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1、大題精做9 圓錐曲線：存在性問題
[2019·株洲一模]已知，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，
且軸，的周長為6．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，設為坐標原點，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請說明理由．
【答案】（1）；（2）當時，．
【解析】（1）由題意，，，，
∵的周長為6，∴，
∴，，∴橢圓的標準方程為．
（2）假設存在常數(shù)滿足條件．
①當過點的直線的斜率不存在時，，，
∴，
∴當時，；
②當過點的直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，
聯(lián)立，化簡得，
∴，．
∴
，
∴，解得，即時，；
綜上所述，當時，．
2、
1．[2019·宜昌調(diào)研]已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點的直線與橢圓交于、兩點，是橢圓的上焦點．
問：是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
2．[2019·江西聯(lián)考]已知點為拋物線的焦點，拋物線上的點滿足(為坐標原點)，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線交于不同的兩點，，是否存在實數(shù)及定點，對任意實數(shù)，
都有？若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，請說明理由．
3．[2019·廣州一
3、模]已知動圓過定點，且與定直線相切．
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）過點的任一條直線與軌跡交于不同的兩點，，試探究在軸上是否存在定點（異于點），使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．
1．【答案】（1）；（2）存在直線或．
【解析】（1）∵，，且有，解得，，
∴橢圓的方程為．
（2）由題可知的斜率一定存在，設為，設，，
聯(lián)立，
∴，
∵，∴為線段的中點，∴……④，
將④代入②解得……⑤
將④代入③得……⑥
將⑤代入⑥解得……⑦
將⑦式代入①式檢驗成立，
∴，即存在直線或合題意．
2．【答案】（1）；（2）存在及點，對
4、任意實數(shù)，都有．
【解析】（1）由得點橫坐標為，
由拋物線定義及得，，所以，
所以拋物線的方程為．
（2）假設存在實數(shù)及定點，對任意實數(shù)，都有，
設，，，
聯(lián)立，得，
則，，，
由，得
，
所以，，，當時不滿足題意，所以，
即存在及點，對任意實數(shù)，都有．
3．【答案】（1），（2）見解析．
【解析】（1）解法1：依題意動圓圓心到定點的距離與到定直線的距離相等，
由拋物線的定義，可得動圓圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其中．
動圓圓心的軌跡的方程為．
解法2：設動圓圓心，依題意：．
化簡得，即為動圓圓心的軌跡的方程．
（2）假設存在點滿足題設條件．
由可知，直線與的斜率互為相反數(shù)，即①
直線的斜率必存在且不為0，設，
由，得．由，得或．
設，，則，．
由①式得，
，即．
消去，，得，，
，，存在點使得．
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2019高考數(shù)學三輪沖刺 大題提分 大題精做9 圓錐曲線：存在性問題 文
