,培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力. 活動(dòng)3:學(xué)習(xí)一元一次方程的概念 　　[過渡語]　用方程解應(yīng)用題,最重要的就是要找到題目中的數(shù)量關(guān)系,然后再列方程.首先我們來看下面的問題. 思路一 【課件5】　(教材例1)根據(jù)下列問題,設(shè)未知數(shù)并列出方程: (1)用一根長24 cm的鐵絲圍成一個(gè)正方形,正方形的邊長是多少? (2)一臺(tái)計(jì)算機(jī)已使用1700 h,預(yù)計(jì)每月再使用150 h,經(jīng)過多少月這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2450 h? (3)某校女生占全體學(xué)生數(shù)的52%,比男生多80人,這個(gè)學(xué)校有多少學(xué)生? 對(duì)于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生,教師可以做如下提示: (1)選擇一個(gè)未知數(shù),設(shè)為x. (2)對(duì)于這三個(gè)問題,分別考慮: 用含x的式子表示正方形的周長; 用含x的式子表示這臺(tái)計(jì)算機(jī)x個(gè)月的使用時(shí)間; 用含x的式子分別表示男生和女生的人數(shù). (3)找到問題中的相等關(guān)系列出方程. 讓學(xué)生觀察并討論所列方程等號(hào)兩邊式子的關(guān)系,教師歸納: (1)方程等號(hào)兩邊表示的是同一個(gè)量; (2)左右兩邊表示的方法不同. 簡單地說:列方程就是用兩種不同的方法表示同一個(gè)量. 【問題1】　以上各題,你能用兩種不同的方法來表示另一個(gè)量,再列出方程嗎? 【師生活動(dòng)】　讓學(xué)生小組討論,然后分組匯報(bào)交流. 解題過程略. [設(shè)計(jì)意圖]　通過學(xué)生的自主嘗試,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探究欲望,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和分析、解決問題的能力. 【問題2】　上述方程具有什么樣的特點(diǎn)? 【師生活動(dòng)】　在學(xué)生觀察、討論上述方程的基礎(chǔ)上,教師進(jìn)行歸納:各方程都只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號(hào)兩邊都是整式,這樣的方程叫做一元一次方程. “一元”:一個(gè)未知數(shù). “一次”:未知數(shù)的次數(shù)是1. [知識(shí)拓展]　在判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程時(shí),要注意:①必須含有一個(gè)未知數(shù);②未知數(shù)的次數(shù)是1;③分母中不含有未知數(shù).如果方程不是最簡形式,先變形,化成最簡形式后再判斷. 　　[過渡語]　列出方程后,還必須解這個(gè)方程,求出未知數(shù)的值,對(duì)于簡單的方程,我們可以采用估算的方法. 【問題3】　你認(rèn)為該怎樣進(jìn)行估算? 【師生活動(dòng)】　可以采用“嘗試——發(fā)現(xiàn)——?dú)w納”的方法:讓學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn),要求出答案必須用一些具體的數(shù)值代入,看方程是否成立,最后教師進(jìn)行歸納. 可以用列表的方法進(jìn)行嘗試,也可以像下面那樣按程序進(jìn)行嘗試. 在此基礎(chǔ)上給出概念:解方程就是求出使方程等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值,這個(gè)值就是方程的解.求方程解的過程,叫做解方程. 一般地,要檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)值是不是方程的解,可以用這個(gè)值代替未知數(shù)代入方程,看方程左右兩邊是否相等. [知識(shí)拓展]　(1)判斷一個(gè)數(shù)是不是方程的解,可把這個(gè)數(shù)代入方程的兩邊,若方程的兩邊相等,則該數(shù)是方程的解;反之,則不是方程的解.(2)方程的解與解方程是兩個(gè)不同的概念,方程的解是一個(gè)結(jié)果,是具體的數(shù)值,而解方程是一個(gè)變形的過程 . [設(shè)計(jì)意圖]　通過學(xué)生的討論、交流與歸納,得出一元一次方程的概念,使學(xué)生感受列方程的過程,樹立建模思想. 思路二 【課件5】　教師出示教材例1. 【師生活動(dòng)】　學(xué)生分組交流討論完成,教師巡視,教師在這一過程中應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生能否恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù),能否根據(jù)題意正確找出等量關(guān)系列出方程,必要時(shí)教師可參與到小組當(dāng)中,和學(xué)生一起探討交流,也可以給學(xué)生適當(dāng)?shù)奶崾九c點(diǎn)撥. 師:像上邊這樣的方程,你能給它起一個(gè)名字嗎?你是從哪個(gè)角度給它命名的? 學(xué)生閱讀教材,體驗(yàn)方程的命名方式,并說一說什么是一元一次方程. 教師進(jìn)一步提出問題:想一想,以上幾個(gè)問題你是怎樣列出方程的?可以把你的思路過程表示出來嗎? 【歸納】　分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系,利用其中的相等關(guān)系列出方程是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的一種方法. 實(shí)際問題一元一次方程 對(duì)于問題(1),我們已經(jīng)列出方程,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=6時(shí),4x的值是24,這時(shí)方程4x=24的兩邊相等,則x=6叫做方程4x=24的解. 師:解方程就是求出使方程等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值,這個(gè)值就是方程的解.你能求出1700+150x= 2450的解嗎? 我們可以根據(jù)下面的流程圖求解,給x一個(gè)值,代入方程,看一看方程兩邊是否相等,不相等再換一個(gè)試一試,依次進(jìn)行下去,直到找到方程的解為止. 【思考】　這里是不是單純盲目地去“碰”呢?師生討論解決. [設(shè)計(jì)意圖]　通過對(duì)列方程的思路的進(jìn)一步學(xué)習(xí),使學(xué)生掌握列方程的一般步驟,培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力,能夠根據(jù)所列方程認(rèn)識(shí)一元一次方程的有關(guān)概念. 1.方程. 準(zhǔn)確把握方程的兩個(gè)條件:一、必須含有未知數(shù);二、必須是等式.兩者缺一不可. 2.一元一次方程. 從三個(gè)方面理解一元一次方程的概念:一、一元一次方程首先屬于整式方程,即方程兩邊不含分母,或雖含分母,但分母中不能有未知數(shù).二、一元,即方程中只含有一個(gè)未知數(shù),此未知數(shù)可以出現(xiàn)多次,但只能是同一未知數(shù),同一個(gè)方程中不能出現(xiàn)兩個(gè)不同的未知數(shù).三、一次,未知數(shù)的次數(shù)是一次,指的是化為一般形式ax+b=0(a≠0)后,未知數(shù)的次數(shù)是一次. 3.方程的解和解方程. 這是兩個(gè)不同的概念,方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,具有名詞性,而解方程是求方程解的過程,具有動(dòng)詞性. 1.在下列式子:①2x-1;②2x+1=3x;③|π-3|=π-3;④t+1=3中,等式有　　　　,方程有　　　　.(填入式子的序號(hào)) 解析:一元一次方程必須滿足三個(gè)條件:(1)未知數(shù)的次數(shù)是1;(2)是整式方程;(3)只含有一個(gè)未知數(shù).等式有②③④,方程有②④. 答案:②③④　②④ 2.根據(jù)“x的2倍與5的和比x的小10”可列方程為　　　　. 解析:由題意列方程為2x+5=-10.故填2x+5=-10. 3.x=2是下列方程的解嗎? (1)3x+(10-x)=20;　　(2)2x2+6=7x. 解析:把x=2代入上述方程,看等號(hào)左右兩邊是否相等. 解:(1)x=2不是3x+(10-x)=20的解. (2)x=2是方程2x2+6=7x的解. 3.1.1　一元一次方程 活動(dòng)1:問題探究 方程的定義 活動(dòng)2:歸納列方程的步驟 活動(dòng)3:學(xué)習(xí)一元一次方程的概念 例1 一元一次方程 一元一次方程的解 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第80頁練習(xí). 【選做題】 教材第83頁習(xí)題3.1第1,2,3題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列式子是方程的有 (　　) 35+24=59;3x-18>33;2x-5=0;+15=0. A .1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2.小明準(zhǔn)備為希望工程捐款,他現(xiàn)在有20元,以后每月打算存 10元,若設(shè)x月后他能捐出100元,則下列方程中能正確計(jì)算出x的是 (　　) A.10x+20=100 B.10x-20=100 C.20-10x=100 D.20x+10=100 3.小悅買書需用48元錢,付款時(shí)恰好用了1元和5元的紙幣共12張,設(shè)所用的1元紙幣為x張,根據(jù)題意,下面所列方程正確的是 (　　) A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48 C.x+12(x-5)=48 D.5x+(12-x)=48 4.檢驗(yàn)下列各小題后面括號(hào)里的數(shù)是不是它前面方程的解. (1)3y-1=2y+1(y=2;y=4); (2)3(x+1)=2x-1(x=2;x=-4). 【能力提升】 5.希望中學(xué)九年級(jí)(1)班共有學(xué)生49人,當(dāng)該班少一名男生時(shí),男生的人數(shù)恰好為女生人數(shù)的一半.設(shè)該班有男生x人,則下列方程中正確的是 (　　) A.2(x-1)+x=49 B.2(x+1)+x=49 C.x-1+2x=49 D.x+1+2x=49 6.甲、乙兩數(shù)的和為10,且甲數(shù)比乙數(shù)大2,求甲、乙兩數(shù),正確的方程是 (　　) A.設(shè)乙數(shù)為x,則(x+2)+x=10 B.設(shè)乙數(shù)為x,則(x-2)+x=10 C.設(shè)甲數(shù)為x,則(x+2)+x=10 D.設(shè)甲數(shù)為x,則x-2=10 7.為創(chuàng)建園林城市,某城市將對(duì)城區(qū)主干道進(jìn)行綠化,計(jì)劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹,要求路的兩端各栽一棵,并且每兩棵樹的間隔相等.如果每隔6米栽1棵,則樹苗缺22棵;如果每隔7米栽1棵,則樹苗正好用完.設(shè)原有樹苗x棵,則根據(jù)題意列出方程正確的是 (　　) A.6(x+22)=7(x-1) B.6(x+22-1)=7(x-1) C.6(x+22-1)=7x D.6(x+22)=7x 【拓展探究】 8.在初中數(shù)學(xué)中,我們學(xué)習(xí)了各種各樣的方程.以下給出了6個(gè)方程,請(qǐng)你把屬于一元方程的序號(hào)填入圈(1)中,屬于一次方程的序號(hào)填入圈(2)中,既屬于一元方程又屬于一次方程的序號(hào)填入兩個(gè)圈的公共部分. ①3x+5=9;②x2+4x+4=0;③2x+3y=5;④x2+y=0;⑤x-y+z=8;⑥xy=-1. 【答案與解析】 1.B(解析:35+24=59,是等式但不含未知數(shù),所以不是方程;3x-18>33,含未知數(shù)但不是等式,所以不是方程;2x-5=0與+15=0都是含有未知數(shù)的等式,所以都是方程.故選B.) 2.A(解析:由題意知x月存10x元,又現(xiàn)在有20元,因此可列方程10x+20=100.故選A.) 3.A(解析:1元紙幣為x張,那么5元紙幣為(12-x)張,所以x+5(12-x)=48.故選A.) 4.解析:把每個(gè)方程后面的兩個(gè)數(shù)分別代入原方程,如果左右兩邊相等,那么這個(gè)數(shù)就是方程的解,反之則不是.解:(1)把y=2代入原方程的左、右兩邊,左邊=32-1=5,右邊=22+1=5,左邊=右邊,所以y=2是方程3y-1=2y+1的解;把y=4代入原方程的左、右兩邊,左邊=34-1=11,右邊=24+1=9,左邊≠右邊,所以y=4不是方程3y-1=2y+1的解.　(2)把x=2代入原方程的左、右兩邊,左邊=3(2+1)=9,右邊=22-1=3,左邊≠右邊,所以x=2不是方程3(x+1)=2x-1的解;把x= - 4代入原方程的左、右兩邊,左邊=3(- 4+1)=- 9,右邊=2(- 4) -1=- 9,左邊=右邊,所以x=- 4是方程3(x+1)=2x-1的解. 5.A(解析:由題意得女生有2(x-1)人,根據(jù)題意得2(x-1)+x=49.故選A.) 6.A(解析:設(shè)乙數(shù)為x,根據(jù)甲數(shù)比乙數(shù)大2,則甲數(shù)為x+2,根據(jù)題意得出(x+2)+x=10.故選A.) 7.B(解析:根據(jù)首、尾兩端均栽上樹,每間隔6米栽一棵,則缺少22棵,可知這一段公路長為6(x+22-1);若每隔7米栽1棵,則樹苗正好用完,可知這一段公路長又可以表示為7(x-1),根據(jù)公路的長度不變列出方程即可.) 8.解析:一元方程指的是含有一個(gè)未知數(shù)的方程;一次方程指的是未知數(shù)的次數(shù)是1的方程;而一元一次方程指的是含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程.解:如圖所示. 這節(jié)課在設(shè)計(jì)上重點(diǎn)體現(xiàn)學(xué)生的自主探索.首先在引入時(shí),問題設(shè)計(jì)體現(xiàn)出教師的教學(xué)活動(dòng)是建立在學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,探究過程在對(duì)教材例題的處理上,讓學(xué)生探索方程解法與算術(shù)解法的優(yōu)劣,從而讓學(xué)生在自主探索中進(jìn)行比較,自己得出結(jié)論,較傳統(tǒng)的教學(xué)活動(dòng)而言,體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,著重于學(xué)生的探索活動(dòng),強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)在方程的解的概念這部分的處理上的重要性. 1.在教學(xué)的過程中,教師只局限于教材中的問題和例題,限制了學(xué)生的思維. 2.對(duì)于一元一次方程的概念的分析和實(shí)際問題中的等量關(guān)系的確定,教師沒有重點(diǎn)指導(dǎo). 3.在探索方程的解的過程中,沒有讓學(xué)生主動(dòng)去探索嘗試. 教師要能靈活地運(yùn)用教材,并加以創(chuàng)造.可以設(shè)計(jì)一些其他的應(yīng)用問題,讓學(xué)生尋找等量關(guān)系.一元一次方程的概念學(xué)生第一次接觸到,可以讓學(xué)生通過判斷、辨析等手段加以強(qiáng)化.明確一元一次方程的“一元”和“一次”兩個(gè)重要的特點(diǎn).在探索方程解的時(shí)候,一定要讓學(xué)生自己去想、小組合作去探究方程的解,教師一定要相信學(xué)生,給學(xué)生自主思考的空間和時(shí)間,讓學(xué)生自己得到答案. 練習(xí)(教材第80頁) 1.解:設(shè)沿跑道跑x周可以跑3000 m,則400x=3000. 2.解:設(shè)甲種鉛筆買了x支,則乙種鉛筆買了(20-x)支,所以0.3x+0.6(20-x)=9. 3.解:設(shè)上底為x cm,則下底為(x+2)cm,所以=40,即=40. 4.解:設(shè)小水杯的單價(jià)為x元,則大水杯的單價(jià)為(x+5)元,根據(jù)題意得10(x+5)=15x. 　下列各式中,是方程的為 (　　) A.3=5-2 B.3+4x C.5a-6=3 D.2x+3>4x-5 〔解析〕　本題考查方程的定義.A選項(xiàng)為一個(gè)等式,但等式中不含有未知數(shù),故不是方程;B選項(xiàng)含有未知數(shù),但不是一個(gè)等式,也不是方程;D選項(xiàng)含有未知數(shù),但不是等式,故也不是方程.故選C. 〔解題策略〕　方程有兩個(gè)條件:(1)式子中必須含有未知數(shù);(2)式子必須是等式. 　檢驗(yàn)0,1,2三個(gè)數(shù)是否為方程3(x+1)=2(2x+1)的解. 〔解析〕　判斷一個(gè)數(shù)是不是原方程的解,必須用這個(gè)數(shù)替換方程中的未知數(shù),并計(jì)算方程左、右兩邊的值是否相等. 解:將x=2分別代入原方程左、右兩邊,左邊=3(2+1)=9,右邊=2(22+1)=10.左邊≠右邊,所以x=2不是原方程的解. 將x=1分別代入原方程左、右兩邊,左邊=3(1+1)=6,右邊=2(21+1)=6.左邊=右邊,所以x=1是原方程的解. 將x=0分別代入原方程左、右兩邊,左邊=3(0+1)=3,右邊=2(20+1)=2.左邊≠右邊,所以x=0不是原方程的解. 〔解題策略〕　使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為方程的解.判斷一個(gè)數(shù)是不是原方程的解,直接根據(jù)條件代入方程的兩邊進(jìn)行計(jì)算即可. 3.1.2　等式的性質(zhì) 1.了解等式的兩條性質(zhì). 2.會(huì)用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程. 3.培養(yǎng)觀察、分析、概括及邏輯思維能力. 1.讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生自主探索和相互合作的能力. 2.初步體驗(yàn)解方程的化歸思想. 1.感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用于生活. 2.激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生有獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神,養(yǎng)成按客觀規(guī)律辦事的良好習(xí)慣. 【重點(diǎn)】　理解和應(yīng)用等式的性質(zhì). 【難點(diǎn)】　應(yīng)用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程. 【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件、天平、砝碼、等質(zhì)量木塊若干. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)一元一次方程的定義,每小組準(zhǔn)備天平、砝碼、等質(zhì)量木塊若干. 導(dǎo)入一: 師:哪位同學(xué)能談?wù)勆瞎?jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容? 學(xué)生思考后回答. 用估算的方法我們可以求出簡單的一元一次方程的解.你能用這種方法求出下列方程的解嗎? (1)3x-5=22;　(2)0.23-0.13y=0.47y+1. 第(1)題要求學(xué)生給出解答,第(2)題較復(fù)雜,估算比較困難,讓學(xué)生進(jìn)行簡單嘗試. 師:通過估算的方法,我們可以求得方程的解,可是我們也看到,通過估算求解,需要通過多次嘗試才能得到正確的答案,而且有的方程要利用這種方法求解很困難.有沒有相對(duì)簡單的方法,使我們可以獲得方程的解呢?現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)解方程. [設(shè)計(jì)意圖]　通過對(duì)上節(jié)課內(nèi)容的回憶和教師提出的問題,引發(fā)學(xué)生的思考,激發(fā)學(xué)生的探究欲望,進(jìn)而引出本節(jié)課的內(nèi)容. 導(dǎo)入二: 小明和王力同學(xué)玩蹺蹺板,當(dāng)他們位于蹺蹺板兩端的時(shí)候,蹺蹺板恰好處于平衡的位置. 這時(shí),李強(qiáng)和小麗也來了,如果他們二人的體重相等,他們這時(shí)也分別坐到蹺蹺板兩端,這時(shí)候是否仍然平衡? [設(shè)計(jì)意圖]　通過情境教學(xué),讓學(xué)生初步感受等式的性質(zhì),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生產(chǎn)生求知欲望,從而進(jìn)行下面的學(xué)習(xí). 活動(dòng)1:等式的性質(zhì) 　　[過渡語]　我們知道方程是含有未知數(shù)的等式,為了解方程,我們先來看看等式有什么性質(zhì). 思路一 1.實(shí)驗(yàn)演示. 教師先提出實(shí)驗(yàn)的要求:請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察實(shí)驗(yàn)的過程,思考能否從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再用自己的語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,然后按如圖所示的方法演示實(shí)驗(yàn). (教師可以進(jìn)行兩次不同物體的實(shí)驗(yàn),學(xué)生獨(dú)立思考,小組交流,代表發(fā)言.) 2.集體歸納. 在學(xué)生敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律后,教師進(jìn)一步引導(dǎo):等式就像平的天平,它具有與上面的事實(shí)同樣的性質(zhì).比如“8=8”,我們?cè)趦蛇叾技由?,就有“8+6=8+6”;兩邊都減去11,就有“8-11=8-11”. 提出問題1:你能用文字來敘述等式的這個(gè)性質(zhì)嗎? 等式的性質(zhì)1:等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等. 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師必須說明:等式兩邊加上的可以是同一個(gè)數(shù),也可以是同一個(gè)式子. 提出問題2:等式一般可以用a=b來表示,等式的性質(zhì)1怎樣用式子來表示? 如果a=b,那么ac=bc. 字母a,b,c可以表示具體的數(shù),也可以表示一個(gè)式子. 3.鞏固性質(zhì)1. (教材例2)利用等式的性質(zhì)解方程:(1)x+7=26. 〔解析〕　所謂“解方程”,就是要求出方程:的解“x=?”.因此我們需要把方程轉(zhuǎn)化為x=a(a為常數(shù))的形式.怎樣才能把方程x+7=26轉(zhuǎn)化為x=a的形式呢? 解:方程兩邊減7,得: x+7-7=26-7, 于是x=19. 【思考1】　如果x-2=3,那么x-2+2=3+2,依據(jù)是　　　　,即x=　　　　; 【思考2】　如果x+3=-10,那么x=　　　　;依據(jù)是　　　　; 【思考3】　如果-2x-9=-12,那么-2x=　　　　,依據(jù)是　　　　; 【思考4】　如果2m+n=p+2m,那么n=　　　　,依據(jù)　　　　. 4.觀察下列實(shí)驗(yàn),你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證嗎? 在學(xué)生觀察上圖時(shí),必須注意圖上兩個(gè)方向的箭頭所表示的含義,觀察后再讓學(xué)生用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,然后讓學(xué)生用兩種語言表示等式的性質(zhì)2. 文字語言: 等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等. 符號(hào)語言: 如果a=b,那么ac=bc; 如果a=b(c≠0),那么. (教材例2)利用等式的性質(zhì)解方程:(2)-5x=20. 解:方程兩邊同除以-5,得: , 于是x=- 4. 【思考1】　如果3x=5,那么3x(-2)=5(-2),即-6x=　　　　; 【思考2】　如果-2x=6,那么x=　　　　; 【思考3】　已知x=3y,那么-5x=　　　　; 【思考4】　已知-x=2,那么x=　　　　; 【思考5】　已知-x=7,那么x=　　　　. [設(shè)計(jì)意圖]　通過演示實(shí)驗(yàn),直觀地感受等式的性質(zhì),使學(xué)生更容易理解和接受等式的性質(zhì),并應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決簡單問題. 思路二 每小組準(zhǔn)備天平一架,砝碼,等質(zhì)量小木塊若干,分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)(時(shí)間約10~15分鐘). 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下操作. 操作1: (1)先在托盤中放入一塊小木塊,然后再加砝碼,使天平平衡. (2)在兩個(gè)托盤中放入等質(zhì)量的木塊各一塊,觀察此時(shí)天平是否平衡,可以重復(fù)此步驟, 操作2: (1)在兩個(gè)托盤中放入等質(zhì)量的木塊各一塊,觀察此時(shí)天平是否平衡. (2)在兩個(gè)托盤中放入等質(zhì)量的木塊各兩塊,觀察此時(shí)天平是否平衡. (3)在兩個(gè)托盤中放入等質(zhì)量的木塊各相等數(shù)量的塊數(shù),觀察此時(shí)天平是否平衡,可以重復(fù)此步驟. 【思考】　這其中包含的數(shù)學(xué)道理是什么? 學(xué)生討論交流后,師生共同歸納出等式的性質(zhì)1: 如果a=b,那么ac=bc. 等式的性質(zhì)1:等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等. 教師按類似的方法得出等式的性質(zhì)2: 如果a=b,那么ac=bc; 如果a=b(c≠0),那么. 等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等. (教材例2)利用等式的性質(zhì)解下列方程: (1)x+7=26;　　(2)-5x=20. 【師生活動(dòng)】　師生共同分析如何運(yùn)用等式的性質(zhì)解決這兩個(gè)問題,在分析過程中教師注意化歸思想的滲透,應(yīng)當(dāng)告訴學(xué)生解方程就是使方程向“x=a”的形式進(jìn)行化歸,沿著這個(gè)思路進(jìn)行引導(dǎo),使學(xué)生感受化歸思想,能自覺地運(yùn)用等式的性質(zhì)解決問題. 解:(1)x+7=26. x+7-7=26-7,(方程的兩邊同時(shí)減去7) x=19. (2)-5x=20. - 5x(-5)=20(- 5),(方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)- 5) x=- 4. 【歸納】　解含有未知數(shù)x的方程,就是把方程逐步轉(zhuǎn)化為x=a(常數(shù))的形式,等式的性質(zhì)是轉(zhuǎn)化的重要依據(jù). [設(shè)計(jì)意圖]　體驗(yàn)等式的性質(zhì)的探究過程,初步運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程,加深對(duì)等式兩個(gè)性質(zhì)的理解和掌握. 活動(dòng)2:等式性質(zhì)的應(yīng)用 　　[過渡語]　對(duì)于簡單的方程,我們通過觀察就能選擇用等式的哪一條性質(zhì)來解,下列方程你也能馬上做出選擇嗎? 　(補(bǔ)充1)利用等式的性質(zhì)解方程: (1)0.6-x=2.4;　(2)-x-5=4.(教材中例2的第(3)題) 先讓學(xué)生對(duì)第(1)題進(jìn)行嘗試,然后教師進(jìn)行引導(dǎo): ①要把方程0.6-x=2.4轉(zhuǎn)化為x=a的形式,必須去掉方程左邊的0.6,怎么去? ②要把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式,必須去掉x前面的“-”,怎么去? 然后給出解答: 解:(1)兩邊減0.6,得0.6-x-0.6=2.4-0.6, 化簡,得-x=1.8, 兩邊同乘-1,得x=-1.8. 【小結(jié)】　(1)這個(gè)方程的解答中兩次運(yùn)用了等式的性質(zhì); (2)解方程的目標(biāo)是把方程最終化為x=a的形式,在運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí),始終要朝著這個(gè)目標(biāo)去轉(zhuǎn)化. 你能用這種方法解第(2)題嗎? 學(xué)生解答后教師點(diǎn)評(píng). 解:(2)兩邊加5,得-x-5+5=4+5, 化簡,得-x=9. 兩邊同乘- 3,得x=- 27. 【反思】?、俚?2)題能否先在方程的兩邊同乘- 3? ②比較這兩種方法,你認(rèn)為哪一種方法更好?為什么? 學(xué)生進(jìn)行分組討論,討論后再回答. 　(補(bǔ)充2) 服裝廠用355米布做成人服裝和兒童服裝,成人服裝每套平均用布3.5米,兒童服裝每套平均用布1.5米.現(xiàn)已做了80套成人服裝,用余下的布還可以做幾套兒童服裝? 學(xué)生弄清題意后,教師再作分析:如果設(shè)余下的布可以做x套兒童服裝,那么這x套服裝就需要布1.5x米,根據(jù)題意,你能列出方程嗎? 解:設(shè)余下的布可以做x套兒童服裝,那么這x套服裝就需要布1.5x米,根據(jù)題意,得: 803.5+1.5x=355. 化簡,得280+1.5x=355, 兩邊減280,得 280+1.5x-280=355-280. 化簡,得1.5x=75, 兩邊同除以1.5,得x=50. 答:用余下的布還可以做50套兒童服裝. 【反思】　對(duì)于許多實(shí)際問題,我們可以通過設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程來求出問題的解,也就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解. 【問題1】　我們?nèi)绾尾拍芘袆e求出的答案50是否正確呢? 在學(xué)生代入驗(yàn)算后,教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出方法:檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)值是不是某個(gè)方程的解,可以把這個(gè)數(shù)值代入方程,看方程左、右兩邊是否相等,例如:把x=50代入方程803.5+1.5x=355的左邊,得803.5+1.550=280+75=355.方程的左、右兩邊相等,所以x=50是原方程的解. 【問題2】　你能檢驗(yàn)一下x=- 27是不是方程-x- 5=4的解嗎? 將x=- 27代入方程-x- 5=4的左邊, 得-(- 27)- 5=9- 5= 4. 方程的左右兩邊相等,所以x=- 27是方程-x- 5=4的解. [知識(shí)拓展]　1.方程是含有未知數(shù)的等式,所以可以利用等式的基本性質(zhì)解方程. 2.用等式的基本性質(zhì)解一元一次方程,也就是通過正確的變形,將方程化成未知數(shù)的系數(shù)為1的形式,即x=a的形式. 3.性質(zhì)1和2中的關(guān)鍵詞是“同一個(gè)”,性質(zhì)1的含義是只有等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),才能保證所得結(jié)果仍是等式,否則所得結(jié)果不是等式.性質(zhì)2的含義要注意兩點(diǎn):(1)等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),所得結(jié)果仍是等式;(2)等式兩邊不能同時(shí)除以0,因?yàn)?不能作為除數(shù). 4.一元一次方程的幾種形式及求解方法:①x+a=b:方程兩邊都減去a,得x=b-a.②ax=b(a≠0):方程兩邊都除以a,得x=.③ax+b=c(a≠0):方程兩邊都減去b,得ax=c-b;再將方程的兩邊都除以a,得x=. 1.對(duì)等式的性質(zhì)的理解和把握. 等式的性質(zhì)是等式變形的重要理論依據(jù),應(yīng)用時(shí)需要把握兩點(diǎn):一、等式兩邊變形做到兩個(gè)“同”,即同加、同減、同乘或同除以, 這是第一個(gè)“同”,另一個(gè)是同一個(gè)數(shù)(或式子);二、等式的性質(zhì)2中,當(dāng)兩邊除以某一個(gè)數(shù)時(shí),此數(shù)不能為0,這一點(diǎn)容易忽略,需要特別注意. 2.依據(jù)等式的性質(zhì)解簡單的方程. 要使方程逐漸化為“x=a”的形式,關(guān)鍵是判斷需使方程兩邊做怎樣的變形,弄清這種變形依據(jù)的是等式的哪一個(gè)性質(zhì). 1.已知x=y,則下列各式:x- 3=y- 3;3x=3y;- 2x=- 2y;=1中,正確的有 (　　) A.1個(gè)　　B.2個(gè)　　C.3個(gè)　　D.4個(gè) 解析:根據(jù)“在等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù),同時(shí)乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為零的數(shù),等式仍然成立”得到x-3=y-3;3x=3y;-2x=-2y均正確;而當(dāng)x=y=0時(shí),=1不成立.故選C. 2.運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形,不正確的是 (　　) A.如果a=b,那么a-c=b-c B.如果a=b,那么2a=b+a C.如果a=b,那么 D.如果ax=bx,那么a=b 解析:等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)(或式子),等式仍然成立,故A,B正確;等式的兩邊都除以同一個(gè)不為零的數(shù),等式仍成立,因?yàn)閏2+1大于0,故C正確;D.當(dāng)x=0時(shí)不成立.故選D. 3.將m+3=n先變形為2m+6=2n,再變形為2m+1=2n-5,其變形過程中所用的等式的性質(zhì)及順序是 (　　) A.僅用兩次等式的性質(zhì)1 B.僅用兩次等式的性質(zhì)2 C.先用等式的性質(zhì)2,再用等式的性質(zhì)1 D.先用等式的性質(zhì)1,再用等式的性質(zhì)2 解析:兩邊都乘2,得2m+6=2n;方程兩邊都減5,得2m+1+2n-5.故選C. 4.在下列各題的橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或整式,使所得結(jié)果仍是等式,并說明根據(jù)的是等式的哪一條性質(zhì)以及是怎樣變形的. (1)如果-,那么x=　　　　,根據(jù):　　　　　　　　,變形過程:　　　　　　　　; (2)如果- 2x=2y,那么x=　　　　,根據(jù):　　　　　　　　,變形過程:　　　　　　　　; (3)如果x=4,那么x=　　　　,根據(jù):　　　　　　　　,變形過程:　　　　　　　　; (4)如果x=3x+2,那么x-　　　　=2,根據(jù):　　　　　　　　,變形過程:　　　　　　　. 解析:根據(jù)等式的性質(zhì)即等式的兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)結(jié)果仍相等;等式的兩邊同乘(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不為0)結(jié)果仍相等即可得出答案. 答案:(1)- 2y　等式的性質(zhì)2　兩邊都乘-10　(2)-y　等式的性質(zhì)2　兩邊都乘-　(3)6　等式的性質(zhì)2　兩邊都乘　(4)3x　等式的性質(zhì)1　兩邊都減去3x 3.1.2　等式的性質(zhì) 活動(dòng)1:等式的性質(zhì) 等式的性質(zhì)1: 如果a=b,那么ac=bc. 等式的性質(zhì)2: 如果a=b,那么ac=bc; 如果a=b(c≠0),那么. 活動(dòng)2:等式性質(zhì)的應(yīng)用 例1(補(bǔ)充1) 例2(補(bǔ)充2) 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第83頁練習(xí). 【選做題】 教材第83頁習(xí)題3.1第4題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列等式變形錯(cuò)誤的是 (　　) A.若x-1=3,則x=4 B.若x-1=x,則x-1=2x C.若x-3=y-3,則x-y=0 D.若3x+4=2x,則3x-2x=- 4 2.下列根據(jù)等式的性質(zhì)變形正確的是 (　　) A.由-x=y,得x=2y B.由3x-2=2x+2,得x=4 C.由2x-3=3x,得x=3 D.由3x- 5=7,得3x=7- 5 3.由-x=6得x=- 24,下列方法:①方程兩邊同乘-;②方程兩邊同乘- 4;③方程兩邊同除以-;④方程兩邊同除以- 4.其中正確的有 (　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 4.利用等式的性質(zhì)解下列方程. (1)y+3=2; (2)-y- 2=3; (3)9x=8x-6; (4)8m=4m+1. 【能力提升】 5.如圖(1)和圖(2)分別表示兩架處于平衡狀態(tài)的簡易天平,對(duì)a,b,c三種物體的質(zhì)量判斷正確的是 (　　) A.aa,由圖(2)可知3b=2c,即b=c,可知c>b,所以aa. 本節(jié)課通過天平實(shí)驗(yàn)探究等式的性質(zhì),由學(xué)生獨(dú)立思考?xì)w納出等式的性質(zhì)1和性質(zhì)2,然后再把等式的性質(zhì)抽象為數(shù)學(xué)的符號(hào)語言并表示出來.最后通過例題和練習(xí)鞏固等式的兩條性質(zhì),并讓學(xué)生從練習(xí)中思考運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意些什么,為后面學(xué)習(xí)一元一次方程和二元一次方程組做好鋪墊.整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)十分清晰,學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握較好,讓每一個(gè)學(xué)生都能積極地參與到教學(xué)過程中,在實(shí)際操作中學(xué)習(xí)知識(shí),并正確地加以應(yīng)用. 1.在探索等式性質(zhì)中用天平演示實(shí)驗(yàn)之后留給學(xué)生思考和討論的時(shí)間并不是十分充足,使活動(dòng)沒有真正起到預(yù)想的效果.而其后在訓(xùn)練的時(shí)候留給學(xué)生思考和解決問題的時(shí)間也略顯不足. 2.教學(xué)中沒能注重學(xué)生思維多樣性的培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)的探究過程中,對(duì)于問題的最終結(jié)果應(yīng)是一個(gè)從“求異”逐步走向“求同”的過程,而不是在一開始就讓學(xué)生沿著教師預(yù)先設(shè)定好的方向去思考,這樣控制了學(xué)生思維的發(fā)展. 教師在演示實(shí)驗(yàn)過程中,一定要調(diào)控好,實(shí)驗(yàn)前要對(duì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)指導(dǎo),這樣才能使學(xué)生的實(shí)驗(yàn)不至于亂,應(yīng)該做到有秩序.對(duì)于性質(zhì)的探討,一定要讓學(xué)生說出自己得到的結(jié)果,互相補(bǔ)充,發(fā)揮小組的智慧和力量. 對(duì)于性質(zhì)的應(yīng)用,不要采用老師問學(xué)生答的形式,要盡量讓學(xué)生板演,照顧到全體學(xué)生.對(duì)于教材中的問題,重點(diǎn)內(nèi)容和有難度的地方要盡量讓學(xué)生討論解決,控制好度和量,體現(xiàn)小組合作的優(yōu)勢(shì). 練習(xí)(教材第83頁) 解:檢驗(yàn)略.(1)兩邊同時(shí)加5,得x-5+5=6+5,即x=11.　(2)兩邊同時(shí)除以0.3,得x=150.　(3)兩邊同時(shí)減4,得5x+4- 4=0- 4,即5x=- 4.兩邊同時(shí)乘 ,得x=-.　(4)兩邊同時(shí)減2,得2-x- 2=3- 2,即-x=1.兩邊同時(shí)乘- 4,得x=- 4. 習(xí)題3.1(教材第83頁) 1.解:(1)a+5=8.　(2)=9.　(3)2x+10=18.(4)-y=6.　(5)3a+5=4a.　(6)-7=a+b. 2.解:(1)a+b=b+a.　(2)ab=ba.　(3)a(b+c)=ab+ac.　(4)(a+b)+c=a+(b+c). 3.解:(1)當(dāng)x=3時(shí),左邊=53+7=15+7=22,右邊=7-23=7-6=1,左邊≠右邊,所以x=3不是方程5x+7=7-2x的解.當(dāng)x=0時(shí),左邊=0+7=7,右邊=7-0=7,左邊=右邊,所以x=0是方程5x+7=7-2x的解.當(dāng)x=- 2時(shí),左邊=5(-2)+7=-10+7=- 3,右邊=7-2(-2)=7+4=11,左邊≠右邊,所以x=- 2不是方程5x+7=7-2x的解.　(2)當(dāng)x=3時(shí),左邊=63-8=18-8=10,右邊=83- 4=24- 4=20,左邊≠右邊,所以x=3不是方程6x-8=8x-4的解.當(dāng)x=0時(shí),左邊=0-8=- 8,右邊=0- 4=- 4,左邊≠右邊,所以x=0不是方程6x-8=8x-4的解.當(dāng)x=-2時(shí),左邊=6(-2)- 8=-12-8=- 20,右邊=8(-2)- 4=-16- 4=-20,左邊=右邊,所以x=- 2是方程6x-8=8x-4的解.　(3)當(dāng)x=3時(shí),左邊=33-2=9-2=7,右邊=4+3=7,左邊=右邊,所以x=3是方程3x-2=4+x的解.當(dāng)x=0時(shí),左邊=0-2=- 2,右邊=4+0=4,左邊≠右邊,所以x=0不是方程3x-2=4+x的解.當(dāng)x=- 2時(shí),左邊=3(-2)-2=- 6 -2=- 8,右邊=4+(-2)=2,左邊≠右邊,所以x=-2不是方程3x-2=4+x的解. 4.解:(1)方程兩邊同時(shí)加上4,得x-4