高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1_2 應(yīng)用舉例 第1課時 正、余弦定理在實際應(yīng)用中的應(yīng)用高效測評 新人教A版必修5

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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第1課時 正、余弦定理在實際應(yīng)用中的應(yīng)用高效測評 新人教A版必修5 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．如圖，為了測量A，B兩點間的距離，在地面上選擇適當?shù)狞cC，測得AC＝100 m，BC＝120 m，∠ACB＝60，那么A，B的距離為(　　) A．20 m　　　　　　 B．20 m C．500 m D．60 m 解析：　由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 60 ＝1002＋1202－2100120 ＝12 400， ∴AB＝20(m)，故選B. 答案：　B 2．在一座20 m高的觀測臺頂測得對面一水塔塔頂仰角為60，塔底俯角為45，那么這座塔的高為(　　) A．20m B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m 解析：　如圖，CD＝20，∠ACB＝60，∠BCE＝45， 則DE＝BC＝20 m. ∴AB＝BCtan 60＝20 m. ∴AE＝AB＋BE＝20＋20 ＝20(＋1)m. 即塔高為20(＋1)m. 故選B. 答案：　B 3．如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹梢的仰角為30，45，且A，B兩點之間的距離為60 m，則樹的高度h為(　　) A．(30＋30)m　　　　 B．(30＋15)m C．(15＋30)m D．(15＋3)m 解析：　由正弦定理可得＝， ∴PB＝＝， h＝PBsin 45＝＝(30＋30)m. 答案：　A 4．有三座小山A，B，C，其中A，B相距10 km，從A望C和B成60角，從B望C和A成75角，則B和C的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．5 km D．6 km 解析：　在△ABC中，由正弦定理可得＝， 即BC＝＝＝5. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．北京國慶閱兵式上舉行升旗儀式，如圖，在坡度為15的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60和30，且第一排和最后一排的距離為10 m，則旗桿的高度為________m. 解析：　設(shè)旗桿高為h m，最后一排為點A，第一排為點B，旗桿頂端為點C，則BC＝＝h. 在△ABC中，AB＝10，∠CAB＝45，∠ABC＝105， 所以∠ACB＝30， 由正弦定理，得＝，故h＝30(m)． 答案：　30 6．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D.測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30米，并在點C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB＝________. 解析：　由題意可知在△BCD中， ∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30， 則∠CBD＝180－∠BCD－∠BDC＝135. 由正弦定理可得 BC＝＝＝15. 又在Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠ACB＝60， ∴AB＝BCtan∠ACB＝15＝15(米)． 答案：　15米 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．如圖所示，港口A北偏東30方向的點C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31海里．該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達D處，測得CD為21海里．問此時輪船離港口A還有多少海里？ 解析：　由題意知在△BCD中 cos∠CBD＝＝＝ sin∠CBD＝. 在△ABC中， sin∠ACB＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B ＝＋＝. 由正弦定理＝ ∴AB＝＝＝35. ∴AD＝AB－BD＝15海里 答：此時輪船離港口A還有15海里． 8．如圖，某城市的電視臺發(fā)射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC為35米，在地面上有一點A，測得A，C間的距離為91米，從A觀測電視發(fā)射塔CD的視角(∠CAD)為45，求這座電視臺發(fā)射塔的高度CD. 解析：　AB＝＝84， tan∠CAB＝＝＝. 由＝tan(45＋∠CAB)＝＝， 得CD＝169.  ☆☆☆ 　9.(10分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇． (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值． 解析：　(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則 S＝ ＝ ＝ . 故當t＝時，Smin＝10 ，v＝＝30 . 即小艇以30 海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。? (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，如圖所示．由題意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－22030tcos(90－30)，化簡得： v2＝－＋900 ＝4002＋675. 由于0＜t≤，即≥2，所以當＝2時，v取得最小值10， 即小艇航行速度的最小值為10海里/時．