中考數(shù)學(xué)命題研究 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 專題六 二次函數(shù)中存在性問題試題
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專題六 二次函數(shù)中存在性問題 二次函數(shù)中存在性問題是貴陽中考必考內(nèi)容,近5年共考了4次,主要與幾何圖形結(jié)合起來考查,且都以解答題形式出現(xiàn),分值12分. 預(yù)計(jì)2017年貴陽中考對二次函數(shù)存在性問題仍會考查,且涉及到的內(nèi)容有:等腰三角形,直角三角形,相似三角形、面積最值、特殊四邊形等存在性問題. ,中考重難點(diǎn)突破) 相似三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例1】(2016貴陽模擬)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(-3,3)及原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為C. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)設(shè)點(diǎn)D在拋物線上,點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上,且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo); (3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)P,使得以P,M,A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【解析】(1)由于拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(-3,3)及原點(diǎn)O,用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式; (2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),對邊平行且相等,可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)分兩種情況討論,①△AMP∽△BOC,②△PMA∽△BOC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo). 【學(xué)生解答】解:(1)y=x2 +2x;(2)當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí),DE∥AO,DE=AO,由A(-2,0)知:DE=AO=2, 若D在對稱軸直線x=-1左側(cè), 則D橫坐標(biāo)為-3,代入拋物線表達(dá)式得D1(-3,3), 若D在對稱軸直線x=-1右側(cè), 則D橫坐標(biāo)為1,代入拋物線表達(dá)式得D2(1,3). 綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,3)或(1,3);(3)存在.理由如下:∵B(-3,3),C(-1,-1), 根據(jù)勾股定理得:BO2=18,CO2=2,BC2 =20, ∵BO2+CO2=BC2 , ∴△BOC是直角三角形, 假設(shè)存在點(diǎn)P,使以P,M,A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似, 設(shè)P(x,y),由題意知x>0,y>0,且y=x2 +2x, ①若△AMP∽△BOC,則=, 即=, 故x+2=3(x2+2x),得:x1=,x2=-2(舍去). 當(dāng)x=時(shí),y=,即P(,);②若△PMA∽△BOC,則=, 即=,故x2 +2x=3(x+2), 得:x1=3,x2=-2(舍去),當(dāng)x=3時(shí),y=15,即P(3,15). 故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是(,)或(3,15). 1.(2017預(yù)測)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,),與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),與x軸交于點(diǎn)A,B(A在B的左側(cè)). (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)若過點(diǎn)A的直線l平分△ABC的面積,求直線l的表達(dá)式; (3)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動,運(yùn)動速度為每秒2個(gè)單位,同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動,運(yùn)動速度為每秒1個(gè)單位,連接PQ,運(yùn)動時(shí)間為t.當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動.求當(dāng)△PBQ與△ABC相似時(shí)t的值. 解:(1)-x2+x+3;(2)令y=-x2+x+3=0,解得x1=-2,x2=4,∴點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(4,0).設(shè)BC的中點(diǎn)為E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,).∵直線l過點(diǎn)A,且平分△ABC的面積,∴直線l過點(diǎn)A和點(diǎn)E,設(shè)直線l的表達(dá)式為y=kx+b,將點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)E(2,)代入得解得∴直線l的表達(dá)式為y=x+;(3)∵A(-2,0),B(4,0),C(0,3),∴AB=6,BC=5.∵點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒2個(gè)單位,點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒1個(gè)單位,∴BP=6-2t,BQ=t.∵∠PBQ=∠ABC,∴若=時(shí),△PBQ∽△ABC或=時(shí),△QBP∽△ABC,①當(dāng)=時(shí),則=,解得t=;②當(dāng)=時(shí),則=,解得t=.綜上所述,△PBQ與△ABC相似時(shí),t的值為或. 2.(2015西寧中考)如圖,拋物線y=-x2+x-2交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,分別過點(diǎn)B,C作y軸,x軸的平行線,兩平行線交于點(diǎn)D,將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC,連接BF. (1)求點(diǎn)B,C所在直線的函數(shù)表達(dá)式; (2)求△BCF的面積; (3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使得以P,A,B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解:(1)直線BC的表達(dá)式為y=x-2;(2)△BCF的面積為10;(3)存在.分兩種情況討論:①如圖,過A作AP1∥y軸交線段BC于點(diǎn)P1,則△BAP1∽△BOC.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),∴點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)是2;∵點(diǎn)P1在點(diǎn)BC所在的直線上,∴y=x-2=2-2=-1,∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,-1);②如圖,過點(diǎn)A作AP2⊥BC于點(diǎn)P2,過點(diǎn)P2作P2Q⊥x軸于點(diǎn)Q.∴△BAP2∽△BCO,∴==,∴==,解得AP2=,BP2=;∴S△AP2B=ABQP2=AP2BP2,∴2QP2=,解得QP2=,∴點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是-;∵點(diǎn)P2在BC所在直線上,∴x=,∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(,-),∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)或(,-). 等腰三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例2】如圖,已知直線y=3x-3分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)(與A點(diǎn)不重合). (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)求△ABC的面積; (3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點(diǎn)M,使△ABM為等腰三角形?若不存在,請說明理由;若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo). 【解析】(1)根據(jù)直線表達(dá)式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo),然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式,可得出b,c的值,求出拋物線表達(dá)式;(2)由(1)求得的拋物線表達(dá)式,可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),繼而求出AC的長度,代入三角形的面積公式即可計(jì)算;(3)根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對稱軸上,可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,m),分三種情況討論,①M(fèi)A=BA;②MB=BA;③MB=MA,求出m的值后即可得出答案. 【學(xué)生解答】 解:(1)拋物線表達(dá)式為y=x2+2x-3;(2)S△ABC=ACOB=43=6;(3)存在,理由如下:拋物線的對稱軸為直線x=-1,假設(shè)存在M(-1,m)滿足題意,討論:①當(dāng)MA=AB時(shí),∵OA=1,OB=3,∴AB=,∴=,解得m=,∴M1(-1,),M2(-1,-);②當(dāng)MB=BA時(shí),=,解得m1=0,m2=-6,∴M3(-1,0),M4(-1,-6)(不符合題意舍去);③當(dāng)MA=MB時(shí),=,解得m=-1,∴M5(-1,-1),故共存在4個(gè)點(diǎn)M1(-1,),M2(-1,-),M3(-1,0),M5(-1,-1)使△ABM為等腰三角形. 3.(2015貴陽模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,-6)和點(diǎn)C(6,0). (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)若拋物線與x軸的負(fù)半軸交于B,試判斷△ABC的形狀.(鈍角三角形、直角三角形或銳角三角形) 解:(1)拋物線的表達(dá)式為y=x2-5x-6;(2)△ABC為銳角三角形. 直角三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例3】(2016貴陽中考說明) 如圖,拋物線y=ax2+bx-4a經(jīng)過A(-1,0),C(0,4)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B. (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)已知點(diǎn)D(m,m+1)在第一象限的拋物線上,連接CD,BD,把△BCD沿BC折疊, ①求點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo); ②在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△DD′P是以DD′為一直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【解析】(1)把A(-1,0),C(0,4)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-4a,根據(jù)待定系數(shù)法可得這個(gè)拋物線的表達(dá)式;(2)①將點(diǎn)D(m,m+1)代入y=-x2+3x+4中,得到D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形,根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)一步得到點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo);②存在滿足條件的點(diǎn)P.過點(diǎn)D′作D′E∥BC交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)P1,根據(jù)待定系數(shù)法可得直線D′E的表達(dá)式,聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P1的坐標(biāo);過點(diǎn)D作DF∥BC交y軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)P2,根據(jù)待定系數(shù)法可得直線DF的表達(dá)式,聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P2的坐標(biāo). 【學(xué)生解答】 解:(1)y=-x2+3x+4;(2)①如圖①,將點(diǎn)D(m,m+1)代入y=-x2+3x+4中,得:-m2+3m+4=m+1,化簡得:m2-2m-3=0,解得m1=-1(舍去),m2=3;∴D(3,4),∴CD∥x軸,∴∠DCO=90,由B(4,0),C(0,4)可得:OB=OC=4,即△OBC是等腰直角三角形,得:∠OCB=∠DCB=45;把△BCD沿BC折疊,點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D′落在y軸上,且CD=CD′=3,OD′=OC-CD′=1,則點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(0,1);②存在滿足條件的點(diǎn)P.如圖②,過D′作D′E∥BC交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)P1.∵DD′⊥BC,∴∠DD′P1=90,△OD′E為等腰直角三角形,則E(1,0),設(shè)直線D′E的表達(dá)式為y=k1x+b1,依題意得解得∴直線D′E的表達(dá)式為y=-x+1.由得過D作DF∥BC交y軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)P2.∵DD′⊥BC,∴DD′⊥DF,∠D′DP2=90,△CDF為等腰直角三角形,則F(0,7),設(shè)直線DF的表達(dá)式為y=k2x+b2,依題意得解得∴直線DF的表達(dá)式為y=-x+7.由得(不符合題意舍去).故在拋物線上存在點(diǎn)P,使得△DD′P是以DD′為一直角邊的直角三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-,-1+)或(2+,-1-)或(1,6). 4.(2016原創(chuàng))如圖,拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其對稱軸與x軸的交點(diǎn)為D,已知A(-1,0),C(0,2). (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)判斷△ACD的形狀,并說明理由; (3)在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形,若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 解:(1)拋物線的表達(dá)式為y=-x2+x+2;(2)△ACD是等腰三角形,理由如下:∵拋物線y=-x2+x+2的對稱軸為直線x=,∴點(diǎn)D(,0).∵A(-1,0),C(0,2),∴AC=,AD=1+=,CD==,∴AD=CD≠AC,∴△ACD是等腰三角形;(3)存在.令拋物線y=-x2+x+2=0,得x1=-1,x2=4,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),則BC==2,如圖,取BC的中點(diǎn)為S,則點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2,1).設(shè)對稱軸上存在點(diǎn)P(,t),使得△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則PS=BC=,即(2-)2+(t-1)2=5,解得t1=1+,t2=1-,∴存在這樣的點(diǎn)P滿足條件,其坐標(biāo)為(,1+)或(,1-). 面積最值存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例4】(2015安順中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,).點(diǎn)D是拋物線A,B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),直線CD與y軸平行,交直線AB于點(diǎn)C,連接AD,BD. (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△ADB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo). 【解析】(1)將拋物線上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式列方程組求解即可;(2)先根據(jù)直線過A,B兩點(diǎn)列方程組并求出直線表達(dá)式,再用m表示出C,D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)得線段CD的長,由圖可知,S=S△ACD+S△BCD,根據(jù)三角形面積公式可得S關(guān)于m的二次函數(shù),利用配方法求出S最大時(shí)m的值即可計(jì)算此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo). 【學(xué)生解答】 解:(1)拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+;(2)設(shè)直線AB為y=kx+d,則有解得∴y=x+.則D(m,-m2+2m+),C(m,m+),CD=(-m2+2m+)-(m+)=-m2+m+2.∴S=(m+1)CD+(4-m)CD=5CD=5(-m2+m+2)=-m2+m+5.∵-<0,∴拋物線開口向下.故當(dāng)m=時(shí),S有最大值.當(dāng)m=時(shí),m+=+=,∴點(diǎn)C(,).當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,). 5.(2016白銀中考)如圖,已知拋物線y=-x2 +bx+c經(jīng)過A(3,0),B(0,3)兩點(diǎn). (1)求此拋物線的表達(dá)式和直線AB的表達(dá)式; (2)如圖①,動點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā),沿著OA方向以1個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時(shí),動點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB方向以個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動,當(dāng)E,F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,連接EF,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t s,當(dāng)t為何值時(shí),△AEF為直角三角形? (3)如圖②,取一根橡皮筋兩端點(diǎn)分別固定在A,B處,用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動,動點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形,在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形?如果存在,求出最大面積,并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請簡要說明理由. 解:(1)直線AB的表達(dá)式為y=-x+3,拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3;(2)∵OA=OB=3,∠BOA=90,∴∠EAF=45,設(shè)運(yùn)動時(shí)間t s,則AF=t,AE=3-t;(Ⅰ)當(dāng)∠EFA=90時(shí),在Rt△EAF中,cos45==,即=.解得t=1.(Ⅱ)當(dāng)∠FEA=90時(shí),在Rt△AEF中,cos45==,即=.解得t=.綜上所述,當(dāng)t=1或t=時(shí),△AEF是直角三角形;(3)存在.過點(diǎn)P作PN∥y軸,交直線AB于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BC⊥PN于點(diǎn)C.設(shè)點(diǎn)P(x,-x2+2x+3),則點(diǎn)N(x,-x+3),∴PN=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,∴S△ABP=S△BPN+S△APN=PNBC+PNAD=(-x2+3x)x+(-x2+3x)(3-x)=-(x-)2+,當(dāng)x=時(shí),△ABP的面積最大,最大面積為,此時(shí)點(diǎn)P(,). 特殊四邊形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例5】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中xOy中,矩形OABC的邊長OA,OC分別為12 cm,6 cm,點(diǎn)A,C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,且18a+c=0. (1)求拋物線的表達(dá)式; (2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1 cm/s的速度向終點(diǎn)B移動,同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2 cm/s的速度向終點(diǎn)C移動; ①移動開始后第t s時(shí),設(shè)△PBQ的面積為S,試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍; ②當(dāng)S取得最大值時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以P,B,Q,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由. 【解析】(1)由OA的長從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo),代入表達(dá)式得c=-12,再與18a+c=0聯(lián)立從而求出a的值,再利用對稱軸為直線x=-=3求得b的值,繼而求得二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)①由題意得AP=t1PB=6-t,QB=2t,所以S=PBBQ=(6-t)2t=-t2+6t(0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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