高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3_3 綜合法與分析法自我小測 北師大版選修1-21

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高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3.3 綜合法與分析法自我小測 北師大版選修1-2 1．銳角三角形的內(nèi)角A、B滿足，則有(　　)． A．sin 2A－cos B＝0 B．sin 2A＋cos B＝0 C．sin 2A－sin B＝0 D．sin 2A＋sin B＝0 2．若，，，則(　　)． A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 3．若x，y∈R，且2x2＋y2＝6，則x2＋y2＋2x的最大值是(　　)． A．4 B．5 C．6 D．7 4．定義在(－∞，＋∞)上的函數(shù)y＝f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(－1)，f(4)，的大小關(guān)系是__________． 5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，則cos(α－β)＝________. 6．已知a＋b＋c＝0，求證：ab＋bc＋ca≤0. 7．設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：. 8．已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：. 已知對所有實數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍．  參考答案 千里之行始于足下 1．A　由已知得， ∴，∴， 即－cot 2A＝tan B，∴， ∴，∴，∴. ∵，∴sin 2A＝cos B， ∴sin 2A－cos B＝0. 2．C　，所以a＜b. 同理，可得c＜a，因而c＜a＜b. 3．D　由 得t＝x2＋6－2x2＋2x ＝－x2＋2x＋6 ＝－(x－1)2＋7. ∵， ∴當(dāng)x＝1時，t有最大值7. 4．　由函數(shù)y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，可知x＝2為函數(shù)對稱軸，且y＝f(x)在(2，＋∞)為減函數(shù)． 5．　觀察已知條件中有三個角α，β，γ，而所求結(jié)論中只有兩個角α，β，所以我們只需將已知條件中的角γ消去即可，依據(jù)sin2γ＋cos2γ＝1消去γ. 由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)， cos γ＝－(cos α＋cos β)， ∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin2γ＋cos2γ＝1， 整理得出cos(α－β)的值即可． 6．證明：要證ab＋bc＋ca≤0， ∵a＋b＋c＝0， 故只要證ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2， 即證a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0， 亦即證 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]≥0， 而這是顯然的，∴原不等式成立． 7．證明：∵，則. ∴ ∴. 8．證明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴， ， . 三個不等式相加即得 . 百尺竿頭更進一步 解：令，要使各對數(shù)都有意義，必須滿足條件 ，① 拋物線開口向下，函數(shù)二次項系數(shù)應(yīng)為負值，故必有，② 拋物線與x軸無交點，則判別式 .③ 由①知a＞1或a＜0； 由②有， 即， 解得0＜a＜2. 聯(lián)立①與②有1＜a＜2；再解③，先觀察對數(shù)表達式中真數(shù)式的結(jié)構(gòu)， 令，則可轉(zhuǎn)化為關(guān)于z的二次不等式(1＋z)2－(1－z)2(－1－z)＜0， 整理得－(z＋1)(z－3)＜0. 解得z＞3或z＜－1，即有或. ∴或a＜－1. 聯(lián)立①②③得出a的取值范圍為.