（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓練習(xí) 理 新人教A版

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1、第1講　直線與圓 一、選擇題 1．已知直線l1過點(diǎn)(－2，0)且傾斜角為30°，直線l2過點(diǎn)(2，0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3，)　　　　　　 B．(2，) C．(1，) D． 解析：選C．直線l1的斜率k1＝tan 30°＝，因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2＝－＝－，所以直線l1的方程為y＝(x＋2)，直線l2的方程為y＝－(x－2)，聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)． 2．圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(

2、y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：選A．由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(1，)，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B．圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化為x2＋(y－a)2＝a2，由題意，M(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2

3、.所以圓M：x2＋(y－2)2＝4，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交． 4．(2019·皖南八校聯(lián)考)圓C與直線2x＋y－11＝0相切，且圓心C的坐標(biāo)為(2，2)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，y0)．若在圓C上存在一點(diǎn)Q，使得∠CPQ＝30°，則y0的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－1，5] C．[2－，2＋] D．[2－2，2＋2] 解析：選C．由點(diǎn)C(2，2)到直線2x＋y－11＝0的距離為＝，可得圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在這樣的點(diǎn)Q，當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，∠CPQ≥30°，可得sin∠CPQ＝＝≥sin 30°，即CP≤2，則≤

4、2，解得2－≤y0≤2＋.故選C． 5．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過定點(diǎn)P的直線l：ax＋y－1＝0與過定點(diǎn)Q的直線m：x－ay＋3＝0相交于點(diǎn)M，則|MP|2＋|MQ|2＝(　　) A． B． C．5 D．10 解析：選D．由題意知P(0，1)，Q(－3，0)，因?yàn)檫^定點(diǎn)P的直線ax＋y－1＝0與過定點(diǎn)Q的直線x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故選D． 6．(一題多解)(2019·河南鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x－ky＋1＝0與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k的值為(　

5、　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：選C．法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，則Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因?yàn)椋剑?，故M，又點(diǎn)M在圓C上，故＋＝4，解得k＝0. 法二：由直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0，0)到直線x－ky＋1＝0的距離為半徑的一半，為1，即d＝＝1，解得k＝0. 二、填空題 7．過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于________． 解析：令P(

6、，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1， 所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤， 當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，△AOB的面積取得最大值，此時(shí)過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H， 則|OH|＝， 于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°， 則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan 150°＝－. 答案：－ 8．已知圓O：x2＋y2＝4到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：由圓的方程可知圓心為(0，0)，半徑為2.因?yàn)閳AO到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心

7、到直線l的距離d

8、－2　 三、解答題 10．已知點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍． (1)求曲線E的方程； (2)已知m≠0，設(shè)直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點(diǎn)．當(dāng)CD的斜率為－1時(shí)，求直線CD的方程． 解：(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， 由題意得＝·， 整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3為所求． (2)由題意知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1，0)．設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2，0)，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：y＝x

9、－2. 設(shè)直線CD：y＝－x＋t， 由解得點(diǎn)P， 由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|＝|CD|＝， 而|NP|2＝＋，|ED|2＝3， |EP|2＝， 所以＋＝3－，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3， 所以直線CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3. 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； (2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值． 解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下： 設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿足

10、x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2. 又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，可得BC的中垂線方程為y－＝x2(x－)． 由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯(lián)立又x＋mx2－2＝0， 可得 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(－，－)，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長為2＝3，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值． 12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上． (1)若圓心C也在直線

11、y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閳A心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上，所以解方程組得圓心C(3，2)， 又因?yàn)閳AC的半徑為1， 所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1， 又因?yàn)辄c(diǎn)A(0，3)，顯然過點(diǎn)A，圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l：y＝2x－4上， 所以設(shè)圓心C為(a，2a－4)， 又因?yàn)閳AC的半徑為1， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1. 設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|＝2|MO|，則有 ＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D， 所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)， 所以2－1≤≤2＋1， 解得0≤a≤，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. - 6 -