(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第32講 復(fù)數(shù)練習(xí) 理(含解析)新人教A版
《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第32講 復(fù)數(shù)練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第32講 復(fù)數(shù)練習(xí) 理(含解析)新人教A版(15頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第32講 復(fù)數(shù) 夯實(shí)基礎(chǔ) 【p69】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件,并會應(yīng)用; 2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的表示方法,能進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算; 3.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義,會簡單應(yīng)用. 【基礎(chǔ)檢測】 1.復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為( ) A.-iB.-i C.+iD.+i 【解析】復(fù)數(shù)z===,所以其共軛復(fù)數(shù)為-i. 【答案】A 2.若a+i=(1+2i)·ti(i為虛數(shù)單位, a,t∈R),則t+a等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】因?yàn)閍+i=-2t+ti,所
2、以a=-2,t=1,則a+t=-1. 【答案】A 3.已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 【解析】由已知得z=+1=-i+1+1=2-i. 【答案】C 4.復(fù)數(shù)z滿足=i,則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【解析】由已知可得z=1+zi,解得z===+i,z=-i,對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為,點(diǎn)在第四象限. 【答案】D 5.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=a+i (a∈R),且滿足z=,則|z|=( ) A.B.C.D.3 【解析】由題意,得z2+
3、z=(a+i)2+a+i=a2-1+a+(2a+1)i=1-3i,所以解得a=-2,所以|z|=|-2+i|=. 【答案】C 【知識要點(diǎn)】 1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念 形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實(shí)部和__虛部__,若b≠0,則a+bi為虛數(shù),若__a=0,b≠0__,則a+bi為純虛數(shù),i為虛數(shù)單位. (2)復(fù)數(shù)相等:復(fù)數(shù)a+bi=c+di__a=c且b=d__(a,b,c,d∈R). (3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛__a=c且d=-b__(a,b,c,d∈R). (4)復(fù)數(shù)的模 向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈
4、R)的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=____. 2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法:== = =+i(c+di≠0). 3.兩條性質(zhì) (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,in+in+1+in+2+in+3=0(其中n∈
5、N*); (2)(1±i)2=±2i,=i,=-i. 典例剖析 【p69】 考點(diǎn)1 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)若a為實(shí)數(shù),且=3+i,則a=( ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 【解析】∵=3+i,∴2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,∴a=4. 【答案】D (2)復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限. 【解析】z====1-i,對應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),故對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限. 【答案】四 (3)設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為,則|(1-z)·|=( ) A.B.2 C.D.1 【解析】依題意得(1-z)·=(2
6、+i)(-1+i)=-3+i,則|(1-z)·|=|-3+i|==. 【答案】A (4)如果復(fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)(其中i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=________. 【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可知(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i, 因?yàn)閺?fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)是純虛數(shù),則, 解得m=0或1. 【答案】0或1 【點(diǎn)評】求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧 復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí),需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意求解. 考點(diǎn)2 復(fù)
7、數(shù)的運(yùn)算 (1)已知復(fù)數(shù)z=i+i2+i3+…+i2019,則z=________. 【解析】z=i+i2+i3+…+i2019==, ∴z==-1. 【答案】-1 (2)計(jì)算=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 【解析】==-2-i. 【答案】A (3)若復(fù)數(shù)z滿足=i2 019,其中i為虛數(shù)單位,則z=________. 【解析】z=-i(1-i)=-1-i,z=-1+i. 【答案】-1+i (4)計(jì)算:·=________. 【解析】原式===1-i. 【答案】1-i 【點(diǎn)評】復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略 (1)復(fù)數(shù)的乘
8、法:復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可. (2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式. 【提醒】在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí),記住以下結(jié)論,可提高計(jì)算速度. (1)(1±i)2=±2i;=i;=-i; (2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. 考點(diǎn)3 復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限B.第二象限
9、C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【解析】=-i,所以其共軛復(fù)數(shù)為+i, 所以對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限. 【答案】A (2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱的點(diǎn)為A,則A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為( ) A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.2+i 【解析】依題意得,復(fù)數(shù)z==i(1-2i)=2+i,其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1),因此點(diǎn)A(-2,1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i. 【答案】C (3)已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值是________. 【解析】由條件得=(3,-4),
10、=(-1,2),=(1,-1), 根據(jù)=λ+μ,得 (3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ), ∴解得 ∴λ+μ=1. 【答案】1 (4)復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若∠BAC是鈍角,則實(shí)數(shù)c的取值范圍為________. 【解析】在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是鈍角得·<0且B、A、C不共線,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0,解得c>,其中當(dāng)c=9時(shí),=(6,8)=-2,此時(shí)B,A,C三點(diǎn)共線,故c≠9.∴c的取值范圍是c>且
11、c≠9. 【答案】∪(9,+∞) 【點(diǎn)評】對復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用 (1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b). (2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀. 方法總結(jié) 【p70】 1.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用的方法. 2.實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身,兩個(gè)純虛數(shù)的積是實(shí)數(shù). 3.復(fù)數(shù)問題幾何化,利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義,轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論,有效利用數(shù)和形的結(jié)合,取得事半功倍
12、的效果. 走進(jìn)高考 【p70】 1.(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)z=+2i,則|z|=( ) A.0 B.C.1 D. 【解析】法一:因?yàn)閦=+2i=+2i=-i+2i=i,所以|z|=1. 法二:因?yàn)閦=+2i==,所以|z|====1. 【答案】C 2.(2018·全國卷Ⅱ)=( ) A.--i B.-+i C.--i D.-+i 【解析】∵==. 【答案】D 3.(2018·北京)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【解析】==+i,其共軛復(fù)
13、數(shù)為-i,對應(yīng)的點(diǎn)為,故選D. 【答案】D 考點(diǎn)集訓(xùn) 【p212】 A組題 1.已知復(fù)數(shù)z=1+ai(a∈R,i是虛數(shù)單位),=-+i,則a=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.- 【解析】==-+i,∴a=-2. 【答案】B 2.復(fù)數(shù)的虛部是( ) A. i B. -i C. 1 D. -1 【解析】==2+i,則復(fù)數(shù)的虛部是1. 【答案】C 3.已知a∈R,i為虛數(shù)單位,若(1-2i)(a+i)為純虛數(shù),則a的值等于( ) A.-6 B.-2 C.2 D.6 【解析】(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,由復(fù)數(shù)的定義有
14、:∴a=-2. 【答案】B 4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【解析】==,對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限. 【答案】D 5.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是( ) A.1 B.C.2 D.2 【解析】===1-i.對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是=. 【答案】B 6.設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為,則(a+bi)(a-bi)=________. 【解析】∵|a+bi|==, ∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3. 【答案】3 7.已知b∈R,復(fù)數(shù)+的實(shí)部和虛部相等,則b等于________. 【解析
15、】+=+=+=+i,所以有=,∴b=-. 【答案】- 8.已知a∈R,則復(fù)數(shù)z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第________象限,復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是________. 【解析】令z=x+yi, x=a2-2a+4=(a-1)2+3>0, y=-(a2-2a+2)=-[(a-1)2+1]<0, 且x+y=2(x>0,y<0), 故復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為一條射線. 【答案】四;一條射線 B組題 1.若z=sin θ-+i是純虛數(shù),則tan θ=( ) A.±B.± C.-D. 【解析】由題設(shè)所以sin θ=,cos θ=
16、-,則tan θ=-.
【答案】C
2.已知復(fù)數(shù)z=x+(x-a)i,若對任意實(shí)數(shù)x∈(1,2),恒有|z|>,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C.D.
【解析】|z|=,=,即>,所以轉(zhuǎn)化為(x-a)2>,整理得a
17、yi(x,y∈R),∴x+yi===.據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得 ①2+②2得x2+y2=1.?、? 由①②可知x,y是③的解,但是否是曲線上的點(diǎn)呢?我們可通過求x或y的范圍來考慮.由①得t2=≥0,即∴-1<x≤1. 而由③得y2=1-x2≥0,∴-1≤x≤1. 綜上,所求軌跡是單位圓,除去(-1,0)點(diǎn). 【答案】x2+y2=1(x≠-1) (2)已知復(fù)數(shù)ω滿足ω-4=(3-2ω)i(i為虛數(shù)單位),z=+|ω-2|.則一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程為______________. 【解析】ω(1+2i)=4+3i,∴ω==2-i, ∴z=+|2-i-2|=+1=3+i. 又實(shí)系數(shù)方程虛根成對出現(xiàn),即3-i是另一個(gè)根, ∴z+=6,z=10, ∴所求的一個(gè)一元二次方程可以是x2-6x+10=0. 【答案】x2-6x+10=0 備課札記 15
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