(全國通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 中難提分突破特訓(xùn)(一)理

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1、中難提分突破特訓(xùn)(一) 1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足=. (1)求角A的大??; (2)若D為BC邊上一點(diǎn),且CD=2DB,b=3,AD=,求a. 解 (1)由已知,得(2c-b)cosA=acosB, 由正弦定理,得(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB, 整理,得2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB, 即2sinCcosA=sin(A+B)=sinC. 又sinC≠0,所以cosA=, 因?yàn)锳∈(0,π),所以A=. (2)如圖,過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E, 又CD=2DB,∠BAC=, 所以ED=

2、AC=1,∠DEA=. 由余弦定理可知, AD2=AE2+ED2-2AE·EDcos, 解得AE=4,則AB=6. 又AC=3,∠BAC=, 所以在△ABC中,由余弦定理,得a=BC=3. 2.已知長方形ABCD中,AB=1,AD=.現(xiàn)將長方形沿對角線BD折起,使AC=a,得到一個(gè)四面體A-BCD,如圖所示. (1)試問:在折疊的過程中,異面直線AB與CD,AD與BC能否垂直?若能垂直,求出相應(yīng)的a值;若不垂直,請說明理由; (2)當(dāng)四面體A-BCD的體積最大時(shí),求二面角A-CD-B的余弦值. 解 (1)若AB⊥CD,由AB⊥AD,AD∩CD=D,得 AB⊥平面ACD,

3、所以AB⊥AC. 所以AB2+a2=BC2,即12+a2=()2,所以a=1. 若AD⊥BC,由AD⊥AB,AB∩BC=B,得 AD⊥平面ABC,所以AD⊥AC, 所以AD2+a2=CD2,即()2+a2=12, 所以a2=-1,無解,故AD⊥BC不成立. (2)要使四面體A-BCD的體積最大, 因?yàn)椤鰾CD的面積為定值, 所以只需三棱錐A-BCD的高最大即可, 此時(shí)平面ABD⊥平面BCD, 過點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O,則AO⊥平面BCD, 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖),則易知A,C,D, 顯然,平面BCD的一個(gè)法向量為=. 設(shè)平面ACD的法向

4、量為n=(x,y,z). 因?yàn)椋?,=? 所以令y=,得n=(1,,2). 觀察可知二面角A-CD-B為銳二面角, 故二面角A-CD-B的余弦值為 |cos〈,n〉|==. 3.已知動點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離的比為. (1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程; (2)過點(diǎn)B(-2,1)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求線段MN長度的最小值; (3)已知圓Q的圓心為Q(t,t)(t>0),且圓Q與x軸相切,若圓Q與曲線C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解 (1)由題意,設(shè)P(x,y), 則|AP|=2|OP|,即|AP|2=4|OP|2, 所以(x-3)2+y2=

5、4(x2+y2), 整理得(x+1)2+y2=4. 所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知軌跡C是以C(-1,0)為圓心,以2為半徑的圓. 又因?yàn)?-2+1)2+12<4,所以點(diǎn)B在圓內(nèi), 所以當(dāng)線段MN的長度最小時(shí),BC⊥MN, 所以圓心C到直線MN的距離為 |BC|==, 此時(shí),線段MN的長為 |MN|=2=2×=2, 所以,線段MN長度的最小值為2. (3)因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,t)(t>0),且圓Q與x軸相切,所以圓Q的半徑為t, 所以圓Q的方程為(x-t)2+(y-t)2=t2. 因?yàn)閳AQ與圓C有公共點(diǎn), 又圓Q與圓C的兩圓心

6、距離為 |CQ|==, 所以|2-t|≤|CQ|≤2+t, 即(2-t)2≤2t2+2t+1≤(2+t)2,解得-3+2≤t≤3. 所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-3+2,3]. 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線C2的普通方程為y=x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C2與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),求+. 解 (1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 得曲線C1的普通方程為(x-3)2+(y-3)2=4, 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為(ρcosθ-3)2+(ρsinθ-3)

7、2=4, 即ρ2-6ρcosθ-6ρsinθ+14=0. 因?yàn)橹本€C2過原點(diǎn),且傾斜角為, 所以直線C2的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R). (2)設(shè)點(diǎn)A,B對應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2, 由 得ρ2-(3+3)ρ+14=0, 所以ρ1+ρ2=3+3,ρ1ρ2=14, 又ρ1>0,ρ2>0, 所以+===. 5.設(shè)f(x)=|x|+2|x-a|(a>0). (1)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)≤4; (2)若f(x)≥4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x|+2|x-1|, 當(dāng)x<0時(shí),由2-3x≤4,得-≤x<0; 當(dāng)0≤x≤1時(shí),由2-x≤4,得0≤x≤1; 當(dāng)x>1時(shí),由3x-2≤4,得1

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