(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題提分教程 高難拉分攻堅(jiān)特訓(xùn)(二)理

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1、高難拉分攻堅(jiān)特訓(xùn)(二) 1.已知數(shù)列{an}滿足a1>0,a11=4,an+1=an+a,數(shù)列{bn}滿足bn>0,b1=a12,bn=bn+1+b,n∈N*.若存在正整數(shù)m,n(m≤n),使得bm+bn=14,則(  ) A.m=10,n=12 B.m=9,n=11 C.m=4,n=6 D.m=1,n=3 答案 D 解析 因?yàn)閍n+1=an+a,bn=bn+1+b,則有an+1>an>…>a1>0,b1>b2>…>bn>0,且函數(shù)y=x2+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故有b1=a12=b2+b=a11+a,得b2=a11=4,同理有b3=a10=2,…,bm=a13-m,又

2、因?yàn)閍12=a11+a=12,故bm+bn=a10+a12,所以m=1,n=3.故選D. 2.已知f(x)=+b,g(x)=[f(x)]2-1,其中a≠0,c>0,則下列判斷正確的是________.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)成中心對(duì)稱; ②f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; ③存在M >0,使|f(x)|≤M; ④若g(x)有零點(diǎn),則b=0; ⑤g(x)=0的解集可能為{1,-1,2,-2}. 答案?、佗邰? 解析 令y=(a≠0),則該函數(shù)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)為奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.又函數(shù)y=f(x)的圖象是由y=(a≠0)

3、的圖象向上或向下平移|b|個(gè)單位而得到的,所以函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心為(0,b),故①正確. 當(dāng)x>0時(shí),y==,若a>0,c>0,則函數(shù)y=x+在(0,)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;函數(shù)y=x+在(,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減,故②不正確. 令y=(a≠0),則當(dāng)x=0時(shí),y=0,f(x)=b,|f(x)|=|b|,令M=|b|+1>0,則|f(x)|≤M成立;當(dāng)x≠0時(shí),y==,則|y|=≤=.所以|f(x)|=≤+|b|≤+|b|,令M=+|b|,則|f(x)|≤M成立,故③正確. 若g(x)有零點(diǎn),則g(x)=[f(x)]2-1=0,得f

4、(x)=±1,從而得+b=±1,故=-b±1,結(jié)合③可得當(dāng)g(x)有零點(diǎn)時(shí),只需|-b±1|≤即可,而b不一定為零,故④不正確. 由g(x)=[f(x)]2-1=0,得f(x)=+b=±1.取b=0,=1,整理得x2-ax+c=0.當(dāng)a=3,c=2時(shí),方程x2-3x+2=0的兩根為x=1或x=2.又函數(shù)y=為奇函數(shù),故方程的解集為{1,-1,2,-2},故⑤正確. 綜上可得①③⑤正確. 3.在直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)圓M與圓O1:x2+2x+y2=0外切,同時(shí)與圓O2:x2+y2-2x-24=0內(nèi)切. (1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程; (2)設(shè)動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C,設(shè)A,P是曲線C上

5、兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(異于點(diǎn)P),若直線AP,BP分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|·|OT|為定值. 解 (1)∵圓O1:x2+2x+y2=0,∴圓心O1(-1,0),半徑為1. ∵圓O2:x2+y2-2x-24=0,∴圓心O2(1,0),半徑為5. 設(shè)動(dòng)圓圓心M(x,y),半徑為R, ∵圓M與圓O1外切,∴|MO1|=R+1, ∵圓M與圓O2內(nèi)切,∴|MO2|=5-R, 兩式相加得:|MO1|+|MO2|=6>|O1O2|, 由橢圓定義知:M在以O(shè)1,O2為焦點(diǎn)的橢圓上, ∵2a=6,∴a=3,∵c=1,∴b=2. ∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為+=1. (2)證

6、明:設(shè)P(x1,y1),A(x2,y2),S(xS,0),T(xT,0) ∴B(x2,-y2)且x1≠±x2. ∵kAP=,∴l(xiāng)AP:y-y1=kAP(x-x1), y-y1=(x-x1), 令y=0得xS=; 同理得,xT=. ∵|OS|·|OT|=|xS·xT|=, 又∵P,A在橢圓上,∴y=8,y=8, ∴y-y=(x-x),∴xy-xy=8x-8x=8(x-x), ∴|OS|·|OT|===9. 4.已知函數(shù)f(x)=xex-1-a(x+ln x),a∈R. (1)若f(x)存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (2)設(shè)x0是f(x)的極小值點(diǎn),且f(x0)≥0,證

7、明:f(x0)≥2(x-x). 解 (1)f′(x)=(xex-1-a)(x>0). 令g(x)=xex-1-a,則g′(x)=(x+1)ex-1>0, 所以g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). 又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),g(x)→-a; 當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞. 所以,當(dāng)a≤0時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),不存在極值點(diǎn); 當(dāng)a>0時(shí),g(x)的值域?yàn)?-a,+∞),必存在x0>0使g(x0)=0. 所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增; 所以f(x)存在極小值點(diǎn). 綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+∞). - 5 -

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