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1、考點集訓(二) 第2講 命題及其關系、充分條件與必要條件
對應學生用書p204
A組題
1．“若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0”的否命題是( )
A．若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0
B．若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0
C．若x＝a且x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0
D．若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0
[解析]否命題是同時否定原命題的條件和結論，故“若x＝a或x＝b，則x2－(a＋b)x＋ab＝0”的否命題是“若x≠a且x≠b，則x2－(a＋b)x＋ab≠0”．
[答案]B
2、
2．命題p：“若x2<1，則x<1”的逆命題為q，則p與q的真假性為( )
A．p真q真B．p真q假
C．p假q真D．p假q假
[解析]q：若x<1，則x2<1.∵p：x2<1，則－1
3、?B”的充分不必要條件．
[答案]A
4．(多選)設f(x)＝x2－4x(x∈R)，則下列條件中是f(x)>0的必要不充分條件的是( )
A．x<1或x>3B．x<0或x>4
C．|x－1|>1D．|x－2|>3
[解析]依題意，f(x)>0?x2－4x>0?x<0或x>4.又|x－1|>1?x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2.而{x|x<0或x>4}{x|x<0或x>2}，且{x|x<0或x>4}{x|x<1或x>3}，故選AC.
[答案]AC
5．已知a，b都是實數(shù)，那么“2a>2b”是“a2>b2”的( )
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要
4、條件D．既不充分也不必要條件
[解析]由2a>2b可得a>b，但a，b的具體值不知道，當a＝1，b＝－2時2a>2b成立，但無法得到a2>b2，故充分性不成立，再由a2>b2，例如a＝－2，b＝－1，但得不到2a>2b，故必要性也不成立．
[答案]D
6．(2019·浙江)若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
[解析]當a>0, b>0時，a＋b≥2，則當a＋b≤4時，有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立；
當a＝1, b＝4時，滿足ab≤4，但此時a＋b＝5>4，必要性不
5、成立，
綜上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A.
[答案]A
7．(2017·全國卷Ⅰ理)設有下面四個命題：
p1：若復數(shù)z滿足∈R，則z∈R；
p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；
p3：若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝z2；
p4：若復數(shù)z∈R，則z∈R.
其中的真命題為( )
A．p1，p3B．p1，p4
C．p2，p3D．p2，p4
[解析]令z＝a＋bi(a，b∈R)，則由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正確；
當z＝i時，因為z2＝i2＝－1∈R，而z＝i?R，故p2不正確；
當z1＝z2＝i時，滿足z1·z2＝－
6、1∈R，但z1≠z2，故p3不正確；
對于p4，因為實數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故p4正確，故選B.
[答案]B
8．“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)”的__________條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個)
[解析]因為f(x)＝x2滿足f(0)＝0，但不是奇函數(shù)，所以充分性不成立；
因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0，必要性成立．
因此“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)”的必要不充分條件．
[答案]必要不充分
B組題
1．已知p：(x＋
7、3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1，3]
[解析]由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，即q?p，p?/ q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故選C.
[答案]C
2．U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8、[解析]若存在集合C使得A?C，B??UC，則可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由韋恩圖可知，一定存在C＝A，滿足A?C，B??UC，故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充要條件．故選C.
[答案]C
3．若實數(shù)a，b滿足a>0，b>0，則“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
[解析]設f(x)＝x＋lnx，顯然f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∵a>b，∴f(a)>f(b)，
∴a＋lna>b＋lnb，故充分性成立；
∵a＋lna>b＋lnb，
∴f(a)>f(b)
9、，∴a>b，故必要性成立，
故“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的充要條件，故選C.
[答案]C
4．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1，2，….
(1)若a1＝1，a2＝5，且對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式．
(2)證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．
[解析] (1)對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)
10、是等差數(shù)列，
所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.
故數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列．
于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)①必要性：若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則對任意n∈N*，an＋1＝anq.由an>0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是
＝＝＝q，
＝＝＝q，
即＝＝q，所以三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．
②充分性：若對于任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，
則B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)，
于是C(n)－B(n)＝q，
得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，
即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.
由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝0.
因為an>0，所以＝＝q，故數(shù)列是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，
綜上所述，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.
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