高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2_3 等比數(shù)列 第4課時(shí) 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 新人教B版必修5

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2017春高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等比數(shù)列 第4課時(shí) 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 新人教B版必修5 基 礎(chǔ) 鞏 固 一、選擇題 1．在如圖的表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為(　A　) 1 2 1 a b c A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 [解析]　由題意知a＝，b＝，c＝，故a＋b＋c＝1. 2．若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝n2，則{an}是(　B　) A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C．等差數(shù)列，但也是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列 [解析]　Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)， 又a1＝S1＝1滿足上式，∴an＝2n－1(n∈N*) ∴an＋1－an＝2(常數(shù)) ∴{an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，故應(yīng)選B． 3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝27，則S9＝(　C　) A．81 B．72 C．63 D．54 [解析]　∵S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，∴9,18，S9－27成等比數(shù)列，∴182＝9(S9－27)，∴S9＝63.故選C． 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝(　A　) A．1 B．9 C．10 D．55 [解析]　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1. 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1. 即當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝1，∴a10＝1. 5．某人有人民幣a元作股票投資，購買某種股票的年紅利為24%(不考慮物價(jià)因素且股份公司不再發(fā)行新股票，該種股票的年紅利不變)，他把每年的利息和紅利都存入銀行，若銀行年利率為6%，則n年后他所擁有的人民幣總額(不包括a元的投資)為(　A　) A．4a(1.06n－1)元 B．a(chǎn)(1.06n－1)元 C．0.24a(1＋6%)n－1元 D．4(1.06n－1)元 [解析]　設(shè)n年后他擁有的紅利與利息之和為an元，則 a1＝a24%＝0.24a， a2＝a24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a1.06， a3＝a24%＋a21.06＝0.24a＋0.24a1.06＋0.24a1.062， … an＝0.24a＋0.24a1.06＋0.24a1.062＋…＋0.24a1.06n－1 ＝0.24a(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06n－1) ＝0.24a ＝4a(1.06n－1)． 6．在數(shù)列{an}中，a1，a2，a3成等差數(shù)列，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，則a1，a3，a5(　B　) A．成等差數(shù)列 B．成等比數(shù)列 C．倒數(shù)成等差數(shù)列 D．不確定 [解析]　由題意，得2a2＝a1＋a3， a＝a2a4，① ＝＋.② ∴a2＝，代入①得，a4＝③ ③代入②得，＝＋，∴＋＝＋， ∴a＝a1a5. 二、填空題 7．設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為－. [解析]　由條件：S1＝a1， S2＝a1＋a2＝a1＋a1＋d＝2a1－1， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝4a1－6， ∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)， 即4a＋1－4a1＝4a－6a1，∴a1＝－. 8．所有正奇數(shù)按如下數(shù)表排列(表中下一行中數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍)，則第6行中的第3個(gè)數(shù)是67. 第一行　1　 第二行　3　5 第三行　7　9　11　13 …… [解析]　設(shè)所有正奇數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，an＝2n－1，由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34及數(shù)表結(jié)構(gòu)可知所求的數(shù)為a34，∴第6行中的第3個(gè)數(shù)為a34＝234－1＝67. 三、解答題 9．已知等差數(shù)列{an}的公差不為0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2. [解析]　(1)設(shè)公差為d，由題意，得 a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)． ∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)(n－1)＝27－2n. (2)由(1)知a3n－2＝31－6n， ∴數(shù)列a1，a4，a7，a10，…，是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列． 令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2 ＝＝－3n2＋28n. 10．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解析]　(1)設(shè)公比為q(q>0)， ∵a1＝2，a3＝a2＋4， ∴a1q2－a1q－4＝0， 即q2－q－2＝0，解得q＝2， ∴an＝2n. (2)由已知得bn＝2n－1， ∴an＋bn＝2n＋(2n－1)， ∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1) ＝＋ ＝2n＋1－2＋n2. 能 力 提 升 一、選擇題 1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于(　A　) A．6 B．7 C．8 D．9 [解析]　設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由由a4＋a6＝－6得2a5＝－6， ∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2， ∴Sn＝－11n＋2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故當(dāng)n＝6時(shí)Sn取最小值，故選A． 2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4＝(　C　) A．7 B．8 C．15 D．16 [解析]　設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，得4a2＝4a1＋a3， ∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a1＝1， ∴q2－4q＋4＝0，q＝2. ∴S4＝＝15. 3．已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1,2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　C　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 [解析]　由已知，得an＝2n，log2a2n－1＝2n－1， ∴l(xiāng)og2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 4．等比數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則an＋1等于(　B　) A． B． C．20 D．110 [解析]　由題意知：S奇＝a1a3…a2n＋1＝100， S偶＝a2a4…a2n＝120， ∴＝a1＝a1qn＝an＋1， ∴an＋1＝＝. 二、填空題 5．已知a，b，c成等比數(shù)列，a，x，b成等差數(shù)列，b，y，c也成等差數(shù)列，則＋的值2. [解析]　b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c， ∴＋＝＋ ＝＝＝2. 6．在數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝an，則an＝. [解析]　∵Sn＝an① ∴Sn－1＝an－1(n≥2)②， ①－②得an＝an－an－1， ∴＝(n≥2) ∴＝，＝，＝，…，＝. 將上述n－1個(gè)式子相乘，得＝， 又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)． 又a1＝1滿足上式，∴an＝. 三、解答題 7．(2016全國卷Ⅲ文，17)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． [解析]　(1)由題意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 8．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，an＋1＝，n＝1,2，…. (1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. [解析]　(1)∵an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－1＝， 又a1＝，∴－1＝， ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知－1＝＝， 即＝＋1，∴＝＋n. 設(shè)Tn＝＋＋＋…＋，① 則Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得Tn＝＋＋…＋－ ＝－＝1－－， ∴Tn＝2－－.又1＋2＋3＋…＋n＝. ∴數(shù)列的前n項(xiàng)和 Sn＝2－＋＝－.