《（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 理科附加題 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 理科附加題 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 數(shù)學(xué)歸納法
1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，當(dāng)n∈N*時(shí)，an＋2＝an＋1＋an.求證：數(shù)列{an}的第4m＋1項(xiàng)(m∈N*)能被3整除．
證明：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即當(dāng)m＝1時(shí)，第4m＋1項(xiàng)能被3整除．故命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)m＝k時(shí)，a4k＋1能被3整除，則當(dāng)m＝k＋1時(shí)，
a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2
＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
顯
2、然，3a4k＋2能被3整除，又由假設(shè)知a4k＋1能被3整除．
∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．
即當(dāng)m＝k＋1時(shí)，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命題也成立．
由(1)和(2)知，對于n∈N*，數(shù)列{an}中的第4m＋1項(xiàng)能被3整除．
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值．
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由已知得
解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)猜測an＝2n＋1.
由Sn＝2nan＋1－3n2－4n得
Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4
3、(n－1)(n≥2)，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，所以兩式相減，
整理得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1，
an＋1＝an＋，又a2＝5，a1＝3，滿足式子，
建立了an與an＋1的遞推關(guān)系(n∈N*)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＝2n＋1.
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3，成立．
②假設(shè)n＝k時(shí)成立，即ak＝2k＋1成立，
那么n＝k＋1時(shí)，
ak＋1＝ak＋＝(2k＋1)＋
＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立．
由①②可知，對于n∈N*，有an＝2n＋1，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.
3．已知數(shù)列{an}滿
4、足an＝＋＋…＋(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)對任意正整數(shù)n，an小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字是多少？請說明理由．
解：(1)a1＝，a2＝，a3＝.
(2)a1，a2小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字均為5，a3小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字為6.
下證：對任意正整數(shù)n(n≥3)，均有0.6＜an＜0.7，
注意到an＋1－an＝＋－＝＞0，
故對任意正整數(shù)n(n≥3)，有an≥a3＞0.6.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)n(n≥3)，有an≤0.7－.
①當(dāng)n＝3時(shí)，有a3＝＝0.7－＝0.7－≤0.7－，命題成立；
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥3)時(shí)，命題成立，
即ak≤
5、0.7－，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝ak＋≤0.7－＋.
∵－－
＝－＞0，
∴－＞，
∴ak＋1≤0.7－＋≤0.7－，
∴n＝k＋1時(shí)，命題也成立；
綜合①②可知，任意正整數(shù)n(n≥3)，an≤0.7－.
由此，對正整數(shù)n(n≥3)，0.6＜an＜0.7，
此時(shí)an小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字均為6.
所以a1，a2小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字均為5，
當(dāng)n≥3，n∈N*時(shí)，an小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字均為6.
4．(2019·啟東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒有f′(x)＞x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)已知
6、c1＞0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1,2，…)，在(1)的條件下，證明數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列．
解：(1)因?yàn)閒′(x)＝2x－a＋，
由f′(x)＞x，得2x－a＋＞x，
即a＜x＋(0＜x＜1)．
又y＝x＋＝x＋1＋－1＞1(因?yàn)閤＋1＞1)，
所以a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1)．
(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋，
又因?yàn)閏1＞0, 所以c1＋1＞1，且a＜1，
所以c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0.
所以c2＞c1，即當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，有ck＋
7、1＞ck，且ck＞0，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0.
所以ck＋2＞ck＋1，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．
由①②知數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列．
5．猜想：集合M＝{x|x≤n，x∈N*}(n∈N*)的所有子集均可排成一行，使得任意兩個(gè)相鄰子集的元素個(gè)數(shù)相差1.
請你分別取n＝1,2,3加以驗(yàn)證，并判斷猜想是否對任意的正整數(shù)n都成立，若不是，請說明理由；若是，請給出證明．
解：當(dāng)n＝1時(shí)，M＝{1}的2個(gè)子集排成一行：?，{1}，元素個(gè)數(shù)相差1，成立；
當(dāng)n＝2時(shí)，M＝{1,2}的4個(gè)子集排成
8、一行：?，{1}，{1,2}，{2}，任意兩個(gè)相鄰的子集的元素個(gè)數(shù)相差1，猜想成立；
當(dāng)n＝3時(shí)，M＝{1,2,3}的8個(gè)子集排成一行：
?，{1}，{1,2}，{2}，{2,3}，{1,2,3}，{1,3}，{3}，任意兩個(gè)相鄰的子集的元素個(gè)數(shù)相差1，猜想成立，
對任意的正整數(shù)n，猜想成立，證明如下：
①當(dāng)n＝1時(shí)，已證；
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，
集合M＝{1,2，…，k}的2k個(gè)子集排成一行：
M1，M2，…，M2k，任意兩個(gè)相鄰子集的元素個(gè)數(shù)相差1.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，集合M＝{1,2，…，k，k＋1}的2k＋1個(gè)子集排成一行：
M1，M2，…，M2k，M2k∪{k＋1}，…，M2∪{k＋1}，M1∪{k＋1}，
任意兩個(gè)相鄰的子集的元素個(gè)數(shù)相差1,
故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②知，猜想成立．
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