清華數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)試題八蒙特卡羅方法龍格庫塔方法

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1、考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 2005.6.15下午 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 得分 [說明] （1）第一、二、三題的答案直接填在試題紙上； （2）第四題將數(shù)學(xué)模型、簡要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時(shí)，請(qǐng)寫在背面； （3）除非特別說明，所有計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字。 （4）考試時(shí)間為120分鐘。 一、（10分）某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，1千克原料在甲類設(shè)備上用12小時(shí)可生產(chǎn)3件A，可獲凈利潤64元；在乙類設(shè)備上用8

2、小時(shí)可生產(chǎn)4件B，可獲凈利潤54元。該廠每天可獲得55千克原料，每天總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，且甲類設(shè)備每天至多能生產(chǎn)80件A。試為該廠制訂生產(chǎn)計(jì)劃使每天的凈利潤最大。 1） 以生產(chǎn)A、B產(chǎn)品所用原料的數(shù)量x1、x2（千克）作為決策變量，建立的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是： 決策變量： 生產(chǎn)A原料x1；生產(chǎn)B原料x2 目標(biāo)函數(shù)： y=64*x1+54*x2 約束條件： x1+x2 ≤55 12*x1+8*x2≤480 3*x1≤80 x1,x20 基本模型： max(y)= 64*x1+54*x2 s.t. x1+x

3、2 ≤55 12*x1+8*x2≤480 3*x1≤80 x1,x20 c=[64 54]; A1=[ 1 1 ; 12 8 ; 3 0]; b1=[55;480;80]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1) lag.ineqlin 輸出結(jié)果: x =10.000000004005848 44.999999993870908 z =-3.069999999925403e+003 ans = 33.999999998919357

4、 2.500000000140441 0.000000000278405 2） 每天的最大凈利潤是___3070__元。若要求工人加班以增加勞動(dòng)時(shí)間，則加班費(fèi)最多 為每小時(shí)__2.5__元。若A獲利增加到26元/件，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？____不變___ c=[78 54]; A1=[ 1 1 ; 12 8 ; 3 0]; b1=[55;480;80]; v1=[0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1) x = 9.999999999999400 45.00000

5、0000000625 z =-3.209999999999987e+003 二、(10分) 已知常微分方程組初值問題 試用數(shù)值方法求__ 1.73205____(保留小數(shù)點(diǎn)后5位數(shù)字)。你用的MATLAB命令是______ ode45(@ff, ts,y0)______，其精度為____四階__。 %待解常微分方程組函數(shù)M文件源程序： function dy=ff (x,y) dy=[y(2);-y(2)./x-y(1)*(x.^2-0.25)/(x.^2)]; %應(yīng)用歐拉方法和龍格-庫塔方法求解該常微分方程： t

6、s=pi/2:- pi/12:pi/6; ！?。?！步長必須是可以整除步長區(qū)間長度的數(shù) y0=[2,-2/pi]; [x,y]=ode45(@ff, ts,y0); %龍格-庫塔方法求數(shù)值解 [x, y(:,1)] 輸出結(jié)果： 0.523598775598299 1.732050795523993 三、 (10分) 已知線性代數(shù)方程組Ax=b, 其中 , , , 若方程組右端項(xiàng)有小擾動(dòng)，試根據(jù)誤差估計(jì)式估計(jì)___0.0743___（分別表示原問題的解和右端項(xiàng)小擾動(dòng)后對(duì)應(yīng)的解的變化量）；若取初值，則用高斯-賽德爾迭代法求解Ax=b時(shí)，_(1.7160, 0.3926,

7、-0.1306, 0.1381)_；對(duì)本題而言，此迭代方法是否收斂___是__，原因是__譜半徑ρ(B)=0.397<1__。 線性代數(shù)方程組解的誤差分析： 故其誤差上限為： A=[5 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 31 -1 ;2 1 0 23]; b=[6 3 4 7]; db=[0 0 0 0.1]; d=cond(A,1)*norm(db,1)/norm(b,1) 輸出結(jié)果: d =0.074339065208930 A=[5 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 31 -1 ;2 1 0 23]; D=diag(dia

8、g(A)); %從稀疏矩陣A中提取D L=-tril(A,-1); %從稀疏矩陣A中提取L U=-triu(A,1); %從稀疏矩陣A中提取U b=[6 3 4 7]'; %設(shè)定方程組右端項(xiàng)向量 x= zeros(4,1)

9、; %設(shè)定方程組初始向量 m= inv(D-L)*U; n= inv(D-L)*b; %高斯-賽德爾迭代法 for j2=1:5 y=m*(x(:,j2)); for i=1:4 x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:);

10、 end end t2=x(:,end) %輸出迭代法最終結(jié)果 j2 輸出結(jié)果: t2 = 1.715972347226445 0.392646824062879 -0.130571100623047 0.138061238325401 判斂: lamda=eig(inv(D-L)*U) pubanjing=max(abs(lamda)) 輸出結(jié)果: pubanjing =

11、0.396832340862002 四、（20分）炮彈射擊的目標(biāo)為一橢圓形區(qū)域，在X方向半軸長110m，Y方向半軸長90m.當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)的中心發(fā)射炮彈時(shí)，在眾多隨機(jī)因素的影響下，彈著點(diǎn)服從以目標(biāo)中心為均值的二維正態(tài)分布，設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在X方向和Y方向分別為70m和50m。今測得一組彈著點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)如下： X -6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8 56.9 Y 28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 X 100.

12、9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2 Y -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5 1) 根據(jù)這組數(shù)據(jù)對(duì)X方向和Y方向的均值和均方差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（設(shè)顯著性水平為0.05）。 均值假設(shè)檢驗(yàn): H0:μ=0;H1:μ≠0； x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2];

13、y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h1=ztest(x,0,70) h2=ztest(y,0,50) 輸出結(jié)果： h1 =0 h2 =0 方差假設(shè)檢驗(yàn): H0：σ2=σ02；H1：σ2≠σ02； x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2];

14、 y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; function [h]=ktest(x,s0,alpha,tail) n=length(x); k=(n-1)*var(x)/(s0^2) %χ2分布檢驗(yàn)方差 if tail==0 k1=chi2inv(alpha/2,n-1) k2=chi2inv(1-alpha/2,n-1) if k>=k1&k<

15、=k2 h=0; else h=1; end end if tail==1 k0=chi2inv(1-alpha,n-1) if k<=k0 h=0; else h=1; end end if tail==-1 k0=chi2inv(alpha,n-1) if k>=k0 h=0; else h=1; end h1=ktest(x,70,0.05,0) h2=ktest(y,50,0.05,0) 輸出結(jié)果： h1 =0 h2 =0 2) 根據(jù)這組數(shù)據(jù)給出隨機(jī)變量X和Y相關(guān)系數(shù)的一個(gè)點(diǎn)

16、估計(jì)。 相關(guān)系數(shù)點(diǎn)估計(jì)： x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.9 -47.6 -120.8 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; r=corrcoef(x,y) 輸出結(jié)果： r= 0.313412305102197 3) 用蒙特卡羅方法求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率

17、（取10000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；請(qǐng)附程序）。 %炮彈命中橢圓形區(qū)域概率源程序： a=110; b=90; sx=70; sy=50; r=0.3134123; z=0; n=10000; x=unifrnd(-a,a,1,n); y=unifrnd(-b,b,1,n); for i=1:n if (x(i)^2)/(a^2)+y(i)^2/(b^2)<=1 u=exp(-0.5/(1-r^2)*(x(i)^2/sx^2-2*r*x(i)*y(i)/(sx*sy)+y(i)^2/sy^2)); z=z+u; end en

18、d P=4*a*b*z/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r^2)*n) 輸出結(jié)果： P = 0.761272218724379 考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 2005.6.15下午 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 得分 [說明] （1）第一、二、三題的答案直接填在試題紙上； （2）第四題將數(shù)學(xué)模型、簡要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時(shí)，請(qǐng)寫在背面； （3）除非特別說明，所有計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后

19、保留4位數(shù)字。 （4）考試時(shí)間為120分鐘。 一、（10分）某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，1千克原料在甲類設(shè)備上用12小時(shí)可生產(chǎn)3件A，可獲凈利潤64元；在乙類設(shè)備上用8小時(shí)可生產(chǎn)4件B，可獲凈利潤56元。該廠每天可獲得55千克原料，每天總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，且甲類設(shè)備每天至多能生產(chǎn)80件A。試為該廠制訂生產(chǎn)計(jì)劃使每天的凈利潤最大。 1） 以生產(chǎn)A、B產(chǎn)品所用原料的數(shù)量x1、x2（千克）作為決策變量，建立的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是： 2） 每月的最大凈利潤是_____________元。若要求工人加班以增加勞動(dòng)時(shí)間，則加班費(fèi)最多 為每小時(shí)__________元。若A獲利增加到27元/件，應(yīng)否改變

20、生產(chǎn)計(jì)劃？_____________ 二、(10分) 已知常微分方程組初值問題 試用數(shù)值方法求_______________________(保留小數(shù)點(diǎn)后5位數(shù)字)。你用的MATLAB命令是__________________________________________，其精度為_____________。 三、(10分) 已知線性代數(shù)方程組Ax=b, 其中 , , , 若方程組右端項(xiàng)有小擾動(dòng)，試根據(jù)誤差估計(jì)式估計(jì)_____________ （分別表示原問題的解和右端項(xiàng)小擾動(dòng)后對(duì)應(yīng)的解的變化量）；若取初值，則用高斯-賽德爾迭代法求解Ax=b時(shí)，_____________

21、_______________________________；對(duì)本題而言，此迭代方法是否收斂_________________，原因是__________________________________。 四、（20分）炮彈射擊的目標(biāo)為一橢圓形區(qū)域，在X方向半軸長100m，Y方向半軸長80m.當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)的中心發(fā)射炮彈時(shí)，在眾多隨機(jī)因素的影響下，彈著點(diǎn)服從以目標(biāo)中心為均值的二維正態(tài)分布，設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在X方向和Y方向分別為70m和50m。今測得一組彈著點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)如下： X -6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6

22、 -100.8 56.9 Y 28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 X 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2 Y -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5 1） 根據(jù)這組數(shù)據(jù)對(duì)X方向和Y方向的均值和均方差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（設(shè)顯著性水平為0.05）。 2） 根據(jù)這組數(shù)據(jù)給出隨機(jī)變量X和Y相關(guān)系數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。 3） 用蒙特卡羅方法求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率

23、（取10000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；請(qǐng)附程序）。 考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2005.6.15 A卷（班級(jí)-姓名-學(xué)號(hào)-得分） 一、1） （如果進(jìn)一步要求3x1和4x2為非負(fù)整數(shù)，不扣分） 2）3070元，2.5元；不變 二、1.73203(或1.73205), ode23(或ode45)，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) （不寫3級(jí)(或5級(jí)）不扣分；個(gè)別同學(xué)可能用其他命令，則結(jié)果相應(yīng)略有變化) 三、0.0743, [1.7160, 0.3926, -0.1306, 0.

24、1381]’, 收斂,譜半徑為0.3968<1 （不寫出譜半徑的具體數(shù)值不扣分，但寫錯(cuò)要扣分） 四、1）對(duì)均值做的假設(shè)為 (X,Y方向相同) X,Y方向均接受H0 對(duì)X方向的方差做的假設(shè)為 H0: =4900, H0: 4900（如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分） 接受H0 對(duì)Y方向的方差做的假設(shè)為 H0: =2500, H0: 2500（如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分）接受H0 2) 相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)為0.313 （用r=corrcoef(x,y)命令） 3)大約0.76，結(jié)果具有隨機(jī)性 [附]主要程序示例： %1)~2) x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -

25、49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8(%B-100.8) 56.9 100.9 47 9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; h1=ztest(x,0,70), %x方向均值檢驗(yàn) y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h2=ztest(y,0,50), %Y方向均值檢驗(yàn) r=corrcoef(x,y) %相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì) pause n=20; alp

26、ha=0.05; sx2=var(x),sx0=70; chi2=(n-1)*sx2/(sx0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end sy2=var(y),sy0=50; chi2=(n-1)*sy2/(sy0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end %3) a=0.7;b=0.5;m=0;z=0; p=0.313;c=1.1;d=0.9;%A %

27、p=0.311;c=1; d=0.8; %B n=10000; for i=1:n x=2*rand(1,2)-1; y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(-0.5/(1-p*p)*(c^2*x(1)^2/a^2+d^2*x(2)^2/b^2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b)); z=z+y; m=m+1; end end P=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,m B卷（班級(jí)-學(xué)號(hào)-姓名） 一、1） 2）3160元； 2元；不變 二、

28、1.53077 (或1.53073), 龍格-庫塔方法ode23(或ode45)，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) 三、0.0826, [2.3416,0.5359,-0.2961,-0.0095]’, 收斂, 譜半徑為0.3968<1 四、1)同A卷。2)0.311; 3) 大約0.69，結(jié)果具有隨機(jī)性 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 一、1)5分(每個(gè)式子一分)，2)前兩空每空2分，最后一空1分。 二、第一空6分，后兩空每空2分。 三、第一空3分，中間一空5分，最后兩空每空1分。 四、1)8分（4個(gè)檢驗(yàn)每個(gè)2分）；2）2分； 3）10分（看程序及結(jié)果分析：積分表達(dá)式2分，程序5分，結(jié)果3分）

29、 考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2005.6.15 A卷（班級(jí)-姓名-學(xué)號(hào)-得分） 一、1） （如果進(jìn)一步要求3x1和4x2為非負(fù)整數(shù)，不扣分） 2）3070元，2.5元；不變 二、1.73203(或1.73205), ode23(或ode45)，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) （不寫3級(jí)(或5級(jí)）不扣分；個(gè)別同學(xué)可能用其他命令，則結(jié)果相應(yīng)略有變化) 三、0.0743, [1.7160, 0.3926, -0.1306, 0.1381]’, 收斂,譜半徑為0.3968<1 （不寫出譜半徑的具體數(shù)值不扣分，但寫錯(cuò)要扣分） 四、1

30、）對(duì)均值做的假設(shè)為 (X,Y方向相同) X,Y方向均接受H0 對(duì)X方向的方差做的假設(shè)為 H0: =4900, H0: 4900（如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分） 接受H0 對(duì)Y方向的方差做的假設(shè)為 H0: =2500, H0: 2500（如果做單側(cè)檢驗(yàn)，可不扣分）接受H0 2) 相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)為0.313 （用r=corrcoef(x,y)命令） 3)大約0.76，結(jié)果具有隨機(jī)性 [附]主要程序示例： %1)~2) x=[-6.3 -71.6 65.6 -79.2 -49.7 -81.9 74.6 -47.6 -120.8(%B-100.8) 56.9 100.9 47

31、9.7 -60.1 -52.7 86 80.6 -42.6 56.4 15.2]; h1=ztest(x,0,70), %x方向均值檢驗(yàn) y=[28.9 1.6 61.7 -68 -41.3 -30.5 87 17.3 -17.8 1.2 -12.6 39.1 85 32.7 28.1 -9.3 -4.5 5.1 -32 -9.5]; h2=ztest(y,0,50), %Y方向均值檢驗(yàn) r=corrcoef(x,y) %相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)估計(jì) pause n=20; alpha=0.05; sx2=var(x),sx0=70; chi2=(n-1)*sx2/(sx0^2)

32、 chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end sy2=var(y),sy0=50; chi2=(n-1)*sy2/(sy0^2) chi2alpha=chi2inv(1-alpha,n-1) if chi2<=chi2alpha H0=0 else H0=1 end %3) a=0.7;b=0.5;m=0;z=0; p=0.313;c=1.1;d=0.9;%A % p=0.311;c=1; d=0.8; %B n=10000; for i=1:n x=2*r

33、and(1,2)-1; y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(-0.5/(1-p*p)*(c^2*x(1)^2/a^2+d^2*x(2)^2/b^2-2*p*c*d*x(1)*x(2)/a/b)); z=z+y; m=m+1; end end P=4*c*d*z/2/pi/a/b/sqrt(1-p*p)/n,m B卷（班級(jí)-學(xué)號(hào)-姓名） 一、1） 2）3160元； 2元；不變 二、1.53077 (或1.53073), 龍格-庫塔方法ode23(或ode45)，3級(jí)2階(或5級(jí)4階) 三、0.0826, [2.3416,0.5359,-0.2961,-0.0095]’, 收斂, 譜半徑為0.3968<1 四、1)同A卷。2)0.311; 3) 大約0.69，結(jié)果具有隨機(jī)性 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 一、1)5分(每個(gè)式子一分)，2)前兩空每空2分，最后一空1分。 二、第一空6分，后兩空每空2分。 三、第一空3分，中間一空5分，最后兩空每空1分。 四、1)8分（4個(gè)檢驗(yàn)每個(gè)2分）；2）2分； 3）10分（看程序及結(jié)果分析：積分表達(dá)式2分，程序5分，結(jié)果3分）