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1、培優(yōu)點(diǎn)十八 圓錐曲線綜合
一、弦長問題
例1:過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的弦,求:
(1)弦的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離;
(2)弦的長.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)雙曲線的右焦點(diǎn),直線的方程為.
聯(lián)立,得.
設(shè),,則,.
設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則,.
所以.
(2)由(1),知
.
二、定值問題
例2:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),證明:為定值.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】(1)由題意可得,拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到
2、直線的距離,
由拋物線的定義得,即.
故拋物線的方程為.
(2)易知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,若直線的斜率不存在,即直線方程為,
此時(shí)令,,∴;
若直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,
設(shè),,由拋物線的定義知,.
由,得,
根據(jù)韋達(dá)定理得,
所以,
綜上可得,為定值.
三、最值問題
例3:已知兩定點(diǎn),,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足:直線,的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與(1)中曲線交于,兩點(diǎn),求的面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,
所以,化簡得,
所以所求軌跡方程是.
(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立曲
3、線的方程得,
設(shè),,由韋達(dá)定理得,,
所以的面積,
設(shè),則,
上式當(dāng)即時(shí)取等號(hào),所以的面積的最大值是.
四、存在性問題
例4:已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn),且點(diǎn)為其右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線與橢圓交于,兩點(diǎn),滿足,且原點(diǎn)到直線的距離為?
若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為,則左焦點(diǎn)為,
在直角三角形中,可求,∴.
又,∴.
故橢圓的方程為.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線,其方程為,
由原點(diǎn)到的距離為,得.
聯(lián)立方程,得.
則.
設(shè),,則,,
則
4、,
解得.
當(dāng)斜率不存在時(shí),的方程為,易求得.
綜上,不存在符合條件的直線.
對點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1.已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且與軸正方向成的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),則()
A. B. C. D.或
【答案】C
【解析】由已知條件可知直線為,
由,得,∴,,
∴.
2.已知雙曲線與直線交于,兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)所在直線的
斜率為,則的值是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè),,中點(diǎn)坐標(biāo),代入雙曲線方程中,
得到,,
兩式相減得到,
結(jié)合,,,且,
代入上面式子,得到.
3.等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,為坐標(biāo)原點(diǎn),
5、則這個(gè)三角形的邊長
為()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵拋物線關(guān)于軸對稱,∴若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),
另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,則,點(diǎn)關(guān)于軸對稱,
∴直線傾斜角為,斜率為,∴直線方程為.
由,得,
∴,,∴,
∴這個(gè)正三角形的邊長為.
4.若過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則的
最大值為()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖,因?yàn)闄E圓與圓關(guān)于軸對稱,并且圓的圓心坐標(biāo)為
橢圓右焦點(diǎn),
所以過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線,
要使的最大,則取最小,所以為右端點(diǎn).
因?yàn)?,,,所以?
5.已知雙曲線,是雙曲
6、線上不同于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),經(jīng)過分別作曲線的兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線圍成平行四邊形,則四邊形的面積是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè),則,
設(shè)和漸近線平行,和漸近線平行,
由,,
且和漸近線的距離為,
由和,求得,
可得,
∴四邊形的面積是.
6.是拋物線上一定點(diǎn),,是上異于的兩點(diǎn),直線,的
斜率,滿足(為常數(shù),),且直線的斜率存在,則直線過定點(diǎn)()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè),,則直線的方程為,
整理得,
又,
化簡得,則.
則直線的方程為,
直線過定點(diǎn).
二、填空題
7.已知拋物線:的焦點(diǎn)也是橢圓
7、:的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn),分別為曲線,上,則的最小值為.
【答案】
【解析】由點(diǎn)在橢圓上,且,
所以,則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又由拋物線方程得,所以,
則,由拋物線定義知等于點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離.
過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,
則垂直與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn),
所以,其最小值為.
8.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)有交點(diǎn),且橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別是,,點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),則面積的最大值是___________.
【答案】
【解析】依題意有,設(shè),,
由余弦定理得,解得.
故對與橢圓來說,,,,,
橢圓方程為.
當(dāng)為短軸上頂點(diǎn)時(shí),面積取得最大值為.
三、解答
8、題
9.已知橢圓過點(diǎn),離心率是.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)依題意可知,,,解得,,
∴橢圓的方程為.
(2)設(shè)、,代入橢圓方程得,,
兩式相減得,
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,.∴,
可得直線的方程為.
令,可得;令,可得,
則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.
10.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),、是拋物線上異于的兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線、的斜率之積為,求證:直線過定點(diǎn).
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】(1
9、)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
所以,所以,所以拋物線的方程為.
(2)證明:①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè),,
因?yàn)橹本€,的斜率之積為,所以,化簡得,
所以,,此時(shí)直線的方程為;
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,,,
聯(lián)立得,化簡得,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得,
因?yàn)橹本€,的斜率之積為,所以,即,
即,解得(舍去)或,
所以,即,所以,即.
綜上所述,直線過軸上一定點(diǎn).
11.如圖,已知,是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn),且,兩曲線離心率之積為.為上除頂點(diǎn)外一動(dòng)點(diǎn),交橢圓于點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:存在實(shí)數(shù),使.
【答案】(1);(2)證明
10、見解析.
【解析】(1)由題可知,兩曲線的離心率之積為,
則,解得,
所以橢圓的方程為.
(2)設(shè),直線的斜率為,
∵,,雙曲線方程為,
∴,所以,
聯(lián)立,得,
所以,即,
所以,則,
所以,,三點(diǎn)共線,即存在實(shí)數(shù),使.
12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),求面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為,因?yàn)闄E圓的離心率為,所以.①
在中,,
由余弦定理,得,
得,
得,即,
所以,
所以的面積,
所以,即,②
又,③
由①②③,解得,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)直線的方程為,,,
聯(lián)立得,得,
由,得,根據(jù)韋達(dá)定理有,.
由弦長公式,得.
又點(diǎn)到直線的距離為,
所以.令,則,
所以
,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),
所以面積的最大值為.
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