高中數(shù)學(xué) 3_2 古典概型學(xué)案 蘇教版必修31

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3.2　古典概型 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．知道基本事件的特點(diǎn)． 2．理解古典概型的定義． 3．會(huì)應(yīng)用古典概型的概率公式解決實(shí)際問題. 重點(diǎn)：理解古典概型的定義． 難點(diǎn)：會(huì)用古典概型的概率公式解決實(shí)際問題. 1．基本事件 (1)在1次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件．(2)若在1次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件． 預(yù)習(xí)交流1 在擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次的試驗(yàn)中，其基本事件是什么？每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相同嗎？ 提示：該試驗(yàn)的基本事件是“出現(xiàn)正面向上，正面向上”、“出現(xiàn)正面向上，反面向上”、“出現(xiàn)反面向上，正面向上”、“出現(xiàn)反面向上，反面向上”．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相同． 2．古典概型 (1)所有的基本事件只有有限個(gè)；(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．我們將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型．古典概型的特征是有限性和等可能性． 預(yù)習(xí)交流2 “在區(qū)間[0,5]上，任取一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)恰好為1的概率”．這個(gè)概率模型是古典概型嗎？ 提示：不是．因?yàn)樵趨^(qū)間[0,5]上任取一個(gè)數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，故其基本事件有無限個(gè)，所以不是古典概型． 3．古典概型的概率計(jì)算公式 如果1次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是.如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝. 預(yù)習(xí)交流3 古典概型的概率計(jì)算公式與隨機(jī)事件頻率的計(jì)算公式有什么區(qū)別？ 提示：古典概型的概率公式P(A)＝，與隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率有本質(zhì)的區(qū)別，其中P(A)＝是一個(gè)定值，且對(duì)同一試驗(yàn)的同一事件，m，n均為定值，而頻率中的m，n均隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，但頻率總接近于P(A)． 預(yù)習(xí)交流4 (1)袋中裝白球和黑球各3個(gè)，從中任取2個(gè)，則取出的全是白球的概率是__________． (2)在兩個(gè)袋內(nèi)，分別裝著寫有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字的6張卡片．今從每個(gè)袋中各任取一張卡片，則兩數(shù)之和等于5的概率為__________． (3)擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，則擲得奇數(shù)點(diǎn)的概率為__________． 提示：(1)　(2)　(3) 一、古典概型概念的理解 下列試驗(yàn)是否屬于古典概型？ (1)一個(gè)盒子中有三個(gè)除顏色外完全相同的球，其中紅球、黃球、黑球各一個(gè)，從中任取一球，“取出的是紅球”、“取出的是黃球”、“取出的是黑球”； (2)向一個(gè)圓內(nèi)隨機(jī)的投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的． 思路分析：由題目可獲取以下主要信息：①給出兩個(gè)具體的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?；②判斷兩試?yàn)是否屬于古典概型．解答本題可根據(jù)古典概型的兩個(gè)特征進(jìn)行判斷． 解：(1)中給出三個(gè)隨機(jī)事件，由于球除顏色外完全相同，因此這三個(gè)事件是等可能的，且試驗(yàn)結(jié)果個(gè)數(shù)是有限的，因此屬于古典概型． (2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是圓內(nèi)的所有點(diǎn)，是無限的，因此這個(gè)試驗(yàn)不屬于古典概型． 1．下列屬于古典概型的是__________． ①任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件； ②求任意一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件； ③從甲地至乙地共有n條路線，求某人正好選中最短路線的概率； ④拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣到首次出現(xiàn)正面為止的次數(shù)． 答案：③ 解析：①中兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的機(jī)會(huì)不均等，不滿足等可能性；②中的基本事件數(shù)是無限的；④中到首次出現(xiàn)正面是不確定的，有可能一直拋下去不出現(xiàn)正面，不滿足有限性． 2．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，寫出所有的基本事件，并判斷其是否是古典概型． 解：有6個(gè)基本事件，分別是“出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)2點(diǎn)”…“出現(xiàn)6點(diǎn)”．因?yàn)轺蛔拥馁|(zhì)地均勻，所以每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的，故它是古典概型． 3．一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀都相同的球，其中3個(gè)黑球，7個(gè)白球，從中隨機(jī)取一個(gè)球，求這個(gè)球是黑球的概率．這樣的問題可以用古典概型來處理嗎？請(qǐng)說明理由． 解：可以．滿足古典概型的兩個(gè)基本特征： (1)可以摸出的球的結(jié)果只有10個(gè)，即10個(gè)球中的任意一個(gè)； (2)每個(gè)球被摸到的可能性是相同的．所以可以用古典概型來處理． 古典概型是最簡(jiǎn)單而又最基本的概率模型，判斷一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征：一是對(duì)于每次隨機(jī)試驗(yàn)來說，只可能出現(xiàn)有限個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果；二是對(duì)于上述所有不同試驗(yàn)結(jié)果而言，它們出現(xiàn)的可能性是相等的．基本事件是試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來表示．在等可能基本事件中每個(gè)基本事件的發(fā)生的可能性都相同，并且在同一個(gè)試驗(yàn)中任意兩個(gè)基本事件都不可能同時(shí)發(fā)生． 二、基本事件的計(jì)數(shù)問題 一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出兩個(gè)球． (1)共有多少個(gè)基本事件？ (2)事件“兩個(gè)都是白球”包含幾個(gè)基本事件？ 思路分析：解答本題可先列出摸出兩球的所有基本事件，再數(shù)出“兩個(gè)均為白球”的基本事件數(shù)． 解：(1)方法一：采用列舉法分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)基本事件(其中(1,2)表示摸到1號(hào)、2號(hào)球)． 方法二：采用列表法 設(shè)5個(gè)球的編號(hào)為：a，b，c，d，e，其中a，b，c為白球，d，e為黑球． 列表如下： 由于每次取兩個(gè)球，每次所取兩個(gè)球不相同，而(b，a)與(a，b)是相同的事件，故共有10個(gè)基本事件． (2)方法一中“兩個(gè)都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3),3個(gè)基本事件． 方法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a),3個(gè)基本事件． 1．某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)興趣小組，某學(xué)生只選報(bào)其中的2個(gè)，則基本事件共有__________個(gè)． 答案：3 解析：該學(xué)生選數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)，或數(shù)學(xué)、航空模型，或計(jì)算機(jī)、航空模型，共有3個(gè)基本事件． 2．從分別寫有字母A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，“這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰”這一事件包含的基本事件是__________． 答案：取到的是AB、取到的是BC、取到的是CD、取到的是DE 解析：由題意知，取到的2張卡片上的字母可能為：AB，BC，CD，DE. 3．一個(gè)不透明的口袋中裝有大小、形狀都相同的1個(gè)白球和3個(gè)編有不同號(hào)碼的黑球，從中任意摸出2個(gè)球． (1)寫出所有的基本事件； (2)求事件“摸出的2個(gè)球是黑球”包含多少個(gè)基本事件？ 解：4個(gè)球的大小、形狀都相同，摸出每個(gè)球的可能性是相等的．記3個(gè)黑球分別為1,2,3號(hào)． (1)從裝有4個(gè)球的口袋中摸出2個(gè)球，基本事件共有6個(gè)：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)． (2)摸出的2個(gè)球是黑球，有如下3個(gè)基本事件：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)． 求基本事件個(gè)數(shù)的方法： (1)列舉法或列表法，此法適合于較簡(jiǎn)單的試驗(yàn)題目； (2)樹狀圖法，樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合較復(fù)雜問題中基本事件的求法． 不論用哪種方法，要注意不重復(fù)不遺漏． 三、古典概型概率的求法 袋中有6個(gè)球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率： (1)A：取出的兩球都是白球； (2)B：取出的兩球1個(gè)是白球，另1個(gè)是紅球． 思路分析：按求古典概型的概率的計(jì)算步驟，先用列舉法列舉出所有的基本事件及事件A，B所包含的基本事件，再由公式P(A)＝求出概率． 解：設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1,2,3,4,2個(gè)紅球的編號(hào)為5,6.從袋中的6個(gè)小球中任取兩個(gè)球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種． (1)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，所取的兩球全是白球的取法總數(shù)，即是從4個(gè)白球中任取兩個(gè)的取法總數(shù)，共有6種，為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． ∴取出的兩個(gè)球全是白球的概率為P(A)＝＝； (2)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，其中一個(gè)是紅球，而另一個(gè)是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8種． ∴取出的兩個(gè)球一個(gè)是白球，一個(gè)是紅球的概率為P(B)＝. 1．有100張卡片(從1號(hào)到100號(hào))，從中任取1張，取到卡號(hào)是7的倍數(shù)的概率為__________． 答案： 解析：有100張卡片(從1號(hào)到100號(hào))，從中任取1張，有100種取法，而卡號(hào)是7的倍數(shù)的有14種，所以所求概率為. 2．某國際科研合作項(xiàng)目由兩個(gè)美國人、一個(gè)法國人和一個(gè)中國人共同開發(fā)，現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩人作為成果發(fā)布人，則選出的兩人中有中國人的概率是__________． 答案： 解析：兩個(gè)美國人分別用a1和a2表示，法國人用b表示，中國人用c表示．這個(gè)試驗(yàn)的基本事件共有6個(gè)：(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)．記事件A＝“選出的兩人中有中國人”，則P(A)＝＝. 3．(2012天津高考)某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查． (1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目； (2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析， ①列出所有可能的抽取結(jié)果； ②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率． (1)解：從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1. (2)①解：在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種． ②解：從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種． 所以P(B)＝＝. (1)求古典概型的概率可按下面四個(gè)步驟進(jìn)行： 第一，仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意． 第二，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A. 第三，分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m. 第四，利用公式P(A)＝求出事件A的概率． (2)求基本事件個(gè)數(shù)的基本方法是列舉法．基本事件的特點(diǎn)：①是不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件；②不同的基本事件在同一試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生．因此求基本事件時(shí)，一定要從可能性入手，對(duì)照基本事件的含義及特征，將所有可能的基本事件一一列舉出來，做到不重不漏． 1．某小組共9人，分得一張演出的入場(chǎng)券，組長將一張寫有“得票”字樣和八張寫有“不得票”字樣的紙簽混合后讓大家依次各抽取一張，以決定誰得入場(chǎng)券，則下列說法正確的序號(hào)是______． ①第一個(gè)抽簽者得票的概率最大 ②第五個(gè)抽簽者得票的概率最大 ③每個(gè)抽簽者得票的概率相同 ④最后抽簽者得票的概率最小 答案：③ 解析：根據(jù)古典概型的特征可知，“每個(gè)抽簽者得票的概率相同”，此即抽簽具有公平性原則．因?yàn)槌楹灧ㄊ呛?jiǎn)單隨機(jī)抽樣，所以是等概率抽樣，故③正確． 2．同時(shí)投擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件A包含的基本事件總數(shù)是______． 答案：6 解析：由題意知1≤x≤6,1≤y≤6，x＋y＜5且x∈Z，y∈Z，所以事件A包含的基本事件為：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)共6個(gè)． 3．利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查了某校200名學(xué)生，其中戴眼鏡的同學(xué)有123人，若在這個(gè)學(xué)校隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，則他戴眼鏡的概率是______． 答案：0.615 解析：因?yàn)楹?jiǎn)單隨機(jī)抽樣是等可能抽樣，所以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，即＝0.615. 4．從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________． 答案： 解析：四個(gè)數(shù)任取兩個(gè)數(shù)包含6個(gè)基本事件，一數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍，只有1,2與2,4兩種情況，即包含2個(gè)基本事件．由古典概型的概率公式知P＝＝＝. 5．判斷下列試驗(yàn)是否是古典概型，并說明理由： (1)從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大??； (2)同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率； (3)近三天中有一天降雨的概率； (4)10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率． 解：(1)(2)(4)是古典概型．因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn)——有限性和等可能性；(3)不是古典概型．因?yàn)椴环系瓤赡苄裕芏喾矫嬉蛩赜绊懀?