（浙江專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專題練（四）

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1、小題專題練(四)　立體幾何 1．下列命題中，正確的是(　　) A．有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 B．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐 C．側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體 D．棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點 2．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，則實數(shù)λ的值為(　　) A．－2　　　 B．－　　　 C.　　　　 D．2 3. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為棱BB1的中點，若用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為(　　) 4．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為

2、1的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是(　　) A．4∶3 B．2∶1 C．5∶3 D．3∶2 5．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 6．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，點D在棱BB1上，若BD＝3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為(　　) A. B. C. D. 8．已知l，m，n為三條

3、不重合的直線，α，β為兩個不同的平面，則(　　) A．若m⊥α，m⊥β，則α∥β B．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l⊥α C．若α∩β＝l，m?α，m⊥l，則m⊥β D．若m∥n，m?α，則n∥α 9．如圖甲所示，一只裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由底面半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體．當(dāng)這個幾何體如圖乙水平放置時，液面高度為20 cm，當(dāng)這個幾何體如圖丙水平放置時，液面高度為 28 cm，則這個簡單幾何體的總高度為(　　) A．29 cm B．30 cm C．32 cm D．48 cm 10．長方體ABCD-A1B1C1D1

4、中，AB＝BC＝1，BB1＝.設(shè)點A關(guān)于直線BD1的對稱點為P，則P與C1兩點之間的距離為(　　) A．1 B. C. D. 11．如圖所示是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________，幾何體中最長棱的長是________． 　　 第11題圖　　　　　　第12題圖 12．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，則三棱錐P-ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比為________，三棱錐P-ABC 的體積是________． 13．已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當(dāng)正四棱柱的體積

5、最大時，正四棱柱的高為________． 14．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點M為CC1的中點，點N為線段DD1上靠近D1的三等分點，平面BMN交AA1于點Q，則線段AQ的長為________． 15．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，∠ABE＝20°，∠CDF＝30°.將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為________． 　 第15題圖　　　　　　　第16題圖 16．如圖，在四邊形ABCD中，CD⊥BD，∠ABD＝，AB＝BD＝4，CD＝2，現(xiàn)將△BCD沿BD

6、折起，當(dāng)二面角A-BD-C的大小處于[，]的過程時，線段AC長度的最小值是________，最大值是________． 17．已知△ABC在平面α內(nèi)，∠ACB＝90°，點P?α，PA＝PB＝PC＝7，AB＝10，AC＝6，則點P到平面α的距離等于________，PC與平面PAB所成角的正弦值為________． 小題專題練(四) 1．解析：選D.直棱柱的側(cè)棱與底面垂直，底面形狀不定，故選項A，C都不夠準(zhǔn)確；選項B中對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故B不正確． 2．解析：選D.由題意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 3．解析：選C.如

7、圖，取DD1的中點F，連接AF，F(xiàn)C1，則過點A，E，C1的平面即為面AEC1F，所以剩余幾何體的側(cè)視圖為選項C. 4．解析：選A.圓錐的側(cè)面積＝π×12×＝，圓錐的底面半徑＝2π×1×÷2π＝，圓錐的底面積＝π·＝，圓錐的表面積＝側(cè)面積＋底面積＝，所以這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為4∶3. 5．解析：選A.由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°.所以直線l與α所成的角為30°. 6．解析：選B.由三視圖得，該幾何體是從四棱錐P-ABCD中挖去半個圓錐后剩余的部分，四棱錐的底面是以2為邊長的正方形，高是2，圓錐的底面半徑是1，高是2，則所求幾何體的體積V＝×2×2×2－×

8、π×12×2＝. 7. 解析：選B.如圖，可得·＝(＋)·＝·＝4×2×＝12＝5×2×cos θ(θ為與的夾角)，所以cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝，又因為BE⊥平面AA1C1C，所以所求角的正切值為. 8．解析：選A.由l，m，n為三條不重合的直線，α，β為兩個不同的平面知，在A中，若m⊥α，m⊥β，則由面面平行的判定定理得α∥β，故A正確；在B中，若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l與α相交、平行或l?α，故B錯誤；在C中，若α∩β＝l，m?α，m⊥l，則m與β相交，故C錯誤；在D中，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故D錯誤．故選A. 9．解析：選A.設(shè)這

9、個簡單幾何體的總高度為h，圖乙簡單幾何體上面沒有充滿水的高度為x，圖丙簡單幾何體上面沒有充滿水的高度為y，則?所以h＝29. 10. 解析：選A.將長方體中含有ABD1的平面取出，過點A作AM⊥BD1，延長AM，使MP＝AM，則P是A關(guān)于BD1的對稱點，如圖所示，過P作PE⊥BC1，垂足為E，依題意AB＝1，AD1＝，BD1＝2，∠ABD1＝60°，∠BAM＝30°，∠PBE＝30°，PE＝，BE＝，所以PC1＝1，故選A. 11．解析： 由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐M-A1B1N，如圖所示，M是棱AB上靠近點A的一個三等分點，N

10、是棱C1D1的中點，所以VM-A1B1N＝××2×2×2＝.又A1B1＝2，A1N＝B1N＝＝，A1M＝＝，B1M＝＝，MN＝＝，所以該幾何體中最長棱的長是. 答案：　 12．解析：作三棱錐P-ABC的正視圖時，點A的正投影是D，點P的正投影在C1D1上，因此三棱錐P-ABC正視圖的面積S正＝×12＝，作三棱錐P-ABC的側(cè)視圖時，點A的正投影是B，點P的正投影在C1B1上，因此三棱錐P-ABC的側(cè)視圖的面積S側(cè)＝×12＝，故S正∶S側(cè)＝1∶1，三棱錐P-ABC的體積V＝S△ABC·AA1＝. 答案：1∶1　 13．解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2

11、＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝h，則V′＝6－h(huán)2，由V′>0，得02，所以當(dāng)h＝2時，正四棱柱的體積最大，Vmax＝8. 答案：2 14．解析：如圖所示，在線段DD1上靠近點D處取一點T， 使得DT＝，因為N是線段DD1上靠近D1的三等分點，故D1N＝， 故NT＝2－－＝1， 因為M為CC1的中點， 故CM＝1，連接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四邊形CMNT為平行四邊形，故CT∥MN， 同理在AA1上靠近A處取一點Q′，使得AQ′＝，連接BQ′，TQ′， 則有

12、BQ′∥CT∥MN，故BQ′與MN共面， 即Q′與Q重合，故AQ＝. 答案： 15．解析：AB不動，因為AB∥CD，故無論直線DF運動到哪里，其與CD的夾角不變，與AB的夾角也不變?yōu)?0°.若DF不動，AB轉(zhuǎn)動，兩者的夾角在旋轉(zhuǎn)過程中先變小再變大，大小不超過固定時的夾角；當(dāng)AB轉(zhuǎn)動到BF的另一側(cè)且與原始位置共面時，若DF不動，可計算出兩者的夾角是10°，若DF轉(zhuǎn)動同一平面的另一邊，此時兩線的夾角為70°，取到最大值．因此，本題正確答案是70°. 答案：70° 16. 解析：設(shè)二面角A-BD-C的平面角為α，如圖，取BD的中點E，連接AE，則AE＝2.因為＝＋＋，所以2＝2＋2＋

13、2＋2·＋2·＋2·＝12＋4＋4＋0＋0＋2×2×2×cos(π－α)＝20－8cos α， 因為α∈[，]，所以cos α∈[－，]，所以2∈[8，32]，故線段AC長度的取值范圍是[2，4]． 答案：2　4 17. 解析：如圖所示，取AB的中點D，連接PD，CD，因為PA＝PB，所以PD⊥AB，又△ABC為直角三角形，所以AD＝CD，又PA＝PC，所以△APD≌△CPD，所以∠CDP＝∠ADP＝90°，所以PD⊥DC.又AB∩DC＝D，則PD⊥α，PD為點P到平面α的距離，又PA＝7，AB＝10，所以AD＝5，PD＝＝2. 法一：設(shè)點C到平面PAB的距離為d，PC與平面PAB所成角的大小為θ，由VP-ABC＝VC-PAB得PD·S△ABC＝d·S△PAB，即×2××6×8＝d××10×2，所以d＝.故sin θ＝＝. 法二：過點C作CE⊥AB于點E，連接PE，因為PD⊥α，PD?平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，又CE?平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，所以CE⊥平面PAB，則∠CPE為PC與平面PAB所成的角，在Rt△ABC中，易得CE＝，所以sin ∠CPE＝＝. 答案：2　 - 8 -