2、
C.32,3 D.-32,3
答案D
解析由題意知z=max{x+y,2x-y}=x+y,x+y≥2x-y,2x-y,x+y<2x-y=x+y,x-2y≤0,2x-y,x-2y>0,
如下圖,當(dāng)z=x+y時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在直線x-2y=0的左上方,此時(shí)-32≤z≤2;當(dāng)z=2x-y時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在直線x-2y=0的右下方,此時(shí)-32≤z≤3.故選D.
3.若變量x,y滿足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,則x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
答案C
解析如圖,不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域
3、,x2+y2表示點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到,經(jīng)驗(yàn)證最大值|OC|2=10,故選C.
4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+y-2≤0,2x-y+2≥0,y≥0,則目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值等于( )
A.-1 B.-2 C.2 D.1
答案B
解析由不等式組得到可行域如下圖中陰影部分.目標(biāo)函數(shù)可變形為y=x-z,當(dāng)此直線經(jīng)過圖中點(diǎn)B時(shí)z最小,所以最小值為z=0-2=-2.故選B.
5.設(shè)集合A=(x,y) x-y-1≤0,3x-y+1≥0,x,y∈R3x+y-1≤0,,則A表示的平面區(qū)域的面積是( )
A.2 B.32 C.322 D.1
答案B
4、
解析畫出不等式組x-y-1≤0,3x-y+1≥0,3x+y-1≤0所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,
聯(lián)立3x+y-1=0,3x-y+1=0,得A(0,1),
聯(lián)立3x-y+1=0,x-y-1=0,
得B-1,-2,
聯(lián)立3x+y-1=0,x-y-1=0,
得C12,-12.
設(shè)直線x-y-1=0交y軸于點(diǎn)D(0,-1),
則不等式組表示的平面區(qū)域的面積為
S=S△ABD+S△ACD=12×2×1+12×2×12=32.故選B.
6.(2018浙江高考)若x,y滿足約束條件x-y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,則z=x+3y的最小值是 ,最大值是 .?
5、答案-2 8
解析由約束條件x-y≥0,2x+y≤6,x+y≥2畫出可行域,如圖所示的陰影部分.
由z=x+3y,可知y=-13x+z3.
由題意可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),z取得最大值,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),z取得最小值.
由y=x,2x+y=6,得x=2,y=2,此時(shí)z最大=2+3×2=8,
由2x+y=6,x+y=2,得x=4,y=-2,
此時(shí)z最小=4+3×(-2)=-2.
7.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式x-2y+8≥0,x-y-1≤0,2x+y-4≥0,則yx+1的最小值是 ;|2x-y-2|的最大值是 .?
答案14 9
解析不等式組
6、表示的可行域?yàn)槿鐖D的△ABC及內(nèi)部區(qū)域,其中A53,23,B(10,9),C(0,4),yx+1=kPQ,其中Q(-1,0),P是可行域內(nèi)的點(diǎn),
由圖可知,kPQ的最小值為kQA=14,
|2x-y-2|=5·|2x-y-2|5=5d,其中d為可行域內(nèi)點(diǎn)到直線2x-y-2=0的距離,
由圖可知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),取到最大,其值為9.
8.若函數(shù)y=kx的圖象上存在點(diǎn)(x,y)滿足約束條件x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥1,則實(shí)數(shù)k的最大值為 .?
答案2
解析約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是以點(diǎn)(1,2),(1,-1)和(3,0)為頂點(diǎn)的三角形,當(dāng)直線y=kx經(jīng)過點(diǎn)(1,2)
7、時(shí),k取得最大值2.
能力提升組
9.在平面上,過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影,由區(qū)域x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0中的點(diǎn)在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB,則|AB|=( )
A.22 B.4 C.32 D.6
答案C
解析畫出不等式組x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.
作出直線x+y-2=0.
設(shè)直線x-3y+4=0與x+y=0的交點(diǎn)為C,直線x=2與直線x+y=0的交點(diǎn)為D.
過C作CA⊥直線x+y-2=0于點(diǎn)A,
過D作DB⊥直線x+y-2=0于點(diǎn)B,
則區(qū)域中的點(diǎn)在直線x+y
8、-2=0上的投影為AB.
∵直線x+y-2=0與直線x+y=0平行,∴|CD|=|AB|.
由x-3y+4=0,x+y=0,得x=-1,y=1,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1).
由x=2,x+y=0,得x=2,y=-2,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2).
∴|CD|=9+9=32,即|AB|=32.故選C.
10.(2018浙江紹興5月模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件y≥1,y≤2x-1,x+y≤m,目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實(shí)數(shù)m=( )
A.7 B.5 C.4 D.1
答案B
解析繪制題干中不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,
聯(lián)立直線方程y=2x-1,y=-
9、x+m可得交點(diǎn)A的坐標(biāo)為m+13,2m-13.由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值,即有m+13-2m-13=-1,解得m=5.故選B.
11.若變量x,y滿足約束條件x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,且z=ax+3y的最小值為7,則a的值為( )
A.1 B.2 C.-2 D.不確定
答案B
解析由約束條件x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3作出可行域如圖中陰影部分,
聯(lián)立方程組求得A(2,1),B(4,5),C(1,2),化目標(biāo)函數(shù)z=ax+3y為y=-a3x+z3.
當(dāng)a>0時(shí),由圖可知,當(dāng)直線y=-a3x+z3過點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí),直線在y軸上的截距最
10、小,z有最小值.
若過點(diǎn)A,則2a+3=7,解得a=2;若過點(diǎn)C,則a+6=7,解得a=1,不合題意.
當(dāng)a<0時(shí),由圖可知,當(dāng)直線y=-a3x+z3過點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí),直線在y軸上的截距最小,z有最小值.
若過點(diǎn)A,則2a+3=7,解得a=2,不合題意;若過點(diǎn)B,則4a+15=7,解得a=-2,不合題意.
所以a的值為2.故選B.
12.已知實(shí)數(shù)x,y滿足|x-y|≤1,|x+y|≤3,則|3x+y|的最大值為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案C
解析實(shí)數(shù)x,y滿足|x-y|≤1,|x+y|≤3
的可行域如右圖中陰影部分所示.則|3x+y|的最大值就是平移圖中的
11、兩條虛線,可知過點(diǎn)B時(shí)有最優(yōu)解,
由x-y=1,x+y=3,解得x=2,y=1,
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,1),
|3x+y|的最大值為3×2+1=7.故選C.
13.若存在實(shí)數(shù)x,y使不等式組x-y≥0,x-3y+2≤0,x+y-6≤0與不等式x-2y+m≤0都成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.m≥0 B.m≤3 C.m≥1 D.m≥3
答案B
解析作出不等式組x-y≥0,x-3y+2≤0,x+y-6≤0表示的平面區(qū)域,
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(4,2),B(1,1),C(3,3).
設(shè)z=F(x,y)=x-2y,將直線l:z=x-2y進(jìn)行平移,
當(dāng)l經(jīng)
12、過點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值,可得z最大值=F(4,2)=0;當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值,可得z最小值=F(3,3)=-3.因此,z=x-2y的取值范圍為[-3,0],
∵存在實(shí)數(shù)m,使不等式x-2y+m≤0成立,即存在實(shí)數(shù)m,使x-2y≤-m成立,∴-m大于或等于z=x-2y的最小值,即-3≤-m,解得m≤3.故選B.
14.若不等式組x-y+5≥0,y≥a,0≤x≤2表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是 .?
答案5≤a<7
解析如圖,
當(dāng)直線y=a位于直線y=5和y=7之間(不含y=7)時(shí)滿足條件.
15.若實(shí)數(shù)x,y滿足2x-y≥0,y≥x,
13、y≥-x+b,且z=2x+y的最小值為4,則實(shí)數(shù)b的值為.
答案3
解析如圖,∵z=2x+y的最小值為4,且由2x+y=4,2x-y=0,
解得x=1,y=2,∴A(1,2).
又由題意可知點(diǎn)A在直線y=-x+b上,∴2=-1+b,解得b=3.
16.(2018浙江溫州高考模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿足y-x+1≥0,x+y-2≤0,x≥0,y≥0,則y的最大值為 ,y+1x+2的取值范圍是 .?
答案2 13,32
解析作出不等式組y-x+1≥0,x+y-2≤0,x≥0,y≥0對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.
由圖可知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2.
設(shè)z=y+1x+2
14、,則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(-2,-1)的斜率,由圖象知BD的斜率最小,AD的斜率最大,則z的最大值為2+10+2=32,最小值為0+11+2=13,即13≤z≤32.
故z=y+1x+2的取值范圍是13,32.
17.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y≤2x,y≥-2x,x≤3,
(1)求該不等式組表示的平面區(qū)域的面積;
(2)若目標(biāo)函數(shù)為z=x-2y,求z的最小值.
解畫出滿足不等式組的可行域如圖中陰影部分所示.
(1)易求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(3,6),(3,-6),
所以三角形OAB的面積為S△OAB=12×12×3=18.
(2)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y可化為y=x2-
15、z2,畫出直線y=x2及其平行線,當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),-z2的值最大,z的值最小.故z的最小值為3-2×6=-9.
18.已知函數(shù)f(x)=(3x-1)a-2x+b.
(1)若f23=203,且a>0,b>0,求ab的最大值;
(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)≤1恒成立,且2a+3b≥3,求z=a+b+2a+1的取值范圍.
解(1)∵f(x)=(3a-2)x+b-a,f23=203,
∴a+b-43=203,即a+b=8.
∴a+b≥2ab,4≥ab,ab≤16,
∵a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)等號(hào)成立,
∴(ab)max=16.
(2)∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)≤1恒成立,且2a+3b≥3,
∴f(0)≤1,f(1)≤1,且2a+3b≥3,即b-a≤1,b+2a≤3,2a+3b≥3,
滿足此不等式組的點(diǎn)(a,b)構(gòu)成圖中的陰影部分,
由圖可求得經(jīng)過兩點(diǎn)(a,b)與(-1,-1)的直線的斜率的取值范圍是25,2.∴z=a+b+2a+1=b+1a+1+1的取值范圍是75,3.
9
（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 考點(diǎn)規(guī)范練32 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題
