高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 9 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文

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9. 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l和圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的任意一點． (1)求圓心的極坐標(biāo)； (2)求△PAB面積的最大值． 解 (1)圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 所以圓心坐標(biāo)為(1，－1)，圓心極坐標(biāo)為. (2)直線l的普通方程為：2x－y－1＝0，圓心到直線l的距離d＝＝， 所以|AB|＝2＝， 點P到直線AB距離的最大值為r＋d＝＋＝， 故最大面積Smax＝＝. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點P(2,0)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的方程為x2＋y2＝9.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA||PB|的值． 解 (1)直線l的普通方程為x＋y－2＝0， 將代入得，ρcosθ＋ρsinθ－2＝0， 整理得直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝1. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝3. (2)直線l的參數(shù)方程為，將其代入x2＋y2＝9得4t2－4t－5＝0， 所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 解 (1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0. 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2， 解得m＝－32. 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系中的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin＝t(t為參數(shù))． (1)求曲線M的普通方程和曲線N的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線N與曲線M有公共點，求t的取值范圍． 解 (1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝2cos2α＋2sinαcosα＋1， 所以曲線M可化為y＝x2－1，x∈， 由ρsin＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t， 所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲線N可化為x＋y＝t. (2)若曲線M，N有公共點，則當(dāng)直線N過點(2,3)時滿足要求，此時t＝5，并且向左下方平行移動直到相切之前總有公共點，相切時仍然只有一個公共點， 聯(lián)立，得x2＋x－1－t＝0， 由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－. 綜上可求得t的取值范圍是－≤t≤5. 5．已知直線l：5(t為參數(shù))上一點P，橢圓C：(θ為參數(shù))上一點Q，求|PQ|的最大值以及此時點Q的坐標(biāo)． 解 直線l：5(t為參數(shù))的普通方程為2x－y＋4＝0，橢圓C：(θ為參數(shù))上一點Q到直線的距離為d＝＝＝＝， 其中cosφ＝，sinφ＝－， 當(dāng)sin(θ＋φ)＝－1，即θ＋φ＝，θ＝－φ時，dmax＝.此時cosθ＝cos＝－sinφ＝， sinθ＝sin＝－cosφ＝－， 所以即橢圓上的點Q的坐標(biāo)為. 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓C1與圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點的極坐標(biāo)； (2)求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程． 解 (1)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ， 由得ρ＝2，θ＝2kπ，其中k∈Z， 故圓C1與圓C2交點的極坐標(biāo)為，，其中k∈Z. (2)由(1)可知圓C1與圓C2的交點在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(1，)，(1，－)， 故圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程為